Cuadriláteros cíclicos

Cuadriláteros cíclicos

son los cuadriláteros inscritos en una circunferencia, es decir, que todos sus vértices se apoyan en la circunferencia. También se les denomina cuadriláteros inscriptibles o cuadriángulos cíclicos.

Todos los cuadriláteros inscriptibles tienen sus dos pares de ángulos opuestos suplementarios, ya que las diagonales dividen a la circunferencia en dos arcos capaces suplementarios.

Recíprocamente, todo cuadrilátero que tenga los ángulos opuestos suplementarios es inscriptible. Si el cuadrilátero inscriptible es un trapecio este es isósceles, o recíprocamente, todo trapecio isósceles es inscriptible.

Todos los cuadriláteros cuya diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos, de hipotenusa la diagonal, son inscriptibles. De los paralelogramos solo el cuadrado y el rectángulo es inscriptible. El trapecio isósceles es el único trapecio que es inscriptible.

El teorema de Ptolomeo dice, si un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales, AB·CD + AD·BC = AC·BD.

En el caso de particular de que ABCD sea un rectángulo, la fórmula anterior se convierte en el teorema de Pitágoras, AB2 + BC2 = AC2. Del teorema de Ptolomeo se deducen los corolarios siguientes :

1º – En un círculo, las cuerdas isogonales de las diagonales de un cuadrilátero inscriptible son iguales entre sí.

2º – En un cuadrilátero ABCD, los cuatro segmentos OA, OB, OC y OD, determinados por la intersección de las diagonales son proporcionales a los productos de los dos lados que concurren en sus respectivos extremos.

3º – En todo cuadrilátero inscriptible, la relación de las diagonales es igual a la relación de la suma de los productos de los lados que concurren en sus extremos.

Sinónimos :

Cuadrilátero cíclico – Cuadriángulo cíclico – Cuadrilátero inscriptible

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