Mes: octubre 2014

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 987

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Aplicando homotecia, dibujar un polígono regular de n lados.

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SOLUCIÓN

En primer lugar debes construir un polígono de N lados por cualquiera de los procedimientos que conozcas, según los datos que te den, y a cualquier tamaño.

Por ejemplo, uno de los procedimientos más clásicos es el que te ilustro a continuación, seguro que con solo ver la imagen ya sabes de que se trata :
Después, desde el centro trazas radios que pasen por los vértices.
Si lo que conoces es el radio, trazas una circunferencia y donde ésta corte a los radios son los nuevos vértices.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 986

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Dibujar un triángulo rectángulo conocidos el ángulo C = 38º y la diferencia de la hipotenusa menos el cateto c, a – c = 30 mm

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SOLUCIÓN

MÉTODO PRIMERO

1 – Trazar un ángulo recto (vértice A’) y desde un punto cualquiera, C’, se dibuja un ángulo de 38º hasta cortar al otro lado del ángulo recto, punto B’

2 – Con centro en B’ y radio hasta C’ se hace un arco hasta cortar a la prolongación de A’-B’ (punto X’)
3 – A partir de A’ y sobre la prolongación de x’-A’ se lleva la medida de la diferencia de la hipotenusa y el cateto dados, 30 mm
4 – Por el extremo de esta medida, X, se dibuja una paralela a X’-C’
5 – Donde esta última corte a la prolongación de A’-C’ es el vértice C del triángulo buscado
6 – Por ese vértice C hacer una paralela a B’-C’ y esta es la hipotenusa que cortará a la prolongación de A’-B’ en el vértice buscado B
7 – El vértice A es coincidente con A’

MÉTODO SEGUNDO

8 – Trazar un ángulo recto (vértice X) y añadirle un ángulo de 38º

9 – Hallar la bisectriz del ángulo formado, 90º+38
10 – Sobre uno de los lados del ángulo recto y a partir de X se mide la diferencia dada, 30 mm
11 – Por ese punto, A (primer vértice del triángulo buscado) se levanta una perpendicular
12 – El punto de corte de la bisectriz del ángulo 90º+38º con la última perpendicular es el segundo vértice del triángulo buscado, C
13 – Hallar la mediatriz de XC
14 – Donde la mediatriz de XC corte a la prolongación de XA es el tercer vértice B

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 985

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Construir un triángulo rectángulo conocido uno de sus ángulos B = 30º y la mediana de un cateto mc = 35 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Construir un triángulo rectángulo, A’B’C’, de cualquier tamaño pero con el ángulo dado B’ = B = 30º.

2 – Unir el punto medio, M’, de un cateto con su vértice opuesto C’.
3 – Sobre esa mediana llevar la medida dada mc = 35 mm. Su extremo es el primer vértice, C, del triángulo buscado.
4 – Por dicho vértice dibujar paralelas a los lados A’C’ y B’C’ hasta cortar a la prolongación de A’B’. Los puntos de corte son los vértices A y B del triángulo pedido.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 984

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Triángulo conocidos el valor de dos de sus ángulos A = 60º y B = 45º y el valor del radio de la circunferencia circunscrita R = 30 mm

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un segmento de longitud cualquiera, A-B’

2 – Por sus extremos, A y B’, levantar ángulos de 60 y 45º, respectivamente. Ambas se cortarán en el punto C’
3 – Hallar la circunferencia circunscrita del triángulo A-B’-C’, siendo su centro O’
4 – Unir A con el centro O’ y el centro, O’, con el vértice B’
5 – Sobre A-O’ medir el radio de la circunferencia inscrita dado, a partir de A, obteniendose el centro de la circunferencia buscada, O
6 – Unir O’ con B’ y hacer una paralela a O’-B’ por O. Donde esta corte a A-B’ es el vértice B
7 – Prolongar esta última hasta cortar a la otra línea, consiguiendo el tercer vértice, C

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 983

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Hexágono inscrito en un triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Con los datos de la base y la altura dibuja el triángulo isósceles (en rojo).

2 – Haz un hexágono a cualquier tamaño (el azul en discontinuo) y en cualquier posición. Yo lo he puesto centrado en el triángulo isósceles pero no es obligatorio que esté en esa posición.
3 – Dibuja paralelas a los lados del triángulo isósceles por dos de los vértices del hexágono (en magenta y discontinuo).
4 – Une uno de los vértices de ese nuevo triángulo con uno de los vértices del hexágono (en verde y discontinua).
5 – Dibuja una paralela a esa última línea por el vértice del triángulo dado (línea verde continua).
6 – Donde toque al triángulo inicial es uno de los vértices del hexágono buscado.
7 – Traza una paralela a la base y donde toque al otro lado ya tienes el segundo vértice, a partir de ahí por paralelas al hexágono primero consigues el buscado (en línea azul contigua).

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 982

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Dada una circunferencia, inscribir 5 cuadrados iguales que formen una cruz griega de tal forma que esos cuadrados tengan el lado lo mayor posible

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SOLUCIÓN

Básicamente se trata de dibujar la figura a cualquier tamaño y después pasarla al pedido :
1 – Se dibuja una cruz de cualquier tamaño (en azul)

2 – Se une el centro de la circunferencia con los vértices de la cruz (en magenta) hasta tocar a la circunferencia
3 – Este es el lado de los cuadrados pedidos

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 981

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Dado el triángulo A(-7, -1);B(5, -1);C(-7, -3),encontrar el círculo homotético a su circunferencia inscrita, sabiendo que pasa por B.

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SOLUCIÓN

Las rectas tangentes a una circunferencia, también lo son a su homotética.

Por ello se tratará de dibujar una circunferencia tangente a los lado AB y AC conocido el punto de tangencia B.
Para ello, por B se traza una perpendicular a AB, mientras que por A se traza la bisectriz del ángulo "A".
Donde ambas se corten es el centro.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 980

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Construcción de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, con un lado apoyado sobre AB y los otros dos vértices sobre los otros dos lados del triángulo

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SOLUCIÓN

1 – Desde un punto cualquiera, 1′, levanta una perpendicular al lado AB, hasta tocar al lado contiguo (punto 2′)

2 – Dibuja un cuadrado con lado 1′-2′
3 – Une el vértice A con 3′ hasta cortar al otro lado del triángulo (punto 3)
4 – Desde el punto 3 se baja una perpendicular a AB, y este, 3-2, es el lado del cuadrado buscado

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 979

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Hallar dos circunferencias iguales tangentes entre sí, además de ser tangente cada una a un lado distinto de un triángulo conocido y tangentes ambas al tercer lado

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SOLUCIÓN

1 – Se traza una circunferencia de radio cualquiera tangente a dos lados (la de centro x’), y otra de igual radio tangente a ella y al mismo lado

2 – Trazar una tangente al lado BC por la segunda circunferencia (lado B’C’)
3 – Unir el vértice A con el centro X’, y esté a su vez con B’
4 – Por el vértice B se hace una paralela a B’X’
5 – Donde esta última corte a AX’ es el centro de la circunferencia buscada, X
6 – Por X se hace una perpendicular a AB y ese es el radio de la circunferencia buscada
7 – Trazar la otra

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 978

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Dibujar tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isósceles, ABC, cada una a dos lados del triángulo y tangentes entre sí exteriormente.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar la bisectriz de uno de los ángulos, A por ejemplo, y hacer una circunferencia, centro 1′, de radio cualquiera tangente a dos lados

2 – Trazar otra igual tangente a ella y a un mismo lado, la de centro 2′
3 – Hallar una tercera circunferencia, 3′, tangente a las dos anteriores, 1′ y 2′, y a uno de los lados, AC (esto lo explico en el siguiente mensaje)
4 – Hacer una recta, B’C’, paralela al lado BC y tangente a las circunferencias 2′ y 3′
5 – Unir 1′ con B’ y después una paralela a ella por B. Donde corte a la bisectriz de A es el centro de la circunferencia buscada, 1, su radio mediante una perpendicular a AB por 1.
6 – Hacer otra igual, centro 2, tangente a la primera
7 – Unir el centro 1′ con 3′ y trazar una paralela por 1 hasta cortar a la bisectriz de C. Este será el centro 3 de la tercera circunferencia, de radio hasta donde la unión de 1 con 3 corta a la circunferencia de 1

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