Mes: octubre 2014

Ejercicios de abatimientos en diédrico – 974

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De un cuadrado ABCD se conocen dos vértices opuestos A(-50, 80, 0) y C(50, 0,90). El vértice B está situado en un plano horizontal de cota 80 mm y lo más cerca posible del plano vertical de proyección y en el primer diedro. Dibujar el cuadrado.

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SOLUCIÓN

11 – Hacer un plano, Q, perpendicular al segmento A-C pasando por su punto medio, O
12 – Dibujar un plano, P, horizontal de cota 80 mm
13 – Hallar la intersección del plano horizontal con el perpendicular a A-C
14 – Abatir el punto medio de A-C, respecto del plano perpendicular a A-C
15 – Abatir la recta intersección de los dos planos respecto del mismo plano anterior
16 – En el abatimiento y con centro en el punto medio de A-C abatido se traza una circunferencia de radio la mitad de la verdadera magnitud de A-C
17 – En el abatimiento donde la circunferencia corte a la intersección de los dos planos abatida es el punto B abatido
18 – Desabatir el punto B, mediante una perpendicular a la traza sobre la que se abate y en la intersección de los dos planos
19 – Subir esa proyección hasta una cota de 80 mm
20 – Unir A con B y B con C
21 – Hacer paralelas a A-B y B-C por C y A y donde se corten es el cuarto vértice D

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 973

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Dibujar un cubo conociendo los siguientes datos :
Dos vértices consecutivos son A (1, 4, 4), B (4, 2, 2) y otro C de la misma cara que los dos anteriores está situado en el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

MEDIANTE ABATIMIENTO :
a – Trazas el plano perpendicular a AB pero pasando por el vértice B

b – Abates el plano y el punto B
c – En el abatimiento con centro en B y radio el lado del cubo en verdadera magnitud, trazas un arco.
d – Donde este arco corte a la traza horizontal del plano es la proyección horizontal del punto C
e – Llévala hasta la línea de tierra para obtener la proyección vertical de C

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 972

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Determinar las proyecciones del incentro del triángulo ABC.

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SOLUCIÓN

1 – Utilizaré como traza del plano el lado AB ya que está sobre el plano horizontal.
No buscaré la otra traza del plano

2 – Los puntos A y B ya están abatidos por estar sobre la traza del plano
3 – Solo queda abatir C. Para ello trazo una paralela a la traza del plano y una perpendicular que pase por la proyección horizontal del punto C
4 – Mido la cota de C (medida Z) y la llevo sobre laparalela a la traza del plano
5 – Con centro donde la perpendicular corta a la traza y radio asta esa medida Z se hace un arco
6 – Donde el arco corte a la perpendicular a la traza del plano es el punto C abatido, (C).
7 – En el abatimiento se halla el incentro mediante dos bisectrices, punto (I)
8 – Para desabatir, prolongo una bisectriz (la que parte de B) hasta que corte a uno de los lados, punto X
9 – Desabato ese punto X mediante una simple perpendicular a la traza del plano hasta el lado AC
10 – Uniendo la proyección horizontal de X con B da la bisectriz desabatida
11 – Desabato el incentro, (I), con una perpendicular a la traza del plano hasta que corte a a bisectriz ya desabatida y ya se tiene la proyección horizontal del incentro
12 – Para la proyección vertical me apoyo también en subir el punto X y el incentro sobre XB

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 971

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El punto A es un vértice de un octaedro que tiene tres aristas contenidas en el plano P, estando también una de ellas contenida en el plano horizontal de proyección. Dibuja las proyecciones de la figura.

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SOLUCIÓN

Cuando el enunciado dice " tiene tres aristas contenidas en el plano " significa que una cara (3 aristas) está sobre el plano.
Normalmente cuando se tiene una cara sobre un plano este se abate y en el abatimiento se dibuja dicha cara en verdadera magnitud y forma.
También dice, " una de ellas contenida en el plano horizontal de proyección. " significa que esa arista tendra su proyección horizontal sobre la traza horizontal del plano y la vertical sobre la línea de tierra.
El punto dado, A, no pertenece a esa arista, ya que si así fuese estaría sobre la traza horizontal del plano, por lo tanto es el vértice opuesto de esa arista.
Una vez aclarado estos detalles, pasamos a resolverlo (los colores que indico hacen referencia a mi dibujo) :
1 – Se abate el punto dado, A (en color azul).

2 – En el abatimiento la cara del octaedro contenida en el plano dado estará en verdadera magnitud, siendo un vértice el punto A0, y los otros dos estarán sobre la traza horizontal del plano (h alfa). Por lo que se hara un triángulo equilátero a partir del punto A0, mediante dos rectas que formen 30º respecto de la perpendicular a la traza del plano (en color verde), obteniendose B0 y Co.
3 – El desabatimiento de esos puntos coincide sus abatimientos por estar sobre la traza alrededor de la que se abate. Y uniéndolos con A1 se obtiene la proyección horizontal de la cara (en amarillo).
4 – Basta con subirlos a la línea de tierra para determinar sus proyecciones verticales, B2 y C2, que unidos con A2 da la proyección vertical (en amarillo).

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 970

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Dibujar un triángulo equilátero A (-6, 3, 9), B (8, 9, 1).
El vértice C está en el plano horizontal de proyección (dar la solución más alejada).

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SOLUCIÓN

Mediante planos y abatimientos.
1 – Haces un plano perpendicular a la recta AB por su punto medio, M (proceso en azul), esto da las trazas del plano P (en verde). El punto C debe estar sobre la traza horizontal del plano.

2 – Se abate el punto medio M respecto de ese plano (trazado en naranja)
3 – Con centro en el punto M abatido y radio la altura del triángulo equilátero, en verdadera magnitud, se traza un arco (en magenta).
4 – Donde corte a la traza horizontal del plano, p, es la proyección horizontal del punto C, llevarlo hasta la línea de tierra para determinar su proyección vertical. En realidad el arco corta en dos puntos, uno que está por encima de la línea de tierra (el que yo he dibujado) y otro por debajo de la línea de tierra, si utilizas este segundo punto tienes el triángulo dentro del primer cuadrante.
5 – Por la proyección obtenida se levanta una perpendicular a la línea de tierra, donde la corte es la proyección vertical del punto C.
Como verás el triángulo atraviesa el plano vertical de proyección, pero yo lo he considerado transparente por lo que no he determinado la visibilidad de la figura.

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Se da la traza vertical de un plano en el que está situado un triángulo equilátero de lado igual a 40 mm.
Dos lados de este triángulo están situados en el plano vertical y horizontal de proyección. Hallar las proyecciones de dicho triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Como A’ y B’ están sobre la traza del plano, ya están abatidos, (A) y (B).

2 – Dibuja un triángulo equilátero a partir de (A)-(B).

3 – Por el nuevo punto, (C) se hace una perpendicular a la traza del plano hasta la línea de tierra, esa es la proyección vertical de C.

4 – Se halla el alejamiento de C. Para ello por C’ se hace una paralela a la traza del plano, y con centro donde (C)-C’ corta a la traza del plano y radio hasta (C) se hace un arco hasta la paralela. Eso da la medida del alejamiento, Z.

5 – Se lleva el alejamiento en perpendicular a la línea de tierra y esa es la proyección horizontal de C.

6 – Las proyecciones horizontales de A y B están sobre la línea de tierra.

 

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abatimientos – 969

Ejercicios de abatimientos en diédrico – 968

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Dados los puntos A y B que definen la altura de un tronco de pirámide recto de bases pentagonales regulares. La base mayor (punto B) mide 60 mm de lado y la base menor (punto A) mide 36 mm de lado. Los puntos C y D están en el punto medio de una arista por ejemplo la base B pues tiene el punto D y la base a tiene el punto C. Se sabe que las aristas básicas que contienen a los puntos C y D son paralelas al plano horizontal de proyección.
Se pide :
a) Representar alzado y planta de las proyecciones de la base mayor.
b) Alzado y planta de la base menor.
c) Representar las aristas laterales que conforman el trozo de pirámide
d) Determinar el ángulo que forman dos caras laterales contiguas.
Dato: los puntos C y D tienen la mayor cota posible. Punto A ( a = -10, c = -23, z = 54) B (a = 26, c = 39, z = 151). A y B son los centros de las bases y C y D es el punto medio de las arista lateral

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SOLUCIÓN

I – Por B haces un plano perpendicular a la recta AB.
II – Abates el plano y el punto B.
III – En el abatimiento dibujas un pentágono de centro el punto B abatido y de lado 60 mm, colocándolo de tal forma que uno de sus lados sea paralelo a la traza horizontal del plano pero en la posición más alejada de esa traza de las dos posibles.
IV – Desabates el pentagono.
V – Para la otra base puedes seguir el mismo procedimiento.
VI – Unes los vértices de ambas bases.

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 967

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El plano alfa tiene su vértice en un punto de referencia = 3 cm, es perpendicular al primer bisector y pasa por M (0, 4, 0). La cara ABC de un tetraedro cuyo cuarto vértice es D (5, 7, 0) se apoya en él, quedando el lado AB horizontal y de cota mínima. Representarlo, indicando partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

Otro problema clásico, de solución un poco larga pero sencillo :
1 – Unir el punto M con el vértice del plano y se tiene la traza vertical del plano.
2 – La traza horizontal es simétrica respecto de la línea de tierra.

3 – Colocado el punto D, se hace una recta perpendicular al plano que parta de D.
4 – Se halla la intersección de la perpendicular con el plano, y ese punto es el baricentro, G, de la cara ABC.
5 – Se determina la verdadera magnitud entre G y D, y es la verdadera magnitud de la altura del cuerpo
6 – Conocida la altura del tetraedro se halla el valor del lado del tetraedro
7 – Se abate el baricentro respecto del plano.

8 – Desde el baricentro abatido, (G), se traza una perpendicular a la traza horizontal del plano, p.
9 – Sobre esa perpendicular se lleva 1/3 del valor de la altura de la cara del tetraedro, y por ahí se dibuja una paralela a la traza del plano
10 – Sobre esa paralela se mide la longitud del lado del tetraedro, lado (A)(B).
11 – A partir de ese lado se dibuja el triángulo equilátero (A)(B)(C)
12 – Se desabate dicho triángulo
13 – Solo resta unir la base ABC con el vértice D

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 966

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Un tetraedro tiene una arista sobre la recta r, que pasa por P (12, 0, 0) y Q ( 0, 10, 0). La arista opuesta tiene su punto medio en M (5, 5, 4). Dibujar las proyecciones del tetraedro.

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SOLUCIÓN

Si unes los tres puntos, P-Q-M, obtienes la sección principal del tetraedro.
Si determinas la verdadera magnitud de PQ consigues el valor del lado del tetraedro.
El proceso ya te lo han comentado, te lo digo con mis palabras.
1 – Hallas el plano formado por PQM
2 – Si lo abates, y abates PQ, obtienes el valor de la verdadera magnitud del lado, aunque esto se puede hacer por otros procedimientos
3 – Por M levantas perpendiculares a las trazas del plano.
4 – Sobre esas perpendiculares y a partir de M determinas la proyección de la mitad de la longitud del lado, llevando esa proyección hacia cada lado de M
5 – Los dos extremos hallados son los otros dos vértices del tetraedro. Únelos con P y Q.
La siguiente imagen (de otro ejercicio) te puede ayudar a visualizarlo.En la imagen A y B son tus puntos P y Q, y el punto marcado con 1/2 es tu punto M

En la imagen A y B son tus puntos P y Q, y el punto marcado con 1/2 es tu punto M

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Dibujar las proyecciones diédricas de un cuadrado de 25 mm de diagonal sabiendo que está situado en el primer cuadrante y en un plano que es perpendicular al primer bisector.

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SOLUCIÓN

Comentaré varias cuestiones necesarias para resolver el ejercicio :

CÓMO ES UN PLANO PERPENDICULAR AL PRIMER BISECTOR

Existen tres posibilidades:

PLANO OBLICUO
Para que sea perpendicular al primer bisector sus trazas deben formar el mismo ángulo con la línea de tierra (plano P en la siguiente figura) y estar ambas abiertas hacia el mismo lado

PLANO PARALELO A LA LÍNEA DE TIERRA
Para que sea perpendicular al primer bisector deben estar ambas trazas a la misma distancia de la línea de tierra (plano Q) y en lados distintos de esta
En el perfil, el plano debe ser perpendicular (ver perfil a la derecha) al primer bisector (línea formando 45º)

PLANO DE PERFIL
Cualquier plano de perfil (ambas trazas perpendiculares a la línea de tierra) es un plano perpendicular al primer bisector (plano R en la figura)

CÓMO ABATIR UN PLANO OBLICUO, P

1 – Elegir un punto cualquiera, X, que tenga su proyección horizontal sobre la línea de tierra y la vertical sobre la traza vertical del plano

2 – Con centro en el vértice del plano (punto negro) y radio hasta la proyección vertical del punto, X’, se traza un arco
3 – Desde la proyección horizontal del punto, X, se hace una perpendicular a la traza horizontal del plano, p
4 – Donde esta perpendicular corte al arco, (X), se une con el vértice del plano y esto nos da la traza vertical del plano abatida, (p’)

Abatimiento de un punto, A, perteneciente a un plano oblicuo, P

5 – Una vez abatido el plano, (p’), se hace una paralela a la traza horizontal del plano por la proyección horizontal del punto, a, hasta tocar a la línea de tierra

6 – Donde toca a la línea de tierra se hace una perpendicular a la traza del plano hasta cortar a la traza abatida del plano
7 – Por ahí, de nuevo, una paralela a la traza del plano
8 – Por último, por la proyección horizontal del punto, a, una perpendicular a la traza del plano
9 – Donde esta última corte a la paralela a la traza anterior es el abatimiento del punto, (A)
10 – Para desabatir, se seguirá el orden inverso, es decir, por el abatimiento del punto, (A), una paralela a la traza del plano hasta tocar a la traza abatida, (p’). Por ahí, una perpendicular a la traza del plano hasta la línea de tierra. Por este último punto una paralela a la traza del plano. Por último, una perpendicular a la traza del plano por el abatimiento del punto y donde corte a la paralela anterior es la proyección horizontal del punto.

HALLAR LA PROYECCIÓN VERTICAL DE UN PUNTO, A, QUE PERTENECE A UN PLANO, P, CONOCIDA SU PROYECCIÓN HORIZONTAL

11 – Por la proyección horizontal del punto, a, se dibuja una paralela a la traza horizontal del plano, p, hasta tocar a la línea de tierra

12 – Por donde ha tocado a la línea de tierra se levanta una perpendicular a la línea de tierra hasta tocar a la traza vertical del plano, p’
13 – Por este último punto se hace una paralela a la línea de tierra
14 – Por la proyección horizontal del punto, a, se levanta una perpendicular a la línea de tierra hasta tocar a la horizontal anterior. Esta es la proyección vertical del punto, a’

RESOLUCIÓN FINAL

Aplicándolo todo lo visto al ejercicio.
A) Dibuja un plano cualquiera, cuyas trazas formen el mismo ángulo con la línea de tierra.
B) Abate el plano.
C) Dibuja en el abatimiento (en cualquier posición ya que no te dicen nada) un segmento de 25 mm (diagonal del cuadrado).
D) Por su punto medio, dibuja otro segmento perpendicular y mide la mitad de 25 mm hacia cada lado.
E) Une los extremos de los dos segmentos y ya tienes el cuadrado dibujado en verdadera magnitud en el abatimiento.
F) Desabate los cuatro puntos del cuadrado y obtienes la proyección horizontal del cuadrado.
G) Hallar la proyección vertical de cada punto.

 

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