Mes: octubre 2014

Ejercicios de sombras en diédrico – 997

Inicio > Sistema diédrico > Sombras en diédrico

Definidos dos triángulos ABC y DEF por sus proyecciones diédricas, se pide estudiar las sombras arrojadas según la dirección de la luz dada, L.

Se puede ver el cálculo de la intersección de los dos triángulos pulsando aquí.

---

SOLUCIÓN

SOMBRA ARROJADA
7 – Por uno de los vértices del triángulo, A por ejemplo, se dibujan paralelas las proyecciones de la dirección de la luz.

8 – Las trazas de estas rectas, sa y sa’, son las sombras arrojadas sobre los planos de proyección.
9 – Repetir con el resto de los vértices de los triángulos. A sus correspondientes sombras les precede la letra s.
10 – Unir las sombras sa-sb-sc, sa’-sb’-sc’, sd-se-sf y sd’-se’-sf’.
11 – De las proyecciones horizontales solo se conserva la parte que está por debajo de la línea de tierra (la zona en azul claro). Y de la proyección vertical solo se considera la parte que está por encima de la línea de tierra (la zona en azul más oscura).

---

Inicio > Sistema diédrico > Sombras en diédrico | |

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 034

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Dibujar la recta directriz de una parábola sección de un cono recto.

---

SOLUCIÓN

Para hallar la recta directriz (usando el teorema de Dandelin) una vez determinada la esfera tangente al plano y al cono, se traza un plano que contenga a la curva de contacto entre el cono y la esfera, o dicho de una manera más simple, se traza una línea que una los puntos de contacto (tangencia) del triángulo (proyección del cono) y la circunferencia (la proyección de la esfera), donde corte a la traza del plano es la recta directriz, que en nuestro caso se ve como un punto, d’, en proyección vertical (recta de punta).

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 033

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

---

SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I )

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 032

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

---

SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I )

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 031

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Dada la esfera de centro O y un plano oblicuo alfa que la corta hallar un punto de cota H que pertenezca a la sección producida por el plano, sin dibujar la sección.

---

SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta horizontal de cota H que pertenezca al plano alfa
2 – Trazar un plano horizontal de cota H (su traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta)
3 – Seccionar la esfera por el plano horizontal. El resultado es una circunferencia en la proyección horizontal
4 – Los puntos de corte de la proyección horizontal de la recta horizontal con la circunferencia sección son los puntos buscados

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Dada la esfera de centro C(0,50,50) y radio 4 cm hallar un plano P que forme 45º con el plano horizontal de proyección, pase por el punto A (-50, 50, 50) y corte a la esfera según una circunferencia de radio 3 cm.
Dibujar las proyecciones de la circunferencia intersección, sus correspondientes ejes y puntos de tangencia si procede.

---

SOLUCIÓN

Comento la determinación dle plano :
1 – Por la proyección vertical del centro, c’, se traza una línea que forme 45º respecto de la línea de tierra (en rojo).

2 – Desde la proyección vertical del centro, c’, se mide el radio, 30 mm, de la sección buscada. Por ese punto se levanta una perpendicular a la recta que formaba 45º hasta que corte al contorno de la esfera (punto en magenta).

3 – Por ese punto se dibuja una línea a 45º respecto de la línea de tierra y esta es la traza, p1′, del plano buscado, pero girado. Desde donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular, p1, que será la traza horizontal del plano buscado pero girado.

4 – Por la proyección vertical del punto, a’, por el que debe pasar el plano se traza una paralela a la línea de tierra hasta la traza vertical del plano girado, p1′. Con esto obtenemos la proyección vertical, a1′, del punto girado.

5 – Desde la proyección horizontal del centro de la esfera, c, y con radio hasta la proyección horizontal del punto, a, se traza un arco. Desde la proyección vertical a1′ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco. Donde se encuentren, a1, es la proyección horizontal del punto girado.

6 – La traza horizontal del plano girado, a1, se debe girar un ángulo (sector circular verde) igual al que forman las proyecciones horizontales del punto A (a y a1) alrededor de la proyección horizontal de la esfera, c. Con esto obtenemos la traza horizontal del plano buscado, p.

7 – Mediante una recta horizontal se calcula la traza vertical del plano, p’.

8 – En realidad, para dibujar la sección no es necesario determinar las trazas del plano original, p-p’; sino que una vez determinado el plano girado, p1-p1′, y las proyecciones del punto A girado (a1-a1′) se trata de hallar la sección que produce el plano proyectante p1-p1′ y girar esa sección un ángulo igual al que se ha girado el punto A (a-a1) alrededor de la proyección horizontal del centro de la esfera, c.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

 

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 029

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Sección a una esfera por un plano oblicuo.

---

SOLUCIÓN

1 – Tenemos las proyecciones de la esfera (en negro) y el plano P

2 – Se dibuja un plano horizontal cualquiera, q’
3 – En proyección horizontal se dibuja una circunferencia de diámetro 1′-2′
4 – El punto donde la traza del plano q’ corte a la traza p’ se baja hasta la línea de tierra y por ahí una paralela a la traza horizontal del plano, r
5 – Donde esa misma recta corte a la circunferencia anterior son dos puntos de la sección, a y b

6 – Subir esos dos puntos a la traza del plano q’ (obteniendo a’ y b’)
7 – Repetir con varios planos horizontales más (como se ha hecho con el plano Q) obteniendo tantos puntos como se desee.
8 – Unir los puntos a mano alzado formando elipses

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 028

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Dado el croquis acotado de la figura, se pide :
a) Memoria descriptiva contestando ordenadamente a los siguientes apartados :
– Descripción detallada de las superficies geométricas que forman los contornos de la pieza.
– Enumerar los problemas de intersección de superficies que se plantean para realizar el dibujo de la pieza.
– Clasificar y denominar las formas geométricas de las curvas intersección.
– Proceso gráfico a seguir para la obtención de dichas curvas, justificando la conveniencia de las superficies auxiliares elegidas.
b) Croquis acotado de la pieza completando sus vistas.
c) Dibujo técnico de la pieza a escala 1:1.

---

SOLUCIÓN

Cálculo de la intersección de una pirámide triangular equilátera recta con un cilindro recto (punta afilada a la izquierda de la pieza)
1 – Tomar un plano de perfil, P

2 – Donde la traza vertical del plano, p’, corta a la prolongación de la arista de la pirámide (punto A’) se lleva al perfil (punto A") y por ahí se traza la sección que produce el plano en la pirámide (triángulo equilátero homotético de X"-Y"-Z")
3 – Donde la sección de la pirámide (el triángulo que parte de A") corta a la sección del cilindro (la circunferencia mayor del perfil) son los puntos de la sección (puntos 1", 2", 3", 4", 5" y 6")
4 – Se llevan esos puntos a las proyecciones horizontal y vertical sobre las trazas del plano (puntos 2 y 3). Yo solo he dibujado un par de ellos por claridad del dibujo
5 – Repetir con varios planos más para obtener más puntos que se unen a mano alzada

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 027

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

Completar las vistas del sólido (sacabocados) :

---

SOLUCIÓN

Existen varias intersecciones comentaré como se obtiene un punto de cada curva. El resto es repetir con varios puntos más para definir claramente la curva.

INTERSECCIÓN 1ª

1 – Se trata de la intersección de una esfera con un cilindro.

2 – Se toma un plano de perfil (línea vertical) que secciona a la esfera según una circunferencia en el perfil (en negra).
3 – Donde corte al cilindro (cruz naranja) es el punto intersección
4 – Llevarlo a la planta tomando la medida X en el perfil.

INTERSECCIÓN 2ª

5 – Ahora se trata de la intersección de dos cilindros

6 – Se toman planos horizontales (la línea negra horizontal) y se llevan al perfil
7 – El punto de corte con la circunferencia exterior, en el perfil, es el punto buscado (cruz naranja)
8 – Mediante la distancia Y se lleva a la planta

INTERSECCIÓN 3ª

9 – A continuación está la intersección de un cilindro con un plano

10 – Entre el eje del cilindro (cruz magenta) y la siguiente intersección se producen dos generatrices rectas (líneas verde claras de la planta)

INTERSECCIÓN 4ª

11 – Después tenemos la intersección de un toro (en cian) con un plano

12 – Mediante planos de perfil (línea vertical negra) se halla la intersección en el toro (circunferencia negra)
13 – Donde corta al plano (línea verde discontinua) es el punto buscado
14 – Mediante las distancias Z se llevan a la planta

INTERSECCIÓN 5ª

15 – De nuevo tenemos un toro (verde claro) cortado por un plano

16 – El proceso a seguir es el mismo del anterior

RESULTADO FINAL

17 – De las dos últimas curvas solo se dejará hasta que una toque a la otra

---

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico

 

Completar las vistas del sólido (cabeza de corredera) :

---

SOLUCIÓN

Se trata de determinar dos curvas, una más sencilla que la otra.
La primera se consigue con una línea mixta paralela al contorno del alzado (línea verde clara), obtenida con solo subir el vértice de la planta desde el que ves salir una línea discontinua verde clara fina.

Para la segunda curva se debe hallar la intersección de un toro (en amarillo) con dos planos (las dos líneas verticales del contorno del perfil).

Las vistas de los toros en planta y perfil solo las he dibujado hasta su mitad para que no me ocupen tanto. En realidad, tampoco hace falta llegar a dibujarlo, solo lo he hecho para aclarar el cuerpo.

Para determinar la curva intersección (en verde oscuro) se han tomado unos planos de perfil (en cian) y se halla la intersección con el toro y los planos, lo que nos da una serie de puntos que unidos forman la curva buscada.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Sección en diédrico | | Vídeos sobre sección con un plano