Mes: octubre 2014

Intersecciones entre plano y recta en diédrico – 002

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Determinar la intersección de la recta R con la chapa plegada representada, estableciendo partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

1 – Considera a la recta R contenida en un plano, por ejemplo proyectante vertical. En ese caso la traza vertical del plano coincide con la proyección vertical de la recta. La traza horizontal del plano no es necesario dibujarla.

2 – Se halla la sección del plano proyectante con una de las caras (solo lo he dibujado para la cara ABCH). Para ello solo es necesario ver donde r’ corta a A’B’C’H’ y llevarlos a la otra proyección, puntos 1 y 2
3 – Donde esta intersección, 1-2, corte a la proyección horizontal de la recta, r, es el punto buscado X
4 – Si el punto de corte esta fuera de la zona delimitada por las cuatro líneas de cada plano, es que no hay punto de intersección con ese plano.

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Intersecciones entre plano y recta en diédrico – 001

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Intersección de una recta horizontal, R, en un plano proyectante, P

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SOLUCIÓN

1 – El punto intersección, i, esta donde la proyección de la recta corte a la traza del plano que es oblicua a la línea de tierra

2 – Subirla a la otra proyección, i’

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Ejercicios de planos tangentes a un cuerpo en diédrico – 999

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Determinar los planos tangentes al cilindro en los puntos de interseccion con la recta.

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SOLUCIÓN

1 – Por donde las generatrices que pasan por los puntos 1 y 2, corten a la base del cilindro se dibuja una tangente a la base del cilindro. Estas son, m y n, las trazas horizontales de los planos tangentes al cilindro

2 – Por los puntos, 1 y 2, se hacen rectas horizontales (paralelas a la traza del plano, m y n, en proyección horizontal y paralela a la línea de tierra en proyección vertical)
3 – Se hallan las trazas verticales de estas rectas
4 – Uniendo dichas trazas verticales con donde la traza horizontal de los planos cortan a la línea de tierra se obtiene las trazas verticales de los planos

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Plano tangente a un cono, con su base en el plano horizontal de proyección, pasando por un punto de su superficie, M

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SOLUCIÓN

1 – Unir el vértice del cono, V, con el punto por el que debe pasar el plano, M

2 – V-M cortará a la base en el punto T. Hacer una tangente a la base (directriz) por T y esa es la traza horizontal del plano, p
3 – Dibujar una recta horizontal que pase por el punto M
4 – Hallar la traza de la recta horizontal, V1
5 – Unir el punto donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra con la traza de la recta, V1, obteniendo la traza vertical del plano, p’

 

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Plano tangente a un cono, con su base en el plano horizontal de proyección, pasando por un punto exterior, M.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el vértice del cono, V, con el punto por el que debe pasar el plano, M.

2 – Hallar la traza horizontal, H, de V-M.

3 – Trazar una tangente a la base desde la traza V. Hay dos posibles tangentes, p y q, ya que hay dos posibles planos solución.

4 – Dibujar una recta horizontal que pase por el punto M (una para el plano P y otra para Q).

5 – Hallar la traza de la recta horizontal, V1 y V2.

6 – Unir el punto donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra con la traza de la recta, V1 y V2, obteniendo la traza vertical del plano, p’ y q’.

 

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Ejercicios de planos tangentes a un cuerpo en diédrico – 996

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Los puntos A(7, 6, 1) y B(12, 9, 6) definen el eje de un cilindro de 7 cm de altura, de bases horizontales circulares de 3 cm de radio, estando la inferior en el PHP.
Los puntos C(5, 10, z) y D(14, 1, z) definen una recta R horizontal, tangente a la superficie lateral del cilindro. Se pide la proyección vertical de R

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SOLUCIÓN

Proyecciones de cilindro

1 – Situar los puntos A y B. Unirlos.

2 – Hallar O1 traza horizontal de AB; esta es el centro de la base apoyada en el plano horizontal de proyección. En la proyección horizontal con centro en O1 y radio 3 cm se dibuja una circunferencia que es la base. En proyección vertical está sobre la línea de tierra midiendo hacia cada lado de O1 3 cm.
3 – Medir en proyección vertical 7 cm (altura) y trazar una paralela a la línea de tierra. Donde corte al eje AB es el centro O2 de la segunda base. Bajarlo hasta la proyección horizontal del eje y dibujar bases paralelas e iguales a la primera.
4 – Trazar las tangentes a la base paralelas al eje AB. Ya están las proyecciones del cilindro.

Recta horizontal tangente al cilindro

5 – Dibujar la proyección horizontal de los puntos C y D.

6 – Dibujar una perpendicular a la proyección horizontal de CD por el centro de la base inferior, O1, siendo los puntos de corte con dicha base, T1 y T2, por donde pasa la traza horizontal del plano tangente al cilindro (aunque no hace falta dibujarlo).
7 – Trazar paralelas al eje del cilindro por los puntos de tangencia, T1 y T2, en ambas proyecciones.
8 – Donde las paralelas (generatrices) anteriores corten a la proyección horizontal de CD, puntos X e Y, son los puntos de contacto de la recta CD con la superficie lateral del cilindro.
9 – Subir los puntos de contacto, X e Y, hasta las proyecciones verticales de las paralelas al eje por los puntos T1 y T2. Estas serán las proyecciones verticales de X e Y.
10 – Dibujar las proyecciones verticales de CD, paralelas a la línea de tierra, por X e Y.
Nota : En este caso en concreto uno de los puntos, X o Y, sale por debajo de la base, es decir, fuera del cilindro por lo que solo hay una solución.

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Dibujar los planos tangentes a dos conos.
– Los conos son oblicuos, uno más grande que el otro y homotéticos.
– Las bases son circulares y paralelas al plano horizontal de proyección, los vértices tocando al plano horizontal.
Se pide encontrar los dos planos tangentes a los conos.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, a una cota cualquiera trazar una línea paralela a la línea de tierra (en realidad es un plano horizontal).
2 – Los puntos donde corta a los ejes de los conos se bajan hasta la proyección horizontal de los ejes de los conos. Estos puntos son los centros de dos secciones (circunferencias) de radio igual a la distancia, medida en la proyección vertical, entre donde la recta corta a los ejes de los conos y donde cortan a los contornos de los conos. Dibujar ambas circunferencias (secciones).
3 – Trazar las rectas tangentes entre sendas circunferencias (deberian ser paralelas a la unión de los vértices). La tangente es la proyección horizontal de una recta horizontal que pertenece al plano buscado. Su proyección vertical es la recta que se hizo al principio.
4 – Se halla la traza vertical de la recta horizontal.
5 – Uniendo los dos vértices de los conos en proyección horizontal se tiene la traza horizontal del plano buscado.
6 – Donde esta corte a la línea de tierra se une con la traza de la recta horizontal y esta es la traza vertical del plano.

 

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Ejercicios resueltos de planos en diédrico – 43

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Dibujar el rombo de vértice A y vértice opuesto D, situado en el plano horizontal de proyección, y cuyos lados están sobre las rectas anteriores (AB y AC).

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SOLUCIÓN

12 – Como la proporcionalidad se mantiene, se puede resolver sin necesidad de hacer un abatimiento. En el punto medio del segmento formado por las proyecciones de B y C está el punto d

13 – Los otros dos vértices son los puntos medios de las proyecciones de los segmentos A-B y A-C

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Ejercicios resueltos de planos en diédrico – 42

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Conocido el plano que contiene a una circunferencia así como su radio y centro, determinar :
– Puntos de mayor y menor cota sobre la circunferencia.
– Puntos de mayor y menor alejamiento sobre la circunferencia.
– Puntos más a la izquierda y derecha sobre la circunferencia.

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SOLUCIÓN

Puntos de mayor y menor cota sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

9 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
10 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
11 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza horizontal del plano.
12 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia son los puntos de mayor y menor cota. El de mayor cota es el más distante de la traza horizontal del plano y el de menor cota el más cercano.
13 – Desabatir los puntos

Puntos de mayor y menor alejamiento sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

14 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
15 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
16 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza vertical del plano.
17 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia son los puntos de mayor y menor alejamiento. El de mayor alejamiento es el más distante de la traza vertical del plano y el de menor alejamiento el más cercano.
18 – Desabatir los puntos

Puntos más a la izquierda y derecha sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

19 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
20 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
21 – Dibujar una recta de perfil, en proyección horizontal y vertical, que pase por el centro de la circunferencia
22 – Abatir la recta de perfil (unir el punto de corte de la recta de perfil con la traza horizontal del plano con el centro de la circunferencia abatido)
23 – En el abatimiento, trazar una perpendicular a la recta de perfil pasando por el centro de la circunferencia
24 – Donde la perpendicular corte a la circunferencia son los puntos más a la derecha e izquierda. Para distinguirlos al desabatir observarás cual es cada uno.

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Ejercicios resueltos de planos en diédrico – 41

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Determinar si los puntos A y B pertenecen o no al plano alfa.

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SOLUCIÓN

Este tipo de problemas se resuelve haciendo una recta (oblicua, horizontal o frontal) que pase por el punto y esté contenida en el plano.

Para el punto B :

1 – Se traza la proyección horizontal de la recta, r, paralela a la traza horizontal del plano, p, y pasando por la proyección horizontal del punto, b

2 – Por donde corte a la línea de tierra se levanta una perpendicular hasta cortar a la traza vertical del plano. En este caso, hay que prolongar la traza vertical, p’, por debajo de la línea de tierra para que corte a la perpendicular que hemos levantado
3 – Donde toque a la traza vertical del plano, p’, se hace una paralela a la línea de tierra, r’ (proyección vertical de la recta horizontal)
4 – Si la proyección vertical del punto, b’, está sobre la proyección vertical de la recta, r’, entonces el punto sí está contenido en el plano. En mi caso sale que sí está contenido

Determinar si el punto A está contenido en el plano P

5 – Se resuelve como el anterior, trazando una recta horizontal (o frontal u oblicua). Por la proyección horizontal del punto se hace una paralela a la traza del plano, r, que en este caso coincide con la traza de plano

6 – Donde corte a la línea de tierra (el mismo vértice del plano) se sube una perpendicular hasta tocar a la traza vertical del plano (vuelve a coincidir con el vértice del plano)
7 – Por ahí, se dibuja una paralela a la línea de tierra (coincide con ella). Esa es la proyección vertical de la recta, r’
8 – Si la proyección vertical del punto, a’, está sobre la proyección vertical de la recta, r’, entonces el punto sí está contenido en el plano. Como no lo está, el punto A no pertenece al plano

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