Mes: noviembre 2014

Radio de una circunferencia, es la distancia existente entre su centro y un punto cualquiera de ella.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia, es el producto constante de los segmentos determinados por las secantes trazadas desde el punto a la circunferencia.

Este producto se denomina razón de potencia y se designa por K. Cuando la razón es positiva, el punto es exterior a la circunferencia; siendo negativa, cuando el punto es interior; y, finalmente, potencia nula cuando el punto pertenece a la misma circunferencia.

La potencia de un punto respecto de una circunferencia se utiliza principalmente en los problemas de Apolonio, siendo otro caso el de la construcción de triángulos por potencia, cuando se conocen sus tres alturas.

El nombre de potencia de un punto respecto de una circunferencia es debido al matemático suizo Jakob Steiner (1.796 – 1.863), defensor a ultranza de la intuición geométrica, enseñaba geometría sin figuras, hasta el punto de apagar la luz en sus clases de doctorado.

Hijo de un granjero y analfabeto hasta los catorce años, llego, sin embargo, a ser catedrático de la universidad de Berlín y uno de más grandes geómetras de su época.

Haz de circunferencias ortogonales, son todas las circunferencias que tienen sus centros sobre el eje radical de un haz de circunferencias.

La unión de los centros del primer haz es el eje radical del segundo y viceversa.

Unas circunferencias son ortogonales cuando sus tangentes en un punto común son perpendiculares.

Haz de circunferencias, son todas las circunferencias que comparten un mismo eje radical.

Para que esto ocurra todas tendrán sus centros sobre la misma recta diametral y que pasen por los dos mismos puntos del eje radical.

Al eje radical común se le llama base del haz.

Circunferencias ortogonales, son aquellas cuyas tangentes respectivas por un punto común a ambas, son perpendiculares entre sí; pasando dichas tangentes, obligatoriamente, por los centros de cada circunferencia.

Circunferencias excéntricas, son aquellas que siendo una de ellas interior y de radio menor, sus centros son diferentes.

Circunferencias de Thebault, sea un punto cualquiera del lado de un triángulo, las circunferencias de Thebault de ese punto son las circunferencias tangentes al lado en el que se encuentra, a la ceviana que pasa por el punto y el vértice opuesto al lado en el que se encuentra el punto y a la circunferencia circunscrita.

Circunferencias de Soddy, con centro en tres puntos distintos, se trazan tres circunferencias que sean tangentes entre sí, entonces hay exactamente dos circunferencias tangentes a las tres circunferencias dadas, que son las llamadas circunferencias de Soddy (Frederick Soddy, 1877-1956).

Soddy fue un químico inglés que acuñó el término isótopo para llamar a sustancias que tienen las mismas propiedades químicas pero propiedades radiactivas diferentes. Consiguió el Premio Nobel de Química en 1921.

Soddy encontró la relación entre los radios de las tres circunferencias dadas y las de las soluciones buscadas, la fórmula es 2·(A²+B²+C²+D²) = (A+B+C+D)²; donde A, B, C y D son los inversos de los radios de las cuatro circunferencias, es decir las tres dadas y la tangente común que se busca (ya sea la interior o la exterior).

Circunferencias de Miquel, Auguste Miquel publicó el siguiente teorema en 1838 :

«Consideremos tres círculos k, l, m y con un punto común M y que sean P, Q y R los otros puntos comunes entre cada dos circunferencias. Considerando cualquier punto A de la circunferencia k; lo unimos con R y prolongamos hasta cortar a la circunferencia l en B. Ahora unimos BP y prolongamos hasta cortar el círculo m en C. Entonces, los puntos A, Q y C están alineados. Es decir, independientemente de la elección del punto A, siempre obtenemos un triángulo. También se puede enunciar el resultado anterior al revés, si A, B, C son los vértices de un triángulo y P, Q, R son puntos cualesquiera de los respectivos lados opuestos, se llaman circunferencias de Miquel a cada una de las circunferencias que pasan por un vértice y los puntos intermedios de los lados vecinos, ARQ, BPR y CQP.»

El teorema de Miquel establece que “las tres circunferencias de Miquel son concurrentes en un punto”.

Al punto común a las tres circunferencias de Miquel se le conoce como punto de Miquel.

Circunferencias de Malfatti, de un triángulo son tres circunferencias, cada una tangente a dos lados y a las otras dos circunferencias.