Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 86

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Dibujar las circunferencias tangentes a dos circunferencias (de centros A y B), una interior a la otra, y que pasen por un punto, P, que está sobre la circunferencia interior

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Unir el centro B con P y trazar una perpendicular a B-P por P (nombrada E.R.1)

2 – Con centro en cualquier punto de BP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro A
3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R)
4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro A en los puntos T1 y T2
5 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a BP son los centros C1 y C2 de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta P trazar las circunferencias solución

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Hallar las circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, y que pasen por el punto P contenido en una de ellas

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Unir el centro A con P y trazar una perpendicular a A-P por P (nombrada E.R.1).

2 – Con centro en cualquier punto de AP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro B.

3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R).

4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro B en los puntos T1 y T2.

5 – Unir T1 con B y donde corte a AP es el centro C1 de la circunferencia buscada.

6 – Con centro en C1 y radio hasta P trazar la circunferencia solución.

7 – Unir T2 con B y donde corte a AP es el segundo centro C2 (no dibujado).

Con centro en C2 y radio hasta P trazar la segunda solución (no dibujada).

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.

2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.

3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.

4 – Unir D con el punto P dado.

5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.

6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.

7 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.

8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencia, en lados distintos.

9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.

10 – Unir E con el punto P dado.

11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias.

12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».

13 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».

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enlaces y tangencias – 84

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 83

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Circunferencia tangente a dos circunferencias dadas y que pasa por un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Para resolver el problema se parte de una propiedad que tiene las circunferencias que son inversas, y es que dos circunferencias inversas son a la vez homotéticas coincidiendo el centro de inversión con el de homotecia.
Por eso consideramos en un principio que las dos circunferencias van a ser inversas y una manera muy rápida de hallar su centro de inversión es determinar el centro de homotecia, ya que ambos son el mismo.
Hasta ahí la utilidad que se le da en este problema a la homotecia, pero el resto ya no la emplea.
2 – Como las dos circunferencias son inversas, cualquier recta que parta del centro de inversión, H, las cortará en dos puntos que son inversos (siempre en lados contrario, si uno está en la derecha de la circunferencia el otro en el de la izquierda, etc.). No es del todo necesario que sea la recta que pasa por los centros y da los puntos A y B, podría ser cualquier otra, pero imagino que siempre se ha tomado esta por comodidad.
3 – Con todo esto tenemos tres puntos de la inversión, el punto P por el que pasará la circunferencia buscada, y los puntos A y B que son uno inverso del otro. O que se hace a continuación es hallar el inverso de P. Esto se podría hacer con la circunferencia de autoinversión, pero bueno, siguiendo la tradición se hace con una circunferencia doble. Es decir, se busca una circunferencia que pase por A y B (puntos inversos) y P. Como esta circunferencia contiene a un par de puntos inversos (A y B) se considera que es doble, por lo tanto el inverso de P debe estar sobre ella. Uniendo el centro de inversión, H, con el punto P obtenemos en la circunferencia doble (auxiliar) su inverso, P’.
4 – Hasta aquí lo que hemos logrado es averiguar un punto de la inversa de la circunferencia que buscamos, el punto P’. Ahora nos podemos preguntar ¿ cual es la inversa de la circunferencia buscada ?. Como la circunferencia que buscamos no pasa por el centro de inversión, su inversa será otra circunferencia, que pasará por P’. Además, recordando otra propiedad de la inversión, si dos elementos son tangentes sus inversos también lo son. Según esto la circunferencia buscada es tangente a la circunferencia O’, por lo que su inversa será tangente a la inversa de la circunferencia O’. Esta no es otra que O», luego la inversa de la que buscamos es tangente a O» y pasa por P’. Eso es suponiendo que O’ era la circunferencia inicial y O» su inversa, pero si lo consideramos al revés nos encontramos con que como la circunferencia buscada también es tangente a O» su inversa será tangente a la inversa de O» es decir a O’ y pasará por el punto P, inverso de P’.
Con este pequeño lio, llegamos a la conclusión de que la circunferencia buscada y su inversa son la misma (es doble) por lo que debe ser tangente a las dos circunferencias O’ y O» y pasar por los puntos P y P’, por ello el problema se puede considerar reducido a determinar las circunferencias tangentes a una de las dos (O’ u O») y que pasan por los puntos P y P’.

 

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Resolver el caso de circunferencias tangentes a otras dos circunferencias (una dentro de la otra) y a un punto (el punto dentro de una de las circunferencias).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.

2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.

3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.

4 – Unir D con el punto P dado.

5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.

6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.

7 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.

8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencias, en lados distintos.

9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.

10 – Unir E con el punto P dado.

11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias.

12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».

13 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».

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enlaces y tangencias – 82

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Realizar la siguiente figura indicando los enlaces y puntos de tangencia :

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Dibuja una línea vertical y sitúa los centros de las circunferencias de diámetro 50 y radio 8, separados 62 mm.

2 – Hacer una línea a 90º respecto del eje vertical anterior por el centro de la circunferencia de radio 8 mm.

3 – Divide ese ángulo recto en tres partes iguales. Lógicamente se forman tres ángulos de 30º.

4 – Divide el ángulo de 30º más próximo al eje vertical en dos partes iguales. Cada una de esos nuevos ángulos medirá 15º.

5 – Divide el ángulo de 15º en dos. Estos ángulos medirán 15º/2 = 7º 30′.  Con esta última división ya has obtenido la dirección de la recta que forma la parte inferior.

6 – Por el centro de la circunferencia de radio 8 mm, se dibuja una perpendicular al último ángulo (el de 7º 90′).

7 – Dibuja la circunferencia de 8 mm.

8 – Donde esa circunferencia corte a la perpendicular del ángulo de 7º 30′ son los puntos de tangencia buscados.

9 – Haz una paralela a la recta de 7º 30′ por esos puntos de tangencia y la tienes colocada en su posición correcta.

10 – Para el arco que no tiene radio y pasa por T (caso consistente en hallar las circunferencias tangentes a una circunferencia, a una recta y que pase por un punto), hacer una perpendicular a AB por el punto A.

11 – Prolongar la tangente D hasta cortar a la anterior (punto C).

12 – Con centro en C y radio hasta A se traza un arco (relleno de azul).

13 – Por donde corte a la tangente D se hace una perpendicular hasta cortar a AB.

14 – El punto de corte es el centro buscado E, de radio hasta A.

 

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El punto de tangencia T (sobre la recta r); el radio de la circunferencia de centro O = 15 mm; distancia de O a r = 25 mm; distancia OT = 35 mm.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Hacer una perpendicular a la recta R por el punto T.

2 – Se hace una circunferencia de centro sobre la perpendicular anterior, radio hasta el punto T y que corte a la circunferencia dada.

3 – Se unen los puntos de corte de ambas circunferencias (eje radical) y donde corte a R es el centro radical.

4 – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto T, se hace un arco, siendo los puntos de corte con la circunferencia dada los puntos de tangencia buscado, T1 y T2.

5 – Basta unirlos con el centro de la circunferencia dada para determinar los centros buscados.

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Circunferencias tangentes a una circunferencia, a una recta que corta a esa circunferencia y a un punto (el punto dentro de la circunferencia).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia; donde corte a la circunferencia son los puntos A y B, a la recta la corta en D.
Importante : Considerar el punto B el que está en el mismo lado que el punto P respecto de la recta y el punto A el que está en el lado contrario.

2 – Trazar una circunferencia que pase por B, D y el punto dado P.

3 – Unir P con A, donde corta a la circunferencia anterior es P’.

4 – El problema queda reducido reducido a : Dos puntos, P y P’, y a la recta dada.

Nota : En un caso genérico existiría otra solución que se obtiene si se traza una circunferencia que pase por A, D y P, se une P con B y donde corta a la circunferencia anterior es P». Quedando el problema reducido a : Dos puntos, P y P», y a la recta dada. Sin embargo, en este caso no es posible porque los dos puntos P y P» quedan a lados distintos de la recta y es imposible hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

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enlaces y tangencias – 79

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Si se conoce: el punto de tangencia T (sobre la circunferencia de centro O) a 35 mm de la recta r; radio de la circunferencia de centro O = 15 mm; distancia de O a s = 30 mm.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

a – Hacer una tangente a la circunferencia dada desde el punto T.

b – Esta tangente junto con la recta R, se prolongan hasta cortarse (centro radical).

c – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto T se hace un arco. Donde corte a la recta R es el punto de tangencia T1.

d – Si se hace una perpendicular a la recta R por ese punto de tangencia, en esa recta estará el centro buscado. El cual se determinara donde corte a la unión del centro de la circunferencia dada con el punto T.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 77

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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia y a la recta dada en el punto T.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

Cuando obtienes el punto de tangencia desde el centro radical, tomas a éste como centro y con radio hasta el punto de tangencia, T1, trazas un arco que corta a la circunferencia dada en T2, el segundo punto de tangencia.

Al unir esos dos puntos de tangencia, T1 y T2, da los centros de las dos circunferencias, O1 y O2.

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