Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 96

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Circunferencia tangente a dos circunferencias (de centro 1′ y 2′), iguales y a una recta, AC, tangente a una de ellas

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SOLUCIÓN

8 – Hacer una paralela, A"C", a AC separada una distancia igual a la del radio de las circunferencia

9 – Unir los dos centros, 1′ y 2′, y prolongarlos hasta A"C" (punto y)
10 – hallar la mediatriz entre los dos centros 1′-2′, y con centro en un punto cualquiera de ella, x, hacer una circunferencia que pase por 1′ y 2′
11 – Desde Y trazar la tangente a la circunferencia anterior (punto de tangencia z)
12 – Con centro en Y y radio hasta Z hacer un arco que corte a A"C" (punto W)
13 – Desde W levantar una perpendicular a A"C" hasta la mediatriz de 1’2′, y este será el centro, 3′ de la circunferencia buscada

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta, siendo las dos circunferencias dadas y la recta tangentes entre sí – Caso CCR

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SOLUCIÓN

Los datos iniciales son las circunferencias de radio R1 y R2 (azul) de centros O1 y O2, tangentes a la recta r (azul).
1 – Con centro O1 y radio R2 – R1 haz una circunferencia (roja).

2 – Traza una paralela a r a una distancia R2, (la roja r’ ).
3 – Por O1 dibuja una perpendicular a r’ (negra).
4 – Dibuja una circunferencia que pase por C-B-O2 (verde).
5 – Unir O2 con A y donde corte a la circunferencia anterior es O2′.
6 – Traza la mediatriz de O2-O2′.
7 – Con centro en cualquier punto de la mediatriz anterior y radio hasta O2 traza una circunferencia (naranja).
8 – Prolonga O2-O2′ hasta cortar a r’ (punto D).
9 – Traza desde D la tangente a la última circunferencia.
10 – Con centro en D y radio hasta el punto de tangencia E dibuja un arco que cortará a r’ en T1′ y T2′ (este último fuera de mi dibujo).
11 – Por T1′ y T2′ levanta perpendiculares a r’ hasta cortar a la mediatriz de O2-O2′, esos puntos de corte son los centros buscados C1 y C2 (el segundo fuera de mi dibujo).

 

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enlaces y tangencias – 95

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 94

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Circunferencia tangente a dos rectas, R y S, y que pasen por un punto, P, que está sobre una de ellas.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas

2 – Levantar una perpendicular a la recta que contiene al punto, P, por dicho punto
3 – Donde se corten la bisectriz con la perpendicular es el centro de la circunferencia buscada, C
4 – Trazar la circunferencia de centro C y radio hasta P

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 93

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Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto – Caso RRP / Mediante inversión
¿ Cómo resolver una tangencia en la que las dos rectas no se cortan sino que se salen del papel ?

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SOLUCIÓN

– Usaremos el punto P como centro de inversión.
– Invertiremos esa recta que se transformará en una circunferencia que pasa por P, con su centro en la mediatríz de la perpendicular a la recta.
– Con la potencia K invertiremos la otra recta, hallando otra circunferencia.
– Hallaremos las tangentes entre ambas circunferencias, las cuales uniéndolas con el centro de inversion P cortarán a las rectas en sus respectivos puntos de tangencia.
– Con los puntos de tangencia y el punto P hallaremos fácilmente los centros de las soluciones.

Existe otra forma de hacerlo mediante reducción a otro caso.
Si hallas el simétrico del punto respecto de la bisectriz que forman las dos rectas queda reducido a hallar las circunferencias tangentes a dos puntos (el dado más el simétrico) y a una de las dos rectas (da igual la R o la S).

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Trazar la circunferencia tangente a las dos rectas dadas y que pase por el punto P:

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

Se puede resolver de varias formas dependiendo del método que se quiera emplear. Una de las formas sería esta :
a) Hallar la bisectriz de las dos rectas. Ahí están los centros buscados.

b) Hallar el simétrico del punto dado (P), respecto a la bisectriz, dando P’.
c) Unir los dos puntos P y P’, donde corte a la recta da el punto A.
d) Hacer una circunferencia con centro cualquiera en la bisectriz y que pase por P y P’.
e) Hacer la tangente por A a la circunferencia; esto da el punto de tangencia B.
f) Con centro en A y radio hasta B, hacer un arco que corte a la recta en T1 y T2. Estos puntos son los puntos de tangencia de la solución.
g) Hacer perpendiculares a la recta dada por T1 y T2, hasta que corte a la bisectriz, esos son los centros buscados.

 

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Dibujen una circunferencia que pase por el punto P y sea tangente a las rectas R y S

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas.
2 – Una de las rectas dadas es un eje radical. Otro eje radical es la recta perpendicular a la que bisectriz pasando por el punto dado.
3 – El centro radical está donde se corten los dos ejes radicales.
4 – Se dibuja una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el punto dado.
5 – Se determina la tangente desde el centro radical a la circunferencia auxiliar.
6 – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto de tangencia de la circunferencia auxiliar, se traza un arco.
7 – Donde ese arco corte a la recta dada son los puntos de tangencia de la circunferencia buscada.
8 – Levantando perpendiculares a la recta dada por los puntos de tangencia se obtienen los centros buscados sobre la bisectriz.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 90

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Circunferencia tangente a una recta, S, conocido el punto de tangencia en ella, T, y otro punto, P, por el que pasa

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SOLUCIÓN

1 – Por T una perpendicular a S

2 – Unir T con P y halar su mediatriz

3 – Donde la mediatriz corte a la perpendicular es el centro O

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 89

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Circunferencias tangentes a una recta R y que pasen por dos puntos P y P" (mediante potencia)

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SOLUCIÓN

10 – Unir los dos puntos, P y P"

11 – Hallar la mediatriz de P-P"
12 – Con centro en cualquier punto de la mediatriz, X, se dibuja una circunferencia que pase por P y P"
13 – Prolongar P-P" hasta cortar a la recta R (punto Y)
14 – Hallar la tangente, Z, a la circunferencia auxiliar de centro X, desde el punto Y
15 – Con centro en Y y radio hasta el punto de tangencia Z se traza un arco que cortará a la recta en dos puntos T y otro que queda a la derecha de Y, fuera de la imagen
16 – Desde T se levanta una perpendicular a la recta R hasta tocar a la mediatriz de P-P", este es el centro C1 de la circunferencia buscada. Desde el otro punto, fuera de la imagen, se repetiría y se conseguirá un segundo centro
17 – Con centro en C1 y radio hasta T hacer la circunferencia buscada

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 88

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Circunferencias tangentes a una recta, R, y que pasan por dos puntos, P y Q

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SOLUCIÓN

1 – Considera uno de los puntos como centro de inversión, por ejemplo P

2 – El otro, Q, es un punto doble
3 – Con centro en P y radio hasta Q se dibuja la circunferencia de puntos dobles
4 – Se halla la inversa de la recta dada, que será una circunferencia, R’
5 – Se dibuja la tangente desde Q con respecto a R’ (puntos de tangencia T1′ y T2′)
6 – Se unen T1′ y T2′ con P y donde corten a R son los puntos de tangencia, T! Y T2, de las circunferencias buscadas
7 – Haces una perpendicular a la recta dada por ese punto de tangencia y donde corte a la mediatriz de P-Q es el centro de la circunferencia buscada, C1 y C2

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Dadas dos circunferencias de 60 mm de radio, cuyos centros, O1 y O2, se encuentran sobre una misma vertical y separados 80 mm, trazar otra circunferencia tangente a ambas y que pase por el punto medio, t, del segmento que une dichos centros

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Por el punto de tangencia, t, se hace una perpendicular a la unión de los centros, O1-O2

2 – En un punto cualquiera de esa recta, X, se toma como centro de una circunferencia de radio arbitrario (en color magenta)
3 – Se unen los puntos de corte, 1 y 2, de la circunferencia auxiliar con una de las dadas
4 – Donde esta recta, 1-2, corte a la unión de los centros, O1-O2, es el centro radical, CR
5 – Con centro en CR y radio hasta el punto de tangencia dado, t, se traza un arco
6 – Donde este arco a la circunferencia dada, punto t1, es el punto de tangencia de la circunferencia buscada
7 – Unir t1 con el centro de la circunferencia en la que esta, O2, y donde corte a la perpendicular que salía de t es el centro de la circunferencia buscada, C
8 – Con centro en C y radio C-t se traza la circunferencia buscada
Por supuesto, hay una segunda solución simétrica (hacia la izquierda)

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