Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de cilindros en diédrico – 997

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Encontrar la sección que produce un plano proyectante vertical P (160, infinito, 45º) con un cilindro recto de revolución 80 mm de diámetro y de longitud 120 mm. El eje es paralelo a la línea de tierra y definido por dos puntos A(25, 55, 60), B(70, 55, 60).
La referencia se mide desde el borde derecho del papel.

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SOLUCIÓN

1 – Colocamos los puntos que definen el eje, 1 y 2, medimos la altura sobre él, 120 mm, y en sus extremos levantamos las dos bases, perpendiculares al eje y con diámetro 80 mm (se ven como rectángulos rojos en ambas proyecciones).

2 – Situamos el plano proyectante, p-p’.
3 – El centro de la sección (elipse) está donde la traza vertical del plano, p’, corta al eje del cilindro, O’. Llevarlo a la proyección horizontal del eje, O.
4 – Llevar los puntos q’ y r’, que en proyección vertical se ven superpuestos a O’, hasta los contornos de la proyección horizontal del cilindro, q y r. La distancia q-r es el semieje menor de la elipse de la sección.
5 – Prolongar la traza vertical del plano, p’, hasta cortar al contorno del cilindro, w’. Llevar este punto a la proyección horizontal del eje (en realidad hasta la proyección horizontal de la generatriz), w. La distancia O-w es el semieje mayor de la elipse de la sección.
6 – Conocidos los semiejes O-q y O-w se dibuja la elipse por cualquiera de los procedimientos de geometría plana.
7 – También se pueden determinar los puntos de la elipse por métodos puramente diédricos. Para ello se trabaja con el perfil del cilindro o con una sección rebatida. Utilizaré esta última, a la izquuierda en magenta.
Elegido un punto cualquiera de la sección en la proyección vertical, u’ (que coincide con otro v’), se lleva a la sección rebatida (o al perfil), u".
Desde el rebatimiento (o perfil) se lleva a la proyección horizontal, u, midiendo la distancia Z.
8 – Repitiendo con más puntos se unen formando la elipse.
9 – De la misma forma se pueden conseguir los puntos donde la sección corta a la base, S y T.

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Ejercicios de curvas cíclicas – 999

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Lugar geométrico descrito por un punto de una circunferencia que rueda por el interior de otra de radio doble, sin resbalar.

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SOLUCIÓN

Es una recta
La curva que describes es una hipocicloide, en la que la relación entre los radios es 2/1. Puedes ver una animación de como se forma a continuación (primera animación).

Las otras animaciones son las resultantes de utilizar las relaciones entre radios indicadas.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 980

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Hallar el plano bisector entre un plano oblicuo, P, y el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Convertir el plano dado, P, en proyectante mediante un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano

2 – Para ello, tomar un punto cualquiera en el plano, F, con la proyección vertical sobre la traza vertical del plano y la horizontal en la línea de tierra
3 – Cambiar de plano el punto F, mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra y trasladando la cota del punto, zf
4 – Unir el punto cambiado, f1′, con el punto donde la traza horizontal del plano toca a la segunda línea de tierra y se consigue el plano cambiado, p1′
5 – Hallar la bisectriz entre el plano cambiado, p1′ y la segunda línea de tierra (plano horizontal de proyección), esta es la traza, n1′, del plano bisector entre el plano horizontal y P
6 – Elegir un punto cualquiera de esta bisectriz, G, y mediante su cota, zg, se lleva a la línea de tierra y con dicha cota zg se determina su proyección vertical y por tanto la traza vertical del plano bisector, n’
7 – La traza horizontal del plano, n, bisector coincide con la del plano P

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Ejercicios de perspectiva caballera – 978

Inicio > Sistema axonométrico > Perspectiva caballera

Dibujar la perspectiva caballera de esta pieza :

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SOLUCIÓN

Esta es la forma tridimensional de la pieza :

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Proyecciones de un cono de revolución (o recto) conocida su directriz o base (una circunferencia), el plano que la contiene, P, y su altura, H.

 

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SOLUCIÓN

48 – Por su centro, C se levantan perpendiculares a las trazas del plano. Sobre ella se determina la proyección de la altura, por cualquiera de los siguientes cuatro procedimientos obteniendo el vértice, V, del cono :

 

• Mediante diferencia de cota o abatimiento
• Mediante giro
• Mediante cambio de plano de una recta
• Mediante cambio de plano de un plano

 

49 – Generatrices del contorno del cono. Con centro en un extremo del eje menor de la elipse y radio el semieje mayor, a, trazar un arco que determinará los focos, F1 y F2, sobre el eje mayor.

50 – Con centro en V y radio hasta uno de los focos, F1 o F2, trazar un arco.

51 – Con centro en un foco, F2, y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco.

52 – Donde los dos arcos se corten, 10, se une con el foco, F1, que no se utilizó como centro y se determina su mediatriz.

53 – Esta recta es la tangente a la elipse desde el punto V. Unir el punto 10 con el foco que si se utilizó como centro, F2. Donde corte a la generatriz del contorno es el punto de tangencia, T1, de la generatriz sobre la elipse.

54 – Para el otro contorno se opera igual o se determina por simetría respecto del eje del cono.

55 – Los puntos de tangencia, T1 y T2, son los límites entre la parte visible y oculta de la directriz.

56 – Operar de igual forma con la proyección vertical, pero recordar que los puntos de tangencia del contorno del cono con su directriz no son los mismos puntos en ambas proyecciones.

 

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Ejercicios de perspectiva CÓNICA – 997

Inicio > Perspectiva cónica

El triángulo ABC es la perspeciva cónica de un triángulo rectángulo, en A, contenido en el Plano Geometral.
Sabiendo que el ángulo B vale 30º y que el vértice C pertenece al Plano del Cuadro, obtener el Punto Principal, la distancia entre el Punto Principal y el Punto de Vista, la cota del Punto de Vista.
Suponiendo que el triángulo ABC es la base de un prisma recto de altura (AB + AC)/2, representar el poliedro con partes vistas y ocultas.
Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo de un formato A4 en posición vertical, los puntos P(50,200) y M(100,200) pertenecen a la Línea de Horizonte. A(105, 92), B (147, 170) y C (77, 123) son los puntos del triángulo.

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SOLUCIÓN

Es un ejercicio de aplicación de homología a una perspectiva cónica :
1 – Como el punto C está tanto sobre el geometral como en el cuadro, su posición es sobre la línea de tierra (puntos comunes a los dos planos), por lo que la línea de tierra pasará por el punto C, siendo paralela a la línea de horizonte.
2 – Se define una homología, de eje la línea de tierra, como recta límite la línea de horizonte y conociéndose los homólogos de los ángulos, A’ = 90º y B’ = 30º.
3 – Se prolongan los lados correspondientes a los ángulos A y B hasta cortar a la recta límite y se realizan los arcos capaces de sus ángulos homólogos. El punto de corte de ambos arcos es el centro de la homología, que a su vez es el punto de vista abatido sobre el plano del cuadro.
4 – Ya se tienen los elementos necesarios para resolver la homología, siendo la figura homóloga el abatimiento sobre el plano del cuadro del triángulo dado.
5 – El punto principal se determina mediante una perpendicular a la línea de horizonte que baje desde el punto de vista abatido.
La distancia que hay entre el punto de vista y el punto principal es la distancia principal (39 mm).
La cota del punto de vista es la distancia que hay entre la línea de tierra y la línea de horizonte (77 mm).

El plano del cuadro lo he considerado transparente y por tanto no afecta a la visibilidad de la pieza.

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Ejercicios utilizando solo un compás – 994

Inicio > Geometría plana > Geometría del compás

Determinación del punto de intersección de una recta con un arco que pasa por su centro, con solo el compás.

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SOLUCIÓN

1 – Sea una recta (roja), de extremo Y, y una circunferencia (verde) de centro C.

2 – Con centro en un punto de la recta (el extremo Y) se traza una circunferencia auxiliar que corte a la circunferencia dada
3 – La circunferencia auxiliar corta a la dada en dos puntos A y B, hallar el punto medio del arco AB (caso anterior, pulsa aquí), punto H.
4 – El punto H es el punto de corte de la circunferencia con la recta.

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Inicio > Sistema diédrico > Circunferencias en diédrico

 

Cómo son las proyecciones de una circunferencia según el plano al que pertenezcan.

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SOLUCIÓN

Una circunferencia al proyectarla en el sistema diédrico puede representarse de tres formas distintas :

a – Como una circunferencia, cuando la circunferencia original es paralela al plano sobre el que se proyecta.

b – Como un segmento, cuando la circunferencia original es perpendicular al plano sobre el que se proyecta.

c – Como una elipse, cuando la circunferencia original es oblicua al plano sobre el que se proyecta.

 

No existen otras posibles posiciones que las tres descritas y por tanto esas son las únicas formas en que pueden aparecer.
Algunos ejemplos :

 

CIRCUNFERENCIA PARALELA AL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN

La proyección vertical es un segmento y la horizontal una circunferencia.

CIRCUNFERENCIA PERPENDICULAR AL PLANO VERTICAL DE PROYECCIÓN Y OBLICUA AL HORIZONTAL

La proyección vertical es un segmento y la horizontal una elipse.

CIRCUNFERENCIA OBLICUA A LOS DOS planos DE PROYECCIÓN

La proyección vertical y horizontal es una elipse.

 

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circunferencias en diédrico – 988

Ejercicios de conos en diédrico – 999

Inicio > Sistema diédrico > Conos

El punto A (-3,7,0) es el vértice de un triángulo ABC situado todo él en el primer diedro, los vértices B y C están situados sobre la recta MN, M (-8,6,5), N (2,12,3), y los lados del triángulo AB y AC forman un ángulo de 45º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, desde a’, trazar líneas que formen 45º con la línea de tierra, y una paralela a la línea de tierra a una altura cualquiera, q’. Todo ello forma la proyección vertical de un cono

2 – Con centro en la proyección horizontal del punto A y diámetro la base del cono, q’, se traza una circunferencia. Esta es la base del cono
3 – Hallar la intersección del plano formado por MN y A con el cono. Se puede hacer de varias formas. Yo he considerado un plano horizontal, q’, y la intersección de las rectas AN y MN con dicho plano (puntos X e Y). La unión de sendos puntos, X-Y, intercepta a la base del cono en 1 y 2 que unidos con el vértice del cono, a, nos da la intersección del plano A-MN con el cono
4 – Se determina la intersección de la recta MN con el cono. Esta será los puntos, B y C, donde 1-a y 2-a corten a MN

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Ejercicios de conos en diédrico – 998

Inicio > Sistema diédrico > Conos

Representar el cono de vértice V(81, 12, 90) y directriz la circunferencia, situada en el plano horizontal, de centro O(0, 50, 0) y radio 40 mm.
Representar las proyecciones de un punto de la superficie del cono cuya abcisa vale 20 mm y su alejamiento 50 mm, justificando si es visto u oculto.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujadas las proyecciones del cono, se sitúa la proyección horizontal del punto, P, con las coordenadas dadas.

2 – Unir P con V y prolongar esta generatriz hasta cortar a la base, puntos 1 y 2
3 – Hallar las proyecciones verticales de esos puntos y unirlas con el vértice del cono
4 – Subir una perpendicular a la línea de tierra desde la proyección horizontal de P hasta cortar a las generatrices anteriores, P’1 y P’2, proyecciones verticales del punto buscado

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