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Ejercicios de conos en diédrico – 997

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El punto O (120, 150, 40) es el centro de una esfera de 40 mm de radio. Dicha esfera es seccionada por el plano P cuya traza pasa por A (120, 150, 0) y es paralela al lado más largo del papel formando 45º con el plano de proyección y ascendiendo de derecha a izquierda.
Por el punto B (120, 150, 80) se hace pasar otro plano Q de traza paralela a la de P que forma 22,5º con el plano de proyección ascendiendo también de derecha a izquierda.
Se pide hallar la proyección del cono secante a la esfera que corta a esta según las secciones producidas por P y Q y dibujar las proyecciones de esta y la traza del cono.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el centro O y dibujar la esfera (en negro rellena de gris).

2 – Colocar el punto A y dibujar la traza del plano P, una vertical que pasa por A (en negro).
3 – Colocar el punto B, que coincide en proyección con O y A, aunque a distinta cota.
4 – Dibujar una línea, Z, perpendicular a la traza P que nos servirá para levantar un perfil (alzado).
5 – Llevar los punto O, A y B al perfil, O’, A’ y B’. Con centro en O’ y el radio de la esfera se dibuja esta. Por el punto A’ y a 45º se traza el plano p’, y por B’ y a 22,5º se levanta el plano q’.
6 – Donde corte a la esfera, A’-1′ y B’-2, son las secciones (circunferencias) de los planos P y Q sobre la esfera.
7 – Sobre una perpendicular a la traza P se llevan las proyecciones de 1 y 2 (de A y B ya se tiene). Estas nos dan los ejes menores, A-1 y B-2, de las elipses en las que quedan proyectadas las circunferencias.
8 – Por el punto medio, C y D, de los ejes menores, A-1 y B-2, y perpendicular a ellos se llevan los ejes mayores que son iguales a las medidas de A’-1′ y B’-2′ tomadas del perfil.
9 – Conocidos los ejes de las elipses dibujarlas (en azul y magenta).
10 – En el perfil se unen los puntos 1′ con B’ y A’ con 2′. Estas dos líneas son el contorno del cono en el perfil. Donde se cortan, V’, es su vértice.

11 – Llevar el perfil del vértice, V’, a la línea 1-2 obteniendo su proyección, V.
12 – Desde V se dibujan las tangentes a las elipses (en verde). Estos son los contornos aparentes del cono, y sus puntos de tangencia T1 y T2.
13 – En el perfil prolongar el cono hasta cortar a Z (punto A’ y 3′). Esta es la medida del eje mayor de la elipse intersección (traza) del cono con el plano horizontal.
14 – Llevar los puntos A’ y 3′ hasta la línea V-1 para conseguir sus proyecciones 3 y A (que ya teníamos).
15 – Su punto medio, E, es el centro de la elipse. Con centro en E y radio E-A se dibuja una circunferencia (afín de la elipse), en naranja.
16 – Desde V se traza la tangente a la circunferencia. Su punto de tangencia es T3".
17 – Desde T3" bajar una perpendicular a V-A y donde corte al contorno del cono, V-T1, es el punto de tangencia, T3, de la elipse con el contorno del cono.
18 – Unir T3" con el punto, 4", de corte de la perpendicular a V-A por E.
19 – Donde corte a V-A (eje de afinidad, punto X) se une con T4. Donde esta última corte a E-4" es el extremo, 4, del eje menor de la elipse.
20 – Conocidos los semiejes 3-E y 4-E se dibuja la elipse.

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Dado el plano proyectante vertical P y el punto V, representar el cono de revolución de vértice V, cuya base de radio 3 cm se sitúa en el plano P.

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SOLUCIÓN

1 – Desde V trazas perpendiculares a las trazas del plano

2 – Donde toque a la traza vertical del plano, O’, es el centro de la base, se lleva a la perpendicular de la proyección horizontal, O
3 – Se abate el centro de la base, O, y en el abatimiento se dibuja la circunferencia de la base con el radio dado 30 mm
4 – Los puntos que están en la perpendicular a la traza del plano (punto (1) en el abatimiento) pasando por el centro al desabatirlos da los extremos del eje menor.
5 – Los puntos que están en la paralela a la traza del plano (punto (2) en el abatimiento) pasando por el centro dan los extremos del eje mayor. Conocidos los ejes se desabaten más puntos de la circunferencia y se dibuja la proyección horizontal de la base (una elipse). La proyección vertical de la base se ve como una línea.
6 – Desde el vértice del cono se trazan tangentes a la base y con eso se acaba de dibujar el cono

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conos-996

Ejercicios de conos en diédrico – 995

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Conocidas la altura y el radio de un cono, hallarlo si se trata de un cono con su vértice situado en la línea de tierra, siendo tangente el cono al mismo tiempo a los dos planos de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibuja la sección media del cono conocidos el radio y la altura (en magenta)

2 – Se coloca la sección media apoyada sobre la generatriz en la línea de tierra, en proyección vertical (en negro)
3 – Bajando perpendiculares por los extremos hasta la línea de tierra se determina la proyección horizontal del eje menor de la elipse de la base y el mayor es el diámetro en verdadera magnitud. Dibujando la proyección horizontal del cono (en verde)
4 – Se gira esta última proyección alrededor del vértice del cono hasta que sea tangente a la línea de tierra (en rojo), esta es la proyección horizontal definitiva
5 – La proyección vertical del cono se logra con la proyección vertical del centro de la base girada, determinando la traza del plano que la contiene con una horizontal que pasa por el centro. A partir de ahí se suben los puntos de la elipse (en azul)

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Ejercicios de conos en diédrico – 994

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Sean A(35,60,52); B(45,72,24); C(45,43,0); D(52,37,38 ) los puntos que definen las rectas AB y CD, que son rectas de máxima pendiente de dos planos.
Dibujar las proyecciones de un cono recto de revolución de 80 mm de altura y radio de la directriz 26 mm.
Dicho cono es tangente a ambos planos y su vértice tiene una cota relativa respecto al punto B de 24 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los dos planos.
2 – El vértice del cono está sobre esa recta intersección a la cota dada (24 + 24).
3 – Realiza dos cambios de plano para que la recta intersección quede en posición vertical o de punta. De esta forma has logrado que los dos planos estén proyectantes.
4 – Determina la bisectriz de las rectas que representan a esos dos planos (que se ven proyectantes). Esa bisectriz es en realidad el plano bisector de los dos dados y que contiene al eje del cono, y por tanto, al centro de la directriz.
5 – Aparte dibuja un triángulo isósceles (figura de análisis) de base igual al diámetro de la directriz y de altura la misma longitud que la altura del cono.
6 – Determina (en la figura de análisis) una circunferencia de centro en el punto medio de la base del triángulo (la que se hizo con el diámetro de la directriz) y que sea tangente a los otros dos lados del triángulo. Con todo esto lo que se ha hecho es dibujar el cono en una posición sencilla y a continuación se ha determinado una esfera (la circunferencia) inscrita al cono. Las esferas tienen la ventaja de que no se deforman al proyectarlas y que al ser inscrita al cono también será tangente a los dos planos.
7 – Volviendo al diédrico, en el último cambio de plano (donde los dos planos se ven proyectantes) se trata de dibujar una circunferencia (en realidad es una esfera) de centro en la bisectriz (el plano bisector de los dos planos) y que sea tangente a los dos planos, con el radio determinado en la figura de análisis. El centro de esa esfera es también el centro de la directriz del cono.
8 – Se realiza un nuevo cambio de plano (ya dije que era un poco largo) con las líneas de referencia (supongo que estas trabajando en el diédrico directo por otras intervenciones) perpendiculares al plano bisector de los dos planos dados. En este cambio de plano se cambia el vértice del cono y por el centro de la directriz recién determinado se hace una línea de referencia para determinar donde estará sobre el cambio de plano.
9 – Con centro en el vértice del cono (en el último cambio de plano hecho) y radio igual a la longitud de la altura del cono (en verdadera magnitud) se hace un arco que corte a la línea de referencia del centro de la directriz. Con lo que ya tenemos una segunda proyección del centro de la directriz.
10 – Ahora se trata de deshacer los cambios de plano del centro de la directriz.
11 – Obtenidos el centro y el vértice ya conocemos el eje del cono.
12 – Para dibujar la directriz utiliza cualquiera de los procedimientos que tu conozcas y que te sea más fácil (plano perpendicular al eje y abatimiento o plano perpendicular al eje y cambio de plano, o sección rebatida, etc.).

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Determinar el lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje Z y del plano XY.

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SOLUCIÓN

El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje Z y el plano XY es un cono (o doble cono más exactamente) con vértice en el origen de coordenadas y ángulo en el vértice de 90º (45º entre el eje y sus generatrices).

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Dibujar las proyecciones de un cono recto de revolución, conociendo el vértice V (-50, 100, 90) el centro de la base o directriz O (-12, 30, 35) y un punto M (35, 20, 40) perteneciente a una de sus generatrices.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos V, O y M.

2 – Uniendo V con O se tiene el eje del cono.

3 – Dibujar el plano perpendicular al eje V-O pasando por el punto O.

4 – Determinar la intersección, A, entre la generatriz V-M y el plano anterior.

5 – El punto A es un punto de la circunferencia de la directriz (base).

6 – Abatir el plano, el centro O y el punto A. En el abatimiento, con centro en O y radio A se dibuja la circunferencia.

7 – Desabatir los puntos de la circunferencia para formar las proyecciones de la directriz.

8 – Trazar los contornos del cono mediante tangentes a las proyecciones de la directriz pasando por V.

 

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conos – 991

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Un cono recto de revolución conocemos el centro O(90, 40, 0) de su base, apoyado en el plano horizontal de proyección, su altura (35 mm), así como su ángulo cónico de 90 grados.

Dado el punto I (70, 50, z) de su superficie lateral. Sabemos que de él parte un rayo reflejado R que es una recta de punta.
Determinar las vistas diédricas del rayo incidente.

Examen de la Universidad de Cádiz, Escuela politécnica superior Algeciras (UCA) – Junio 2011

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SOLUCIÓN

1 – Situar el centro de la base del cono, O.

2 – En la proyección vertical levantar la altura del cono directamente, obteniendo la proyección vertical del vértice del cono, V’. Su proyección horizontal coincide con la proyección horizontal del centro de la base del cono, O=V.

3 – En proyección vertical a partir del vértice del cono trazar rectas que formen con el eje un ángulo igual al semiángulo del cono. Prolongándola hasta la línea de tierra se obtiene la base del cono.

4 – Con la medida de la base del cono se dibuja su proyección horizontal que es una circunferencia.

5 – Situar la proyección horizontal del punto I con las coordenadas dadas.

6 – Unir la proyección horizontal del punto I con el vértice del cono para obtener la generatriz que pasa por dicho punto. Esta toca a la base del cono en el punto J.

7 – Llevar el punto J a la línea de tierra para obtener su proyección vertical, J’. Uniéndola con el vértice del cono se consigue la proyección vertical de la generatriz del cono.

8 – Mediante una perpendicular a la línea de tierra subir la proyección horizontal hasta la generatriz J’-V’ y tenemos la proyección vertical de I.

9 – Dibujar un plano, P, tangente al cono en la generatriz I-V. Para ello, en su proyección horizontal dibujar una tangente a la circunferencia de la base y esa es su traza horizontal, p. Se determina la traza vertical de la generatriz V-I y al unir esta con el punto donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra se obtiene la traza vertical del plano.

10 – Desde el pinto I se dibuja una recta perpendicular al plano P, es decir, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano, S.

11 – Se abate el rayo reflejado, R, y la perpendicular al cono, S, respecto del plano que forman, el cual es un plano proyectante vertical. También se puede considerar que se está girando dicho plano alrededor de la recta R hasta colocarlo paralelo al plano horizontal de proyección.

12 – En el abatimiento o giro (da igual el concepto que se ha utilizado), se traza el simétrico de la recta R respecto de la recta S abatida o girada. Esto nos da la recta T que es el rayo incidente en el abatimiento o giro.

13 – Se desabate o deshace el giro hasta colocarla sobre el plano. En proyección vertical coincide con la proyección vertical de la recta perpendicular al cono.

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Dibujar la perspectiva cónica de una escalera de caracol.

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SOLUCIÓN

Esta es la perspectiva cónica de la escalera de caracol, apoyándose en su planta y un perfil :

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Ejercicios de perspectiva CÓNICA – 999

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Dibujar la perspectiva cónica de una circunferencia perpendicular al plano horizontal (geometral).

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SOLUCIÓN

1 – Se inscribe la circunferencia en un cuadrado y se halla la perspectiva cónica de la línea inferior de ese cuadrado así como de su punto medio (línea magenta).

2 – Se levantan las líneas verticales que forman los lados de cuadrado y su punto medio, fugando todo a su correspondiente foco.

3 – Dibujamos las diagonales del cuadrado en perspectiva cónica.

4 – Se dibuja un cuadrado y la circunferencia (en mi dibujo solo media) abatida sobre el plano vertical (del cuadro), directamente en verdadera magnitud, trazando también sus diagonales.

5 – Por las diagonales se hacen paralelas a los laterales del cuadrado hasta la línea sobre la que se abate y desde ahí se fugan al foco.

6 – Donde corten a las diagonales son puntos de la elipse resultante, unirlos a mano alzada.

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Dado el sistema cónico por la línea de tierra L.T., la línea de horizonte L.H., el punto principal P y el abatimiento sobre el plano del cuadro del punto de vista (V), se pide :
Dibujar la perspectiva cónica del sólido dado por sus vistas sabiendo que dicha figura está apoyada en el plano geometral, en la posición indicada por el abatimiento de su planta sobre el plano del cuadro.

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SOLUCIÓN

Los puntos (1) y (2) tienen por proyección cónica a ellos mismos, 1 y 2.

Para determinar los restantes puntos se puede recurrir a varias formas. Por ejemplo, (líneas azules) para el punto (3), he utilizado el punto de distancia.
Como (líneas verdes) (3)-(4) es paralela a línea de tierra por el punto 3 trazo otra paralela a línea de tierra, y si uno (4) con el punto de vista abatido obtengo 4 (aquí he utilizado homología).

Si (líneas magenta) uno (1) con el punto principal (que es el foco) obtengo la proyección cónica de 1-5, por homología determino 5.

(Líneas marrones), el punto (6) está sobre la recta (1)-(5), basta unirlo con el PV, y donde corte a 1-5 se halla.

(Líneas naranja) 6-7 será paralela a la línea de tierra, y, o bien, uno con P.V para obtener 7, o mejor prolongo (7)-( 8 ) hasta línea de tierra y lo fugo con PP.
(Líneas negras) uno ( 8 ) con P.V y obtengo 8 en la recta 7-PP.
Por 8 una paralela a la línea de tierra hasta 4-5, y ya se tiene 9, y, por tanto, la planta al completo.

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perspectiva CÓNICA – 996