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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 976

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Conocida una recta R cualquiera y un punto P con la proyección horizontal sobre la proyección horizontal de la recta, se pide determinar las proyecciones de las rectas que pasan por el punto P, cortan a la recta R y forman 45º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

En general :
a – Construir un cono con vértice en el punto P dado y que forme 45º con el plano horizontal de proyección.
b – Hallar la intersección de la recta dada R con el cono.
c – Unir los puntos de intersección con el punto dado y estas son las soluciones.
La realización práctica se puede realizar de varias formas (abatimiento, giro, cambio de plano, intersección directa, etc.). Comento la más rápida, por intersección directa.
1 – Desde la proyección vertical del punto se traza una línea que forme 45º con la línea de tierra (contorno del cono).
2 – Donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular a la línea de tierra y por la proyección horizontal del punto una paralela a la línea de tierra. Con centro en la proyección horizontal del punto y radio hasta donde las dos líneas anteriores se corten se dibuja una circunferencia (base del cono).
3 – Los puntos donde la base del cono (circunferencia) cortan a la proyección horizontal de la recta (en realidad es al plano proyectante que contiene al punto y a la recta) se suben hasta la línea de tierra. Desde ellos se trazan sendas líneas (generatrices) que vayan hasta la proyección vertical del punto.
4 – Donde estas generatrices corten a la proyección vertical de la recta son los puntos desde los que parten las rectas buscadas. Unirlos con la proyección vertical del punto dado y se tienen las proyecciones verticales de las rectas pedidas.
5 – Llevar los dos puntos desde la proyección vertical de la recta a la proyección horizontal de la recta y unirlos con el punto dado. Bueno, esto en teoría, pues en este caso todas las proyecciones horizontales coinciden.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 998

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Determinación del ángulo entre dos planos definidos por tres puntos, ABC y DEF (utilizando cambios de plano)

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SOLUCIÓN

1 – Se determina la intersección entre las dos figuras, i

2 – Se hace el cambio de plano para convertir la recta intersección I en vertical o de punta (perpendicular a un plano de proyección). En el primer cambio de plano las líneas de referencia son perpendiculares a la recta intersección (proyecciones x’1 e y’1). En el segundo cambio de plano las líneas de referencia son prolongación de la recta intersección, dando un punto como proyección de la recta (x1-y1)
3 – Cambiar de plano un punto de cada una de las figuras. Se pueden cambiar todos los puntos, pero con uno es suficiente, en mi caso los puntos B y E
4 – En el último cambio de plano las dos figuras se verían como líneas (proyectantes) encontrándose en la recta intersección. Por ello basta con unir los puntos llevados, b1 y e1, con la intersección, i1, da dichos planos y el ángulo que se forma entre ellos (en mi caso 148º)

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Hallar las proyecciones de una recta conocidos los ángulos que forma con el plano horizontal y vertical de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Se toma un punto de alejamiento cero (proyección x sobre la línea de tierra) y cota cualquiera (proyección x’)

2 – Por x’ se traza una recta que forme con la línea de tierra el ángulo dado para el plano horizontal de proyección (P.H)
3 – A esta recta se le determina su punto medio y con centro en él se dibuja media circunferencia
4 – Por x’ y a partir de la recta anterior se levanta otra que forme el ángulo dado para el plano vertical de proyección ( P.V )
5 – Con centro en x’ y radio hasta 1 se hace un arco hasta la línea de tierra. Donde corte a la línea de tierra es y’
6 – Con centro en x y radio hasta 2 se hace otro arco
7 – Por y’ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior, punto y
8 – Uniendo x con y y x’ con y’ dan las proyecciones de la dirección de la recta buscada, r y r’.

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ÁNGULOS -997

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Por el punto A(5,1) trazar la recta (m) que forma 60º con el primer bisector y tal que su traza horizontal tiene alejamiento 7 (tomarla más a la izquierda).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer el cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la primera.

2 – Cambia de plano el punto A y el plano bisector.

3 – En el cambio de plano, por A, trazar una recta que forme 60º con el plano bisector.

4 – Se hace un nuevo cambio de plano, con la línea de tierra paralela al plano bisector.

5 – Se cambia de plano el punto B y el punto A.

6 – Con centro en A y radio hasta B se traza un arco.

7 – Se marca una paralela a 7 cm (70 mm) de alejamiento.

8 – Donde corte a la segunda línea de tierra, es la traza horizontal cambiada de plano.

9 – Al unirlo con el punto A en el segundo cambio de plano se obtiene proyección de la recta girada.

10 – Esta toca a la tercera línea de tierra en e punto C.

11 – Se lleva el punto C hasta la circunferencia del último cambio de plano.

12 – Se une le punto de C con A, en el último cambio de plano.

13 – Se une C con A en el último cambio de plano.

14 – Se lleva el vértice H hasta la unión de A y C.

15 – Conocido el alejamiento de H se lleva a la proyección horizontal.

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ÁNGULOS en diédrico – 996

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 995

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Plano, P, que pasa por A (0, 6, 7) forma 45º con el plano horizontal de proyección y su traza horizontal forma 60º con la línea de tierra.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el punto A.
2 – Dibujar una recta horizontal, R, que pase por A. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal forma 60º respecto de la línea de tierra (el mismo ángulo que forma la traza horizontal del plano).
3 – Hallar la traza vertical de la recta. Para ello donde la proyección horizontal corte a la línea de tierra se sube una vertical hasta la proyección vertical y esta es la traza de la recta.
4 – Trazar una segunda línea de tierra (para hacer un cambio de plano) perpendicular a la proyección horizontal de la recta horizontal.
5 – Cambiar de plano el punto A.
6 – Por el punto A en el cambio de plano trazar una línea que forme 45º respecto de la segunda línea de tierra. Esta es la traza del plano en el cambio de plano.
7 – Donde la traza del plano, en el cambio de plano, toque a la segunda línea de tierra se dibuja una perpendicular a la segunda línea de tierra (o una recta que forme 60º respecto de la primera línea de tierra). Esta es la traza horizontal del plano.
8 – Por el punto donde la traza horizontal del plano corte a la primera línea de tierra se une con la traza de la recta y esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 994

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Hallar un plano paralelo a la línea de tierra, que forme 30º con el plano horizontal de proyección ( o 60º con el plano vertical de proyección) y que pase por un punto A.

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SOLUCIÓN

1 – Llevar el punto dado, A, al perfil (líneas verdes).

2 – En el perfil trazar una línea que forme el ángulo dado con el plano horizontal de proyección, P.H (o el vertical, P.V, fijarse en la figura como se miden) y que pase por la proyección de perfil, a", del perfil. Esto nos da el plano en el perfil, p".
3 – Por donde el plano en el perfil, p", corte al plano horizontal de proyección se traza un arco y después una paralela a la línea de tierra que da la traza horizontal del plano, p.
4 – Por donde el plano en el perfil, p", corte al plano vertical de proyección se traza una paralela a la línea de tierra que da la traza vertical del plano, p’.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 993

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Hallar una recta contenida en un plano paralelo a la línea de tierra y que pasa por el punto O (de ese plano) y forma 30º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

13 – Desde la proyección vertical del punto, O’, se trazan líneas que formen con la línea de tierra el ángulo dado con el plano horizontal de proyección, 30º

14 – Donde corte a la línea de tierra, punto x’ (da igual que sea a la derecha o a la izquierda) se baja hasta una paralela a la línea de tierra que pasa por O, dando x
15 – Con centro en O y radio hasta x se traza una circunferencia
16 – Donde la circunferencia corte a la traza horizontal del plano, puntos 1 y 2, se unen con el punto O, y esas son las dos posibles soluciones
17 – Subir los puntos 1 y 2 hasta la línea de tierra, 1′ y 2′, y unir con O’ para determinar sus proyecciones verticales
18 – De las dos posibles soluciones, O-1 y O-2, se elegirá O-1 por que a medida que los puntos van hacia la derecha aumentan de cota, como pide el enunciado

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