Autor: Administrador

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 991

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Heptágono regular conocida su apotema

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un heptágono cualquiera.
2 – Marcar su apotema (distancia del centro al punto medio de un lado). Llamaré O al centro, M’ al punto medio de un lado y A’ el vértice.
3 – Colocar la apotema obtenida el valor de la apotema dada en el enunciado.
4 – Por el extremo de la apotema dada se dibuja una paralela al lado del heptágono dibujado.
5 – Unir el centro del heptágono con los vértices del primer heptágono.
6 – Donde corte a la paralela da uno de los lados del heptágono buscado.
7 – Con centro en el del heptágono y radio hasta los vértices obtenidos se dibuja una circunferencia, siendo los demás vértices donde corten a la unión del centro con los otros vértices del primer heptágono.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 990

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Trazar un segmento tal que la distancia desde un punto P a donde corte con dos rectas dadas, R y S, sean la misma distancia (O situar un segmento que se apoye en dos rectas siendo P su punto medio)

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SOLUCIÓN

1 – Une el punto P con cualquier punto de una de las rectas, por ejemplo con el vértice del ángulo, V

2 – Halla el simétrico, V’, de V respecto de P
3 – Por V’ dibujar una paralela a S
4 – Donde la paralela, S’, corte a la otra recta, R, es uno de los puntos, A, por el que pasa el segmento buscado
5 – Unir A con P y es el segmento buscado

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Hallar un triángulo ABC conocidos el lado «a», la razón de los otros dos lados b/c y la diferencia de los cuadrados de esos dos lados.b² – c².

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SOLUCIÓN

Al término b² – c², le llamaré x², con lo que x² = b² – c². Esto no es exactamente el teorema de Pitágoras ya que debería estar sumando (yo le suelo llamar el primo de Pitágoras, por que se parece pero no lo es). Ahora bien si pasas c² al otro lado queda x² + c² = b², que si que es Pitágoras donde x y c son los dos catetos y b la hipotenusa.
El otro dato es la razón b/c a la que llamaré «y».
Como ves las cantidades b y c están relacionadas con un triángulo rectángulo; que no significa que el triángulo buscado sea de ese tipo. Pero nos ayudará para buscarlas, construyendo primero un triángulo rectángulo semejante que después se ampliará (homotecia) al tamaño dado.

La solución es :

1 – Dibuja dos líneas perpendiculares. Cada una será un cateto, llevando longitudes cualesquiera que cumpla la razón y = b/c. Si «y» te lo dan como una fracción, por ejemplo 3/2, pones 3 unidades en la hipotenusa y 2 en el cateto. Si «y» te lo dan como un entero, por ejemplo 3, colocas 3 unidades en la hipotenusa y 1 en el cateto.
2 – Hallas cuanto es la raíz cuadrada de x (media proporcional entre x² y la unidad).
3 – Colocas el valor obtenido sobre el cateto del triángulo anterior en el cateto sobre el que no se llevo las medidas de la razón «y».
4 – Haces un triángulo semejante al primero con esa medida, y la hipotenusa es el valor de b y el otro cateto el de c.
5 – Ya tienes a, b y c, hacer un triángulo con los tres lados.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 988

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Construir un triángulo escaleno del que se conoce su perímetro (80 mm), sabiendo que sus lados son proporcionales a 24, 18 y 12 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Se construye un triángulo, A’B’C’, con lados proporcionales a las tres cantidades dadas. Yo he construido uno cuyos lados miden 24, 18 y 12 mm, directamente, pero si fuesen cantidades muy grandes o pequeñas se puede utilizar cualquier otra proporcional (dividir o multiplicar por una cantidad todas las medidas)

2 – A partir de un vértice, A’, se coloca un segmento de longitud igual a la del perímetro del triángulo que acabamos de construir, p’ (punto X’)
3 – Desde el mismo vértice, A’, se coloca otro segmento de longitud la del perímetro del triángulo buscado, 80 (punto X)
4 – Unir un vértice del triángulo, C’, con su perímetro, p’ (punto X’) y hacer una paralela por el extremo del perímetro del triángulo buscado, X
5 – Donde corte a la prolongación del lado A’C’ es el vértice C del triángulo buscado
6 – Una paralela al lado B’C’ por C y se obtiene B en la prolongación de A’B’
7 – El vértice A es coincidente con el vértice A’

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 987

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Aplicando homotecia, dibujar un polígono regular de n lados.

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SOLUCIÓN

En primer lugar debes construir un polígono de N lados por cualquiera de los procedimientos que conozcas, según los datos que te den, y a cualquier tamaño.

Por ejemplo, uno de los procedimientos más clásicos es el que te ilustro a continuación, seguro que con solo ver la imagen ya sabes de que se trata :
Después, desde el centro trazas radios que pasen por los vértices.
Si lo que conoces es el radio, trazas una circunferencia y donde ésta corte a los radios son los nuevos vértices.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 986

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Dibujar un triángulo rectángulo conocidos el ángulo C = 38º y la diferencia de la hipotenusa menos el cateto c, a – c = 30 mm

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SOLUCIÓN

MÉTODO PRIMERO

1 – Trazar un ángulo recto (vértice A’) y desde un punto cualquiera, C’, se dibuja un ángulo de 38º hasta cortar al otro lado del ángulo recto, punto B’

2 – Con centro en B’ y radio hasta C’ se hace un arco hasta cortar a la prolongación de A’-B’ (punto X’)
3 – A partir de A’ y sobre la prolongación de x’-A’ se lleva la medida de la diferencia de la hipotenusa y el cateto dados, 30 mm
4 – Por el extremo de esta medida, X, se dibuja una paralela a X’-C’
5 – Donde esta última corte a la prolongación de A’-C’ es el vértice C del triángulo buscado
6 – Por ese vértice C hacer una paralela a B’-C’ y esta es la hipotenusa que cortará a la prolongación de A’-B’ en el vértice buscado B
7 – El vértice A es coincidente con A’

MÉTODO SEGUNDO

8 – Trazar un ángulo recto (vértice X) y añadirle un ángulo de 38º

9 – Hallar la bisectriz del ángulo formado, 90º+38
10 – Sobre uno de los lados del ángulo recto y a partir de X se mide la diferencia dada, 30 mm
11 – Por ese punto, A (primer vértice del triángulo buscado) se levanta una perpendicular
12 – El punto de corte de la bisectriz del ángulo 90º+38º con la última perpendicular es el segundo vértice del triángulo buscado, C
13 – Hallar la mediatriz de XC
14 – Donde la mediatriz de XC corte a la prolongación de XA es el tercer vértice B

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 985

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Construir un triángulo rectángulo conocido uno de sus ángulos B = 30º y la mediana de un cateto mc = 35 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Construir un triángulo rectángulo, A’B’C’, de cualquier tamaño pero con el ángulo dado B’ = B = 30º.

2 – Unir el punto medio, M’, de un cateto con su vértice opuesto C’.
3 – Sobre esa mediana llevar la medida dada mc = 35 mm. Su extremo es el primer vértice, C, del triángulo buscado.
4 – Por dicho vértice dibujar paralelas a los lados A’C’ y B’C’ hasta cortar a la prolongación de A’B’. Los puntos de corte son los vértices A y B del triángulo pedido.

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 984

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Triángulo conocidos el valor de dos de sus ángulos A = 60º y B = 45º y el valor del radio de la circunferencia circunscrita R = 30 mm

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un segmento de longitud cualquiera, A-B’

2 – Por sus extremos, A y B’, levantar ángulos de 60 y 45º, respectivamente. Ambas se cortarán en el punto C’
3 – Hallar la circunferencia circunscrita del triángulo A-B’-C’, siendo su centro O’
4 – Unir A con el centro O’ y el centro, O’, con el vértice B’
5 – Sobre A-O’ medir el radio de la circunferencia inscrita dado, a partir de A, obteniendose el centro de la circunferencia buscada, O
6 – Unir O’ con B’ y hacer una paralela a O’-B’ por O. Donde esta corte a A-B’ es el vértice B
7 – Prolongar esta última hasta cortar a la otra línea, consiguiendo el tercer vértice, C

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 983

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Hexágono inscrito en un triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Con los datos de la base y la altura dibuja el triángulo isósceles (en rojo).

2 – Haz un hexágono a cualquier tamaño (el azul en discontinuo) y en cualquier posición. Yo lo he puesto centrado en el triángulo isósceles pero no es obligatorio que esté en esa posición.
3 – Dibuja paralelas a los lados del triángulo isósceles por dos de los vértices del hexágono (en magenta y discontinuo).
4 – Une uno de los vértices de ese nuevo triángulo con uno de los vértices del hexágono (en verde y discontinua).
5 – Dibuja una paralela a esa última línea por el vértice del triángulo dado (línea verde continua).
6 – Donde toque al triángulo inicial es uno de los vértices del hexágono buscado.
7 – Traza una paralela a la base y donde toque al otro lado ya tienes el segundo vértice, a partir de ahí por paralelas al hexágono primero consigues el buscado (en línea azul contigua).

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Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 982

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Dada una circunferencia, inscribir 5 cuadrados iguales que formen una cruz griega de tal forma que esos cuadrados tengan el lado lo mayor posible

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SOLUCIÓN

Básicamente se trata de dibujar la figura a cualquier tamaño y después pasarla al pedido :
1 – Se dibuja una cruz de cualquier tamaño (en azul)

2 – Se une el centro de la circunferencia con los vértices de la cruz (en magenta) hasta tocar a la circunferencia
3 – Este es el lado de los cuadrados pedidos

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