Autor: Administrador

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 981

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Dado el triángulo A(-7, -1);B(5, -1);C(-7, -3),encontrar el círculo homotético a su circunferencia inscrita, sabiendo que pasa por B.

---

SOLUCIÓN

Las rectas tangentes a una circunferencia, también lo son a su homotética.

Por ello se tratará de dibujar una circunferencia tangente a los lado AB y AC conocido el punto de tangencia B.
Para ello, por B se traza una perpendicular a AB, mientras que por A se traza la bisectriz del ángulo "A".
Donde ambas se corten es el centro.

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 980

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Construcción de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, con un lado apoyado sobre AB y los otros dos vértices sobre los otros dos lados del triángulo

---

SOLUCIÓN

1 – Desde un punto cualquiera, 1′, levanta una perpendicular al lado AB, hasta tocar al lado contiguo (punto 2′)

2 – Dibuja un cuadrado con lado 1′-2′
3 – Une el vértice A con 3′ hasta cortar al otro lado del triángulo (punto 3)
4 – Desde el punto 3 se baja una perpendicular a AB, y este, 3-2, es el lado del cuadrado buscado

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 979

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Hallar dos circunferencias iguales tangentes entre sí, además de ser tangente cada una a un lado distinto de un triángulo conocido y tangentes ambas al tercer lado

---

SOLUCIÓN

1 – Se traza una circunferencia de radio cualquiera tangente a dos lados (la de centro x’), y otra de igual radio tangente a ella y al mismo lado

2 – Trazar una tangente al lado BC por la segunda circunferencia (lado B’C’)
3 – Unir el vértice A con el centro X’, y esté a su vez con B’
4 – Por el vértice B se hace una paralela a B’X’
5 – Donde esta última corte a AX’ es el centro de la circunferencia buscada, X
6 – Por X se hace una perpendicular a AB y ese es el radio de la circunferencia buscada
7 – Trazar la otra

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 978

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Dibujar tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isósceles, ABC, cada una a dos lados del triángulo y tangentes entre sí exteriormente.

---

SOLUCIÓN

1 – Hallar la bisectriz de uno de los ángulos, A por ejemplo, y hacer una circunferencia, centro 1′, de radio cualquiera tangente a dos lados

2 – Trazar otra igual tangente a ella y a un mismo lado, la de centro 2′
3 – Hallar una tercera circunferencia, 3′, tangente a las dos anteriores, 1′ y 2′, y a uno de los lados, AC (esto lo explico en el siguiente mensaje)
4 – Hacer una recta, B’C’, paralela al lado BC y tangente a las circunferencias 2′ y 3′
5 – Unir 1′ con B’ y después una paralela a ella por B. Donde corte a la bisectriz de A es el centro de la circunferencia buscada, 1, su radio mediante una perpendicular a AB por 1.
6 – Hacer otra igual, centro 2, tangente a la primera
7 – Unir el centro 1′ con 3′ y trazar una paralela por 1 hasta cortar a la bisectriz de C. Este será el centro 3 de la tercera circunferencia, de radio hasta donde la unión de 1 con 3 corta a la circunferencia de 1

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 977

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Construcción de un octógono inscrito en un cuadrado, ABCD

---

SOLUCIÓN

4 – Dibujar una circunferencia cualquiera de centro en el punto de cruce de las diagonales del cuadrado. Da igual que sea interior o exterior al cuadrado

5 – Dibujar dos líneas que pasen por el centro del cuadrado y formen 45º con respecto a las diagonales del cuadrado
6 – Por los puntos donde las diagonales del cuadrado corten a la circunferencia se hacen paralelas a dichas diagonales
7 – Por donde las rectas que formaban 45º con las diagonales corten a la circunferencia se hacen paralelas a dichas rectas
8 – Unir los puntos de corte de las ocho paralelas trazadas anteriormente, formando un octógono (en verde)
9 – Unir el centro del cuadrado con los ocho vértices del octógono hasta tocar a los lados del cuadrado, esos puntos son los vértices del octogono buscado (en naranja)

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 976

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

---

SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aun, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 975

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Parábola conocido un foco, un punto de la curva y una tangente (estando los elementos de resolución fuera de los límites del papel)

---

SOLUCIÓN

Tanto en este como en cualquier otro que se salga fuera de los límites del papel debes realizar una homotecia (reducir el dibujo), trabajando con la figura reducida (homotética) se determinan los elementos buscados y después se vuelven a ampliar (determinación de los elementos homotéticos iniciales).
En concreto en este problema (dejo los trazados que salen fuera del papel para que se aprecie la relación, zona verde) :
5 – Hacer una perpendicular a la tangente, t, desde el foco, F. El punto de contacto de la perpendicular con la tangente, s’, es un punto homotético del simétrico con una relación de 1/2. En otras palabras, voy a reducir todo el ejercicio a la mitad a partir del foco (centro de homotecia) y aunque el simétrico, s, esté fuera del papel, como la distancia desde el foco a la tangente es la mitad de la que hay desde el foco al simétrico, se puede obtener este punto, s’, aun estando el simétrico, s, fuera del papel

6 – Unimos el foco, F, con el punto dado, P. Y sobre esta recta hallamos su punto medio, P’. Aquí hemos vuelto a reducir los datos a la mitad
7 – Trabajamos con F, s’ y P’ (en vez de con F, s y P), dibujando la circunferencia de centro P’ (en el ejercicio original era P) y radio hasta el foco, F
8 – Hallar la tangente a esa circunferencia desde s’ (en el original era desde s), siendo su punto de tangencia 1′
9 – Unir 1′ con el foco F y sobre esa recta llevar el doble de la distancia F-1′, obteniendo el punto 1 que es el punto de tangencia con los datos originales
10 – Hacer una paralela a s’-1′ por 1 y esto nos da la directriz, d, buscada

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Ejercicios de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 974

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Hallar un triángulo rectángulo conocida la altura relativa a la hipotenusa h = 40 mm y que la hipotenusa mide el doble que un cateto.

---

SOLUCIÓN

1 – Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa doble que un cateto.
2 – Trazar la altura respecto de la hipotenusa.
3 – Medir sobre dicha altura la medida de la altura del triángulo pedido, 40 mm, a partir del pie de la altura sobre la hipotenusa.
4 – Por el extremo de la altura dada hacer paralelas a los catetos.
5 – Prolongar la hipotenusa hasta que corte a las paralelas y se forma el triángulo pedido.

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Construcción de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, con un lado apoyado sobre AB y los otros dos vértices sobre los otros dos lados del triángulo (Cuadrado inscrito en un triángulo mediante homotecia).

---

SOLUCIÓN

1 – Desde un punto cualquiera, 1′, levanta una perpendicular al lado AB, hasta tocar al lado contiguo (punto 2′).

2 – Dibuja un cuadrado con lado 1′-2′.

3 – Une el vértice A con 3′ hasta cortar al otro lado del triángulo (punto 3).

4 – Desde el punto 3 se baja una perpendicular a AB, y este, 3-4, es el lado del cuadrado buscado.

---

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza

HOMOTECIA – 973

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza

Conocido un triángulo rectángulo, dibujar una circunferencia tangente a la hipotenusa, que pase por el vértice del ángulo recto y que tenga su centro en uno de los catetos.

---

SOLUCIÓN

Mediante homotecia:

1 – Dibujar una circunferencia cualquiera con centro cualquiera sobre un cateto, O’ y radio hasta el ángulo recto, H.

2 – Desde su centro, O’, dibujar una perpendicular a la hipotenusa, que nos da el punto de tangencia, T’, en un triángulo homotético al dado (el triángulo relleno de amarillo, aunque no hace falta dibujarlo).

3 – Unir el ángulo recto H (el centro de homotecia) con el punto de

tangencia T’ y donde corte a la hipotenusa es el punto de tangencia de la circunferencia buscada, T.

4 – Por el punto de tangencia, T, trazar una perpendicular a la hipotenusa y obtenemos el centro de la circunferencia buscada, O.

 

---

 

Inicio > Geometría plana > Homotecia y semejanza | | Vídeos sobre homotecia | | Vídeos sobre semejanza