Autor: Administrador

Ejercicios de espirales – 998

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Hacer una voluta de un hexágono.

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SOLUCIÓN

1 – Prolongas los lados del hexágono (en rojo) hacia un mismo lado.

2 – Con centro en un vértice y radio hasta el siguiente haces el arco que está entre dos prolongaciones ( el arco más pequeño en magenta).
3 – Con centro en el siguiente vértice y radio hasta donde el anterior toca a la prolongación de lado del hexágono, se hace otro arco (el segundo en azul).
4 – Se repite el proceso.

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División de una circunferencia en nueve partes ( eneágono ).

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SOLUCIÓN

1 – Trazas la circunferencia, de centro O y radio hasta A.

2 – Dibujar dos diámetros perpendiculares, AB y FO.

3 – Con centro en A y B y radios hasta O, trazar dos arcos que cortarán a la circunferencia en C y D.

4 – Con centro en C y radio hasta D hacer otro arco. Ídem con centro en D y radio hasta C. Los dos se cortan en E.

5 – Con centro en E y radio hasta A hacer un arco.

6 – La porción marcada con L es el lado del eneágono.

7 – Con radio ese lado, pinchar en la circunferencia y sucesivamente sobre donde los arcos la vayan cortando. Esas son las divisiones.

 

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circunferencias y ARCOS – 999

Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 998

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División de un arco en partes iguales

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SOLUCIÓN

1 – Sea el arco AB de centro O que se desea dividir, en por ejemplo, seis partes.

2 – Se completa la semicircunferencia, AC.
3 – Con centro en el extremo opuesto de la semicircunferencia, C y radio hasta el centro del arco, O, se traza una segunda semicircunferencia OD.
4 – Se une el extremo de la segunda semicircunferencia, D, con el del arco, B.
5 – Por el otro extremo del arco, A, se levanta una perpendicular al radio hasta cortar a la unión anterior, E. Ese segmento, AE, es la rectificación del arco, AB.

6 – Se divide la rectificación en el número de partes que se desea. En este ejemplo en seis.
7 – Se unen las seis divisiones de la rectificación con el extremo de la segunda semicircunferencia, D.
8 – Donde estas últimas uniones corten al arco dado, AB, son las porciones en las que queda dividido el arco (método aproximado)

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 997

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¿ Qué son los ángulos centrales de una circunferencia ?

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SOLUCIÓN

El teorema que relaciona los ángulos centrales con los arcos dice:
"En circunferencias iguales o en la misma circunferencia, los ángulos centrales son proporcionales a los arcos correspondientes"
Esto quiere decir, por ejemplo, que si se tienen dos ángulos centrales uno de doble abertura que el otro, también los arcos serán uno de doble longitud que el otro.
Ahí va una parte de la demostración:
Supongamos dos circunferencias iguales de centros Q y Q’ y en ellas los ángulos centrales AQB y A’Q’B’ cualesquiera. Supongamos también que los arcos AB y A’B’ son conmensurables entre sí. Ambos arcos deberán tener una unidad de medida común. Llamemos arcAM a este arco unidad común.
Supongamos que arcAM está contenida en arcAB m veces y en arcA’B’ n veces, o sea que arcAB = m.arcAM y arcA’B’ = n.arcAM y también arcAB/arcA’B’=m.arcAM/n.arcAM=m/n
Pero al dividir el arcAB en m partes iguales el ángulo central AOB habrá quedado dividido en m ángulos centrales iguales. De igual forma al dividir el arcA’B’ el ángulo A’O’B’ habrá quedado dividido en n ángulos iguales, por lo cual será :
ángAOB / ángA’O’B’ = m.ángAOM / n.AOM = m / n; luego ángAOB / ángA’O’B’ = arcAB / arcA’B’ como dice el enunciado del teorema.
En el supuesto de que los arcos AB y A’B’ fueran inconmensurables también se cumpliría el teorema pero la demostración es más larga.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 996

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Hacer una circunferencia de radio 5 cm, que pase por el punto P y corte a la recta R según una cuerda de 4 cm

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la recta se traza un segmento de 4 cm, A-B

2 – Con centro en A y B se hacen sendos arcos de radio 5 cm
3 – Donde se corten, C’, se traza una circunferencia de radio 5 cm
4 – Ahora aplicaremos una traslación. Por el punto P se hace una paralela a la recta R hasta cortar a la circunferencia (punto X)
5 – Por el centro C

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 995

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Dadas tres rectas a, b, c que se cortan formando un triángulo trazar una circunferencia que las corte según cuerdas de magnitud igual al radio

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SOLUCIÓN

No hay más que trazar triángulos equiláteros con vértices en el incentro y con bases en cada uno de los lados. Esto es posible porque la distancia del incentro a los tres lados es la misma, el radio de la circunferencia inscrita.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 994

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Dibujar las circunferencias de 30 mm, de radio que determinen al cortarse con el eje de las X, cuerdas de 40 mm y que se vean desde V(0, 35) bajo un ángulo de 60º (la circunferencia)

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SOLUCIÓN

Vamos a localizar el centro de la circunferencia con una traslación y un giro :
Dibujar los ejes X e Y, y sitúa el punto V.
Hacer un ángulo de 60º con vértice en V y cualquier orientación. Por ejemplo se puede hacer una paralela al eje X por V y después levantar ángulos de 30º hacia cada lado.
Hacer paralelas a las líneas del ángulo separadas una distancia igual al radio de la buscada, 30 mm. Donde se corten es el centro de una circunferencia tangente (que se ve) al ángulo de 60º. No es necesario llegar a dibujar la circunferencia.
Con centro en V y radio hasta el centro localizado se hace un arco. En ese arco estará el centro buscado.
En cualquier lugar del eje X se dibuja un segmento de 40 mm.
Con centro en los extremos y radio 30 mm se hacen sendos arcos que se cortarán en un punto.
Hacer una paralela al eje X por ese último punto.
Donde esa última paralela al eje X corte al arco que se hizo con centro en V (dos soluciones) son los centros de las circunferencias buscadas.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 993

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Hacer una circunferencia de radio 5 cm, que pase por el punto P y corte a la recta R según una cuerda de 4 cm

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la recta se traza un segmento de 4 cm, A-B

2 – Con centro en A y B se hacen sendos arcos de radio 5 cm
3 – Donde se corten, C’, se traza una circunferencia de radio 5 cm
4 – Ahora aplicaremos una traslación. Por el punto P se hace una paralela a la recta R hasta cortar a la circunferencia (punto X)
5 – Por el centro C

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 992

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Trazado de la tangente a un arco desde un punto exterior, siendo el centro del arco inaccesible

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SOLUCIÓN

1 – Desde el punto dado P, trazas una recta que corte al arco

2 – Se hace una semicircunferencia con centro en el punto medio entre P y el punto más alejado de corte con el arco, A, y radio hasta el punto P
3 – Por el punto de corte más cercano, B, se levanta una perpendicular a la recta hasta cortar a la semicircunferencia anterior
4 – Con centro en P y radio hasta donde la perpendicular anterior corte a la semicircunferencia se traza un arco hasta cortar al dado, T
5 – Uniendo T (punto de tangencia) con el punto dado P se obtiene la tangente al arco

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 991

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Determinación del punto medio de un segmento utilizando solo el compás

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SOLUCIÓN

1 – El segmento conocido es AB

2 – Con centro en B y radio hasta A se traza una circunferencia (roja)
3 – Con centro en A y radio el segmento dado se traza un arco que corte al anterior (punto C)
4 – Con centro en C y radio el segmento dado se traza otro arco que corte al primero (punto D)
5 – Con centro en D y radio el segmento dado se traza un tercer arco que corte al primero (punto E)
6 – Con centro en A y radio el segmento dado se dibuja una circunferencia (azul)
7 – Con centro en E y radio hasta A se traza un arco que corte a la circunferencia anterior (puntos F y G)
8 – Con centros en F y G y radio hasta A se trazan sendos arcos, cortándose en H que es el punto medio del segmento AB dado

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