Autor: Administrador

Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 990

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Duplicar un segmento, AB, utilizando solo el compás.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en B y radio AB, trazar un arco que sea mayor que una semicircunferencia

2 – Con centro en A y radio AB cortar al primer arco, punto C
3 – Con centro en C y radio AB hacer un nuevo arco que corte al primero, punto D
4 – Con centro en D y radio AB un último arco que corte al primero, punto E, AE = 2·AB

Para triplicar el segmento AB

5 – Repetir el proceso anterior, duplicando BE

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 989

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Dividir un segmento, AB, en tres partes iguales (trisección)

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SOLUCIÓN

1 – Triplicar el segmento dado, AF = 3·AB (el procedimiento lo tienes en el siguiente mensaje)

2 – Con centro en el extremo F y radio hasta A hacer una circunferencia
3 – Con centro en A y radio hasta B hacer otra circunferencia
4 – Ambas circunferencias se cortarán en dos puntos, G y H
5 – Con centro en G y H y radio hasta A trazar dos arcos
6 – Los arcos se cortarán en un punto, X, que es una de las divisiones buscadas, AX = AB/3
7 – Duplicar el segmento AX para obtener la segunda división,

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 988

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Determinación del punto medio de un arco conocido su centro

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SOLUCIÓN

1 – El arco es AB y su centro C

2 – Hacer un arco con centro en A y radio BC. Después otro con centro en C y radio AB. Ambos arcos se cortan en D.
3 – Hacer un arco con centro en B y radio AC. Después otro con centro en C y radio AB. Ambos arcos se cortan en E.
4 – Hacer dos arcos de centros D y E y radios AE. El punto de corte es F.
5 – Con centro en D y E y radio CF se trazan dos arcos. El punto de corte es el punto medio del arco buscado, G.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 987

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Determinación del punto de intersección de una recta con un arco que pasa por su centro

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SOLUCIÓN

1 – Sea una recta (roja), de extremo Y, y una circunferencia (verde) de centro C

2 – Con centro en un punto de la recta (el extremo Y) se traza una circunferencia auxiliar que corte a la circunferencia dada
3 – La circunferencia auxiliar corta a la dada en dos puntos A y B, hallar el punto medio del arco AB (caso anterior), punto H.
4 – El punto H es el punto de corte de la circunferencia con la recta.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 986

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Construcción de un cuadrado conocido el lado, utilizando solo el compás.

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SOLUCIÓN

1 – El lado dado es el segmento AB

2 – Con centro en B y radio hasta A se traza una circunferencia
3 – Con centro en A y radio el lado del cuadrado se traza un arco que corte al anterior (punto C)
4 – Con centro en C y radio el lado del cuadrado se traza otro arco que corte al primero (punto D)
5 – Con centro en D y radio el lado del cuadrado se traza un tercer arco que corte al primero (punto E)
6 – Con centro en A y radio hasta D se traza un nuevo arco (azul)
7 – Con centro en E y radio hasta C un nuevo arco que cortará al anterior (punto F)
8 – Con centro en B y radio hasta F se hace un arco (verde)
9 – Con centro en A y radio el lado del cuadrado se traza otro arco que corte al anterior (punto G). Este es el tercer vértice del cuadrado
10 – Con centros en B y G se trazan sendos arcos con radio el lado del cuadrado, dando el cuarto vértice del cuadrado, H.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 985

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Construcción de un pentágono conocido el lado

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SOLUCIÓN

1 – Conocemos el lado AB del pentágono.

2 – Se halla el punto G, tercer vértice de un cuadrado de lado AB.
3 – Se determina el punto medio, H, del lado AB.
4 – Con centro en H y radio hasta G se traza una circunferencia (roja).
5 – Se determina el punto de corte, I, del lado AB con esa circunferencia.
6 – Con centro en A y B y radio AI se trazan dos arcos que se cortan en J, tercer punto del pentágono.
7 – Con centro en A, B y J se trazan tres arcos de radio el lado del pentágono.
8 – Donde se corten son los dos últimos vértices, K y L, del pentágono.

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Trazar una circunferencia que pase por el punto P y forme 90º (ortogonal) con la circunferencia A (de centro C1) y 30º con la circunferencia B (de centro C2)

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SOLUCIÓN

1 – El punto dado, P, es el centro de inversión. La circunferencia A se considera como circunferencia doble. La circunferencia de autoinversión tiene de radio la tangente entre el centro de inversión y la circunferencia A.

2 – La inversa de la circunferencia buscada se transformará en una recta, C’, y formará 90º con la circunferencia A’.
La recta C’ pasa por el centro de la circunferencia A. Luego tenemos un punto por el que pasa la recta inversa C’, al que llamaré D’.
Si hallamos el inverso, D, de ese punto tendremos un punto de la circunferencia buscada.

3 – El problema ha quedado reducido a hallar una circunferencia que pase por el punto dado inicialmente, P, el nuevo hallado, D, y que forme 30º con la circunferencia B.
Realizamos una nueva inversión. Volvemos a tomar el punto dado, P, como centro de una nueva inversión. La circunferencia B como doble.
La circunferencia de autoinversión con radio la tangente desde el centro de inversión a la circunferencia B.

4 – Se halla el inverso del punto D, al que llamaré D».

5 – La inversa de la circunferencia se transformará en una recta que pasará por D» y formara 30º con la circunferencia B.
Para dibujarla se traza una tangente cualquiera a la circunferencia B y por su punto de tangencia una recta que forme 30º.
Desde el centro de la circunferencia B se hace la circunferencia tangente a la recta que forma 30º.
Por el punto D» se halla la tangente a la circunferencia anterior, C». Esta última es la inversa de la circunferencia buscada.

6 – El centro de la circunferencia buscada, C3, estará en la perpendicular a su inversa C» pasando por el centro de inversión, P.
Además, el centro de la buscada está en la mediatriz de los dos puntos por los que debe pasar, P y D.
Luego, donde dicha mediatriz corte a la perpendicular a D» es el centro buscado, C3.

 

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 983

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Hallar una circunferencia que forme 30º con una recta, r, y que esta circunferencia sea tangente a otra recta, t, en un punto, T, dado

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SOLUCIÓN

1 – Considerar el punto de tangencia, T, como centro de inversión, O

2 – Dibujar la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión), c.p.d, con centro en el polo (o centro de inversión), O, y radio cualquiera (es más cómodo si se toma una circunferencia que corte a la recta r)
3 – Hallar la inversa, r’, de la recta r, que será una circunferencia que pasará por el centro de inversión, O, y por un par de puntos inversos. Como 1 y 2 son dobles por estar en la circunferencia de puntos dobles, también pasará por ellos.
4 – Trazar una línea, x, que forme 30º con la recta t en cualquier lugar
5 – Hacer una perpendicular a x por el centro de la circunferencia r’, que la cortará en el punto 3 (y en otro que no he marcado, por lo que hay dos posibles soluciones)
6 – Por 3 dibujar una paralela a la recta t, que será, c’, inversa de la circunferencia buscada, c
7 – Por el punto de tangencia, T, se levanta una perpendicular a la recta t
8 – Hallar el inverso de cualquier punto de la recta c’. He utilizado el punto 4′, donde se cortan c’ y r’, pues su inverso estará en r, y se obtiene con solo unir O con 4′ y donde corte a r es su inverso, 4
9 – Hallar la mediatriz entre O y 4 y donde corte a la perpendicular a t por O es el centro, A, de la circunferencia buscada
10 – Con centro en A y radio hasta O hacer la circunferencia solución

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 982

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Dadas dos circunferencias, trazar una recta que forme un ángulo de 60º con una de ellas y otro ángulo de 45º con la otra.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar en cada circunferencia dos radios cualquiera (líneas azules verticales).

2 – Hacer otro radio que formen los ángulos dados, 60º y 45º.
3 – Hacer una perpendicular al primer radio que pase por donde las circunferencias corten a los ángulos de 60º y 45º.
4 – Dibujar dos circunferencias (verdes) con radio hasta donde la perpendicular corta a los primeros radios.
5 – Las cuatro tangentes entre estas dos últimas circunferencias son las cuatro posibles soluciones.

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Ejercicios de circunferencias y ARCOS – 981

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Construir un ángulo de 52º 30′ con el compás.

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja un ángulo recto ( 90º ), en negro.

2 – Divide el ángulo recto en tres partes iguales ( 30º cada una ), en rojo.
3 – El ángulo que queda entre los otros dos se divide en dos partes iguales ( bisectriz, cada una 15º ), en azul.
4 – De las dos divisiones anteriores, divide una en dos partes iguales ( cada una mide 7º 30′ ), en magenta.
5 – El ángulo pedido es igual que 52º 30′ = 60º – (7º 30′), luego el ángulo buscado es el que hay entre la línea horizontal y la última bisectriz.

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