Autor: Administrador

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Determinar las proyecciones de un cuadrado de 30 mm de lado contenido en un plano que contiene a LT, definido este por un punto A de él, sabiendo que un vértice T del cuadrado se encuentra en LT y una de las diagonales del cuadrado es perpendicular a LT.

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SOLUCIÓN

1 – Llevar el punto A y T al perfil y unirlos con la línea de tierra para formar el plano en el perfil, p».

2 – Aparte, con la medida del lado del cuadrado se dibuja este y se determina su diagonal, d.
3 – En el perfil y sobre el plano, a partir del punto T se mide la diagonal, d, obteniendo el segundo vértice del cuadrado, s».
4 – En la proyección horizontal y vertical, hacer perpendiculares a al línea de tierra y determinar sobre ellas las proyecciones del punto S.
5 – Tanto en la proyección horizontal como en la vertical se dibujan paralelas a la línea de tierra que pasen por los puntos medios de las proyecciones de ST.
6 – Llevar sobre esas paralelas la medida de la diagonal del cuadrado y conseguimos los otros dos vértices, Q y R.
7 – Unir los cuatro puntos, Q-S-R-T.
Nota : Las dos diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí. Si una diagonal es perpendicular a la línea de tierra, la otra será paralela a la línea de tierra.
Las rectas que tienen sus dos proyecciones perpendiculares a la línea de tierra (rectas de perfil) se ven en verdadera magnitud en el perfil. Mientras que las que son paralelas a la línea de tierra tiene sus dos proyecciones en verdadera magnitud.

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planos en diédrico – 004

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Las trazas de un plano se puede dar con tres coordenadas su representación es la siguiente :

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SOLUCIÓN

Un plano se puede dar por tres coordenadas, como P (10, 20, 30), donde la primera cifra es la referencia o distancia desde el origen de coordenadas hasta el vértice del plano, si es positivo se mide hacia la derecha y si es negativo hacia la izquierda.

La segunda cifra es el alejamiento, se mide desde el origen de coordenadas en vertical hacia abajo si es positivo o por encima de la línea de tierra si es negativo. Ese punto se une con el vértice del plano y se obtiene la traza horizontal del plano.

La última cifra es la cota, se mide desde el origen de coordenadas en vertical hacia arriba si es positiva o por debajo de la línea de tierra si es negativa. Ese punto se une con el vértice del plano y se obtiene la traza vertical del plano.

En los planos proyectantes el alejamiento o la cota tienen un valor infinito, por ejemplo, Q (10, 20, infinito).

En los planos paralelos a la línea de tierra la referencia tiene un valor infinito, por ejemplo, R (infinito, 10, 20).

 

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Ejercicios de planos en diédrico – 002

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Dibujar un plano, P, conocida la recta de máxima pendiente, A-B

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Hallar la traza horizontal de la recta (en este caso coincide con el punto B)

2 – Hallar la traza vertical de la recta, v’
3 – Por la traza horizontal de la recta hacer una perpendicular a la proyección horizontal de la recta y esta es la traza horizontal del plano, p
4 – Unir el punto donde toca a la línea de tierra con la traza vertical de la recta, v’, y esta es la traza vertical del plano, p’

OPCIÓN II

5 – Hallar la traza horizontal de la recta (en este caso coincide con el punto B)

7 – Por la traza horizontal de la recta hacer una perpendicular a la proyección horizontal de la recta y esta es la traza horizontal del plano, p
8 – Por un punto de la recta, A, hacer una recta horizontal con la proyección horizontal, r, perpendicular a la proyección horizontal de la recta dada y su proyección vertical, r’, paralela a la línea de tierra
9 – Hallar la traza vertical de la recta horizontal, v’
10 – Unir el punto donde la traza horizontal del plano, p, toca a la línea de tierra con la traza vertical de la recta horizontal, v’, y esta es la traza vertical del plano, p’

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El plano P viene definido por la línea de tierra y el punto A(-40,30,60), dibujarlo.

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SOLUCIÓN

Al decir que «viene definido por la línea de tierra» nos está indicando que es un plano que pasa por la línea de tierra.
Las dos trazas del plano se encuentran en la línea de tierra.

En este tipo de plano suele ser muy útil trabajar con su perfil. Para obtenerlo se lleva el punto dado al perfil y se une con la línea de tierra, y esta es la proyección de perfil.

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planos en diédrico – 001

Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 999

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1 – Hallar la intersección de una pirámide hexagonal regular, de 69 mm de altura, con un plano proyectante horizontal (beta) que forma un ángulo de 60 grados con el plano vertical, hacia la izquierda.
2 – Obtener la verdadera magnitud de la sección.
De la pirámide regular se conocen los siguientes datos :
– Está apoyada por su base en un plano proyectante vertical (alfa) que forma 45 grados con el horizontal de proyección a la derecha. El punto de la media base se encuentra en el primer diedro, alejado 46 mm. del plano vertical y situado en el proyectante a 102 mm del punto de intersección de sus trazas (medidos sobre alfa’ )
– Uno de los vértices del hexágono de a base se encuentra en el primer diedro, alejado 69 mm del plano vertical y situado en el proyectante a 126 mm del punto de intersección de sus trazas (medidos sobre alfa’ ) los puntos de intersección de las trazas de los planos alfa y beta se encuentran separados 89 mm.

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SOLUCIÓN

Esta es la solución :

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Pirámide conocidos dos puntos de la base y el vértice.

Se ha considerado una pirámide recta de base hexagonal (ver perspectiva adjunta) para la elaboración de patas niveladoras de máquinas. Se pide :

1.- Representar las proyecciones de la entrecara y determinar su magnitud.

2.- Representar el plano determinado por A, B y V.

3.- Representar las proyecciones del centro de la base y determinar la altura de la pirámide.

4.- Representar las proyecciones de la pirámide.

5.- Representar el plano beta determinado por B, X y el punto medio de la altura.

6.- Representar las proyecciones y VM de la sección que origina beta sobre el sólido.

DATOS :

A ( Alejamiento = 11 mm; Cota = – 31 mm; Distancia al margen derecho del formato = 72 mm)

B ( Alejamiento = 67 mm; Cota = 23 mm; Distancia al margen derecho del formato = 78 mm)

C ( Alejamiento = – 36 mm; Cota = 64 mm; Distancia al margen derecho del formato = 159 mm)

El único vértice de la base que se encuentra a dereha de A y B es X.

NOTA : Este ejercicio se resolverá en un formato A4 en posición vertical, representándose la L.T. en horizontal y dividiendo al formato en dos superficies iguales.

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SOLUCIÓN

Para la determinación de las magnitudes de la pirámide se construirá un hexágono con el valor entre caras de la magnitud AB abatida. Para ello basta con levantar dos líneas a 30º y donde se corten es el centro del hexágono.

De dicho hexágono se determina el valor de su diagonal, la cual se utilizará para dibujar la sección media de la pirámide (ver la figura de análisis), que es un triángulo isósceles de lados iguales a la magnitud VA y VB tomadas del abatimiento.

La altura de la sección media es el valor de la altura de la pirámide.

Si la recta AB fuese vertical (o de punta), la sección ABV sería proyectante a la vez que la base hexagonal también (ver la figura de análisis).

En esa situación la sección VME estará en verdadera magnitud, la cual está formada por cantidades ya averiguadas anteriormente. Si se prefiere se puede trabajar con la sección VOM.

Para ello se debe colocar la recta AB en posición vertical (o de punta), para lo que se recurre a dos cambios de plano. El primer cambio de plano (en verde) con la línea de tierra paralela a la proyección horizontal de AB y la tercera perpendicular (en naranja).

En el último cambio de plano se dibujará la sección VAE (en azul oscuro) en verdadera magnitud, siendo VE el valor de la arista lateral del cono deducida anteriormente y el segmento ME extraído del hexágono que se dibujó en verdadera magnitud anteriormente.
Si por el vértice V1 se hace una perpendicular (en amarillo) al lado A1-E1 se obtiene la altura y el centro de la base, O1.

También se podría haber trabajado con el triángulo VMO y de esa manera obtener directamente la posición del centro.

Se deshace el cambio de plano (líneas azul claro y naranja) del centro, O, de la base. Siendo el plano VEO proyectante en la otra proyección, por lo que el centro O estará sobre la altura del triángulo VAB.

Para las otras proyecciones se lleva la medida correspondiente (s y t).
Las proyecciones del punto E se determinan de la misma forma (en marrón y naranja) que las del centro O (medidas u y v).

Como el hexágono es simétrico y ya se conocen tres vértices, A-B-E, y el centro, O, basta con unir las proyecciones de esos puntos con el centro y llevar esa misma distancia hacia el otro lado (ver la figura de análisis de la parte superior).

Ya solo queda unir los seis vértices de la base entre sí y con el vértice de la pirámide.

 

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Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 997

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Sobre un plano "alfa"(-30, 30, 30) se apoya una pirámide recta de 60 mm de altura; se sabe que los vértices de la base son los puntos A(0, 20, Z) B(40, 0, Z) C(20, 35, Z).
Hallar:
a) Las proyecciones diédricas de la pirámide.
b) La longitud real de las aristas AB y CV, siendo V el vértice opuesto de la base.

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SOLUCIÓN

1 – Sitúa el plano.
2 – Sitúa los puntos A, B y C. Para el punto B, la proyección vertical del punto la tienes sobre la traza vertical del plano por tener alejamiento cero. Para los puntos A y C utiliza una recta horizontal o frontal para localizar su otra proyección.
3 – Localiza el baricentro del triángulo ABC en ambas proyecciones.

4 – Por los baricentros levanta rectas perpendiculares a las trazas del plano.
En el siguiente dibujo lo aclaro.

5 – Sobre esa perpendicular y a partir del baricentro tienes que hallar la proyección de la altura de la pirámide, 60 mm. Este es el vértice V.
En el siguiente dibujo pongo los pasos a seguir

6 – Une el vértice V con ABC. Ya tienes la pirámide.
7 – Determinas las distancias que hay entre AB y CV.

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Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 996

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De un hexágono regular ABCDEF de 50 mm de lado se sabe que el lado AB está en el plano horizontal de proyección y sobre la recta que pasa por K(-50, 0, 0) y forma 30º con la línea de tierra. El lado EF está sobre el plano vertical de proyección.
Se pide:
– Dibujar el hexágono
– Dibujar la pirámide regular que lo tiene por base sabiendo que tiene una cara lateral apoyada en el plano horizontal de proyección. Señalar la parte de la pirámide que queda en el primer cuadrante.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el punto K y desde él trazar una recta que forme 30º con la línea de tierra. Esta es la traza horizontal del plano que contiene al hexágono, p.

2 – Dibujar un hexágono, a1-b1-c1-d1-e1-f1, de lado 50 apoyado en la recta anterior y en cualquier lugar.
3 – Por K trazar una paralela a e1-f1. Esta es la traza vertical del plano abatida, (p’).
4 – Por f1 hacer una paralela a p y donde corte a (p’) es el vértice (F) del hexágono abatido buscado.
5 – Trazar el resto del hexágono abatido, (A)-(B)-(C)-(D)-(E)-(F), por paralelas al primero, a1-b1-c1-d1-e1-f1.
6 – Las proyecciones horizontales de A y B coinciden con sus abatimientos y las verticales están sobre la línea de tierra.
7 – Por (E) y (F) trazar perpendiculares a la traza horizontal del plano, p, y donde corten a la línea de tierra son sus proyecciones horizontales. Para las verticales subir perpendiculares a la línea de tierra y con centro en K y radios hasta los puntos abatidos, (E) y (F), trazar sendos arcos. Donde corten a las verticales son las proyecciones verticales.
8 – Unir las proyecciones de los puntos, B con A, A con F y F con E.
9 – El lado E-D es paralelo al lado A-B y de igual longitud. Por el extremo D una paralela al lado A-F y con su misma longitud se obtiene C. Unir C con B.

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Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 995

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El segmento A(-0.5; 0.4; 4.75) B(-3.5; 3.1; 7.4) es arista lateral de la base de una pirámide regular de base cuadrada cuyo vértice V está situado en el plano P(12; 10; 10) y tiene cota 2 cm. Se pide dibujar la pirámide dando la solución más alta.

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SOLUCIÓN

Primera parte. Construcción de una cara lateral de la pirámide, ABV

1 – Situar los puntos A, B y el plano P

2 – Trazar una recta horizontal, R, de cota 2 cm situada en el plano P
3 – Dibujar un plano, Q, perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio.
4 – Hallar el punto de intersección, V, entre la recta horizontal, R, y el plano anterior, Q
5 – Unir A y B con V y esta es una de las caras laterales de la pirámide.

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Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 994

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Dado un soporte compuesto por un tronco de pirámide recto con bases triangulares equiláteras, coronado en ambas bases por dos tetraedros de igual arista que las bases sobre las que se apoya. Conociendo tres puntos :
A (47, 83.5, 59.5) (alejamiento, cota, referencia)
B (72.5, 84.5, 115)
C (16.5, 33, 129.5)
Se pide:
a) Trazas del plano ABC.
b) Ángulo que forma dicho plano con los planos de proyección.
c) Lado de las bases mayor y menor del tronco de pirámide.
d) Proyecciones del tronco de pirámide.
e) Proyecciones de los dos tetraedros.
NOTA : D tiene mayor cota que A

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SOLUCIÓN

Existen varias posibles formas de hacerlo. Comento una de ellas.
1 – Colocados los tres puntos A, B y C, se hace un cambio de plano para colocar el triángulo ABC en proyectante (línea de tierra segunda perpendicular a la dirección de la traza del plano que forma ABC), dando a’1b’1c’1

2 – Hacer otro cambio de plano para que el triángulo ABC esté en verdadera magnitud (tercera línea de tierra paralela a a’1b’1c’1, dando a1b1c1
3 – En el último cambio de plano se dibuja el cuarto vértice e1, del trapecio formado por ABCE
4 – En el último cambio de plano se hacen los abatimientos de las caras BCDF y ADEF, respecto de sus trazas c1b1 y a1e1, respectivamente. En realidad solo se dibujan las caras trapeciales en verdadera magnitud (líneas verdes relleno de rosa)
5 – Se desabaten los puntos (D) y (F) mediante perpendiculares a sus respectivas trazas b1c1 y a1e1, donde se corten ambas perpendiculares son las proyecciones de los puntos, d1 y e1
6 – Se determina la altura de esos puntos (líneas naranjas rellenas de azul)
7 – A partir de la proyección a’1b’1c’1, se llevan esa alturas (en perpendicular a esas proyecciones) y hasta la perpendicular a la tercera línea de tierra que pasa por d1 y e1
8 – Ya solo queda ir deshaciendo los cambios de plano

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