Autor: Administrador

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides

 

Hallar la altura de una pirámide regular de base un triángulo equilátero de lado 80 mm y ángulo diedro entre las caras laterales de 105º.

---

 

SOLUCIÓN

Supongamos la pirámide, ABCD, ya construida.

Para medir el ángulo diedro de dos caras laterales, CDB y CDA, trazaríamos dos perpendiculares a la arista común, CD, desde un punto de ella, X. El ángulo entre ambas perpendiculares es el ángulo diedro, 105º.

El punto por el que pasan las perpendiculares, X, puede ser cualquiera de la arista común, CD, pero también se puede tomar, de tal forma que, las perpendiculares pasen por los vértices, A y B, de la pirámide. De esta forma conocemos tres datos del triángulo ABX : es isósceles, el ángulo X = 105º y el lado AB = 80 mm.

Otro triángulo importante en el trazado es CBX (o CAX, son iguales). De este triángulo también conocemos tres elementos : es rectángulo (X = 90º), el lado CB = 80 mm y el lado BX que se obtendrá del triángulo ABX.

La realización práctica es la siguiente :

1 – En proyección horizontal se dibuja la base, ABC, como un triángulo equilátero de lado 80 mm, con uno de sus lados, AB, perpendicular al plano vertical de proyección (o a la línea de tierra).

2 – El baricentro, O, del triángulo ABC se une con sus tres vértices, y con ello, tenemos la proyección horizontal completa de la pirámide, ABCD, buscada.

3 – Apoyándonos en el lado AB se dibuja un arco capaz de 105º y desde el centro de AB una perpendicular hasta cortar al arco. Este punto (X1) se une con A y B. El triángulo A-B-(X1) es el abatimiento del triángulo ABX alrededor de la traza AB. De esta forma hemos determinado la magnitud de AX o BX.

4 – A partir de BC se traza el arco capaz de 90º y se traza un arco con centro en B y radio la magnitud BX = B-(X1), obtenida del abatimiento anterior. Donde se corten, (X2), se une con B y C siendo el triángulo B-C-(X2) el abatimiento de BCX alrededor de BC.

5 – La proyección horizontal del punto X está en la perpendicular a su traza, AB, desde su abatimiento (X1). También estará en la perpendicular a la otra traza, BC, desde su abatimiento (X2). Donde se corten ambas, X, es su proyección horizontal.

6 – Dibujamos la base, ABC, en proyección vertical. Esta es una paralela a la línea de tierra, A’B’C’.

7 – En proyección vertical la cara ABD y ABX se ven proyectantes. En concreto la cara ABX tiene de longitud la altura, Z-(X1), del triángulo abatido A-B-(X1). Así que con centro en Z’ y radio Z-(X1) se traza un arco.

8 – Desde la proyección horizontal de X se dibuja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior. El punto de corte es la proyección vertical X’.

9 – El punto X está en la arista CD, luego uniendo X’ con C’ tenemos la recta en la que se encuentra el cuarto vértice de la pirámide, D. Si desde la proyección horizontal de D se traza una perpendicular a la línea de tierra donde corte a C’-X’ es la proyección vertical D’.

10 – Unir las proyecciones verticales A’, B’ y C’ con D’ y tenemos la proyección vertical completa de la pirámide.

11 – Si en proyección vertical bajamos una perpendicular a la línea de tierra desde D’ hasta la base A’B’C’ se obtiene la altura de la pirámide, H = O’-D’.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides | |

 

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides

 

Dados los puntos A y B que definen la altura de un tronco de pirámide recto de bases pentagonales regulares. La base mayor (punto B) mide 60 de lado y la base menor (punto A) mide 36 de lado. Los puntos C y D están en el punto medio de una arista, la base B tiene el punto D y la base A tiene el punto C. Se sabe que las aristas básicas que contienen a los puntos C y D son paralelas al plano horizontal de proyección.

Se pide :
a) Representar alzado y planta de las proyecciones de la base mayor.
b) Alzado y planta de la base menor.
c) Representar las aristas laterales que conforman el tronco de pirámide.
d) Determinar el ángulo que forman dos caras laterales contiguas.

Dato: Los puntos C y D tienen la mayor cota posible. Punto A (a = -10, c = -23, z = 54), B (a = 26, c = 39, z = 151). A y B son los centros de las bases y C y D son los puntos medios de las aristas laterales.

---

SOLUCIÓN

I – Por B dibujar un plano perpendicular a la recta AB.

II – Abatir el plano y el punto B.

III – En el abatimiento dibujar un pentágono de centro el punto B abatido y de lado 60 mm, colocándolo de tal forma que uno de sus lados sea paralelo a la traza horizontal del plano pero en la posición más alejada de esa traza de las dos posibles.

IV – Desabatir el pentágono.

V – Para la otra base seguir el mismo procedimiento.

VI – Unir los vértices de ambas bases.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides | |

 

PIRÁMIDES – 992

Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 991

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides

Selectividad Andalucía
Dadas las proyecciones de las rectas R y S se pide :
1 – Hallar las trazas del plano P que contiene a las rectas R y S.
2 – Dibujar las proyecciones del hexágono regular que tiene dos de sus lados opuestos sobre las rectas R y S y uno de sus vértices sobre el plano horizontal de proyección, estando situado dicho polígono en el primer diedro de proyección.
3 – Determinar las proyecciones de la pirámide regular de base el hexágono obtenido, altura 70 mm, y situada en el primer diedro de proyección.

---

SOLUCIÓN

Dibujar el plano formado por las dos rectas y abatirlo junto con las rectas.
Para trazar el hexágono en el abatimiento :
1 – Abatir las dos rectas R y S
2 – A la mitad de la distancia que separa a R de S (en el abatimiento) se dibuja una paralela a R o S
3 – Donde esta paralela media corte a la traza horizontal del plano es el primer vértice, A, del hexágono
4 – Desde ese punto, A, levanta líneas que formen 30º con la paralela media, hacia ambos lados. Estas líneas cortarán a R y S en dos puntos que son dos vértices del hexágono, B y F, siendo además A-B o A-F el valor del lado del hexágono en verdadera magnitud.
5 – Sobre R y S, y a partir de B y F llevar una longitud igual a A-B o A-F, consiguiendo dos nuevos vértices, C y E
6 – Con centro en C y E y radio A-B o A-F hacer dos arcos. Donde se corten es el último vértice, D, que deberá estar sobre la paralela media

---

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides | |

Ejercicios de PIRÁMIDES en diédrico resueltos – 990

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides

De un hexágono regular ABCDEF de 5 cm de lado se sabe que el lado AB está en el plano horizontal de proyección y sobre la recta que pasa por K (-5, 0, 0) (referencia, alejamiento, cota) y forma 30º con la línea de tierra. El lado EF está sobre el plano vertical de proyección.
Se pide:

– Dibujar el hexágono.
– Dibujar la pirámide regular que lo tiene por base sabiendo que esta tiene una cara lateral apoyada en el plano horizontal de proyección. Señalar la parte de la pirámide que queda en el primer cuadrante.

---

SOLUCIÓN

Primera parte. Obtención de la base hexagonal.

1 – Colocar el punto K y desde él trazar una recta que forme 30º con la línea de tierra. Esta es la traza horizontal del plano que contiene al hexágono, p.

2 – Dibujar un hexágono, a1-b1-c1-d1-e1-f1, de lado 50 apoyado en la recta anterior y en cualquier lugar.
3 – Por K trazar una paralela a e1-f1. Esta es la traza vertical del plano abatida, (p’).
4 – Por f1 hacer una paralela a p y donde corte a (p’) es el vértice (F) del hexágono abatido buscado.
5 – Trazar el resto del hexágono abatido, (A)-(B)-(C)-(D)-(E)-(F), por paralelas al primero, a1-b1-c1-d1-e1-f1.
6 – Las proyecciones horizontales de A y B coinciden con sus abatimientos y las verticales están sobre la línea de tierra.
7 – Por (E) y (F) trazar perpendiculares a la traza horizontal del plano, p, y donde corten a la línea de tierra son sus proyecciones horizontales. Para las verticales subir perpendiculares a la línea de tierra y con centro en K y radios hasta los puntos abatidos, (E) y (F), trazar sendos arcos. Donde corten a las verticales son las proyecciones verticales.
8 – Unir las proyecciones de los puntos, B con A, A con F y F con E.
9 – El lado E-D es paralelo al lado A-B y de igual longitud. Por el extremo D una paralela al lado A-F y con su misma longitud se obtiene C. Unir C con B.

Segunda parte. Obtención del vértice de la pirámide.

10 – Por el centro de la base hacer perpendiculares a las trazas del plano.

11 – Hallar la traza horizontal de ese eje y ese es el vértice de la pirámide. Unirlo con los puntos de la base.

---

Inicio > Sistema diédrico > Pirámides | |

Ejercicios resueltos de perpendicularidad en diédrico – 998

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico

Dada una recta de perfil A(0, 20, 45) B(0, 30, 25), trazar otra perpendicular a ella y que contenga un punto P(-30, 27, 15).

---

SOLUCIÓN

1 – Llevar los puntos A, B y P al perfil

2 – Unir A con B para formar la recta
3 – Por P en el perfil hacer una perpendicular a AB
4 – El punto de intersección de esa perpendicular con AB es el punto I
5 – Hallar las proyecciones horizontal y vertical de I
6 – Unir I con P y esa es la recta buscada

---

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico | | Vídeos sobre perpendicularidad

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico

Recta perpendicular a otra, R, pasando por un punto, P.

---

SOLUCIÓN

1 – Traza un plano perpendicular a la recta R y que pase por el punto, P.

2 – Hallar la intersección entre la recta y el plano.

3 – Unir el punto de intersección con el punto dado, y esa es la recta buscada.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico | | Vídeos sobre perpendicularidad

 

perpendicularidad – 997

Ejercicios resueltos de perpendicularidad en diédrico – 996

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico

El segmento A(-0.5; 0.4; 4.75) B(-3.5; 3.1; 7.4) es arista lateral de la base de una pirámide regular de base cuadrada cuyo vértice V está situado en el plano P(12; 10; 10) y tiene cota 2 cm. Se pide dibujar la pirámide dando la solución más alta.

---

SOLUCIÓN

Primera parte. Construcción de una cara lateral de la pirámide, ABV

1 – Situar los puntos A, B y el plano P

2 – Trazar una recta horizontal, R, de cota 2 cm situada en el plano P
3 – Dibujar un plano, Q, perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio.
4 – Hallar el punto de intersección, V, entre la recta horizontal, R, y el plano anterior, Q
5 – Unir A y B con V y esta es una de las caras laterales de la pirámide.

---

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico | | Vídeos sobre perpendicularidad

Ejercicios resueltos de perpendicularidad en diédrico – 995

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico

Plano perpendicular al segundo bisector que contenga a la recta AB

---

SOLUCIÓN

1 – Hallar las trazas de la recta. En este caso los puntos A y B son dichas trazas.

2 – Unir la traza vertical, v’, con la traza horizontal, h, de la recta y esta nueva recta son ambas trazas del plano, p y p’, que coinciden en este tipo de plano.

---

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico | | Vídeos sobre perpendicularidad

Ejercicios resueltos de perpendicularidad en diédrico – 994

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico

De un triángulo equilátero ABC, se conocen dos vértices A(-30, 25, 20) y B(30, 70, 60) y se sabe que el vértice C tiene una cota de 40 mm. Este vértice C está a la derecha de A. Representar el triángulo.

---

SOLUCIÓN

Comentarios previos :
A – El vértice C estará en una perpendicular a AB que saldrá de su punto medio, M, aunque en proyección esta no tiene porque ser perpendicular.

B – La recta MC puede ser de cualquier tipo, pero como C debe tener una cota de 40 y precisamente el punto medio de AB, M, también tiene una cota de 40, entonces en proyección vertical MC es paralela a la línea de tierra. Luego, MC es una recta del tipo horizontal.

C – La recta MC estará en un plano perpendicular a AB, el cual si tendrá las trazas perpendiculares, y como las rectas horizontales son paralelas a la traza del plano, entonces la proyección horizontal si es perpendicular a la proyección horizontal de AB.

Resolución :
1 – Por el punto medio, M, de la proyección vertical de AB (o a cota 40 mm) dibujar una paralela a la línea de tierra.
2 – Por el punto medio, M, de la proyección horizontal de AB dibujar una perpendicular a ella.
3 – Determinar la verdadera magnitud del lado AB.
4 – Aparte dibujar un triángulo equilátero con una longitud de lado igual a la verdadera magnitud de AB.
5 – En el triángulo dibujado determinar su altura.
6 – Llevar, directamente, la altura sobre la perpendicular que se hizo a AB en la proyección horizontal. El extremo es la proyección horizontal de C.
7 – Subir una perpendicular a la línea de tierra desde la proyección horizontal de C hasta una cota de 40 mm (o a la paralela a la línea de tierra que se hizo por M). Esta es la proyección vertical de C.
8 – Unir A, B y C.

---

Inicio > Sistema diédrico > Perpendicularidad en diédrico | | Vídeos sobre perpendicularidad