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Hallar un triángulo conocidos el ángulo A = 45º, el ángulo B = 60º y mediana de c = 6 cm.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujas un lado de cualquier longitud al que llamaremos c’.

2 – Por sus extremos levantas los ángulos dados A y B hasta que se corten formando un triángulo semejante al que buscas. A los vértices de este triángulo los llamaré A’, B’ y C’.

3 – Determinas la mediana de C’.

4 – Sobre la mediana de C’ llevas la longitud de la mediana que han dado. Su extremo será el vértice C buscado.

5 – Por ese vértice haces paralelas a A’-C’ y B’-C’, prolongándolos hasta tocar a A’-B’, que son los vértices A y B buscados.

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Trazado de un rectángulo conocida la diferencia entre la diagonal y la base, d-b, y la altura, h.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el valor de la diagonal menos la base, d-b (segmento A-X) y en una recta perpendicular por uno de sus extremos A, el valor de la altura, h (segmento A-D).

2 – Unir los extremos D y X, y dibujar su mediatriz.

3 – Donde la mediatriz corte a la prolongación de A-X es el tercer vértice, B.

4 – Conocidas la base, A-B, y la altura, A-D, dibujar el rectángulo, A-B-C-D.

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RECTÁNGULOS – 992

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Dibujar un rombo de altura 15 mm y de lado 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado AB.

2 – Con centro en el punto medio dibujar una semicircunferencia (arco capaz de 90º).

3 – Dibujar una paralela al lado a una distancia la mitad de la altura.

4 – Donde la paralela corte a la semicircunferencia es el punto medio de las diagonales.

5 – Unir los extremos del lado con el punto medio de las diagonales.

6 – Llevar hacia el otro lado los dos segmentos anteriores y eso nos da los otros dos vértices del rombo.

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Hallar un rombo conocidos el valor del lado y del radio de la circunferencia inscrita.

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SOLUCIÓN

1 – Se coloca uno de los lados, AB.

2 – Se traza el arco capaz de 90º.

3 – Se dibuja una paralela al lado AB a una distancia la del radio de la circunferencia inscrita.

4 – Donde esta paralela corte al arco capaz es el centro del rombo, X.

5 – Se une el centro del rombo con los extremos A y B y ya se tienen las dos semidiagonales.

6 – Llevar las semidiagonales hacia el otro lado para conseguir los otros dos vértices.

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La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia.
Se pide, por este orden:
1º. El foco de la curva.
2º. El eje y el vértice.
3º. Trazar la parábola

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una perpendicular a la recta directriz desde el punto de tangencia.

2 – Con radio la distancia desde el punto de tangencia hasta donde la perpendicular anterior corta a la recta directriz y centro el punto de tangencia, se traza un arco.

3 – Desde el punto donde la perpendicular cortó a la recta directriz se traza un perpendicular a la tangente.

4 – Donde esta perpendicular corte al arco es el foco.

5 – El eje es perpendicular a la directriz y pasando por el foco.

6 – El vértice está en el punto medio entre el foco y la recta directriz.

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Hallar una parábola conocidos su eje, una tangente y el punto de tangencia en ella.

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SOLUCIÓN

1 – Por el punto de tangencia hacer una paralela al eje.

2 – Dibujar un ángulo igual al que forma la paralela al eje con la tangente hacia el otro lado de la tangente.

3 – Donde corte al eje es el foco.

4 – Medir la distancia entre el punto de tangencia y el foco y llevarla sobre la paralela al eje.

5 – Por ese punto hacer una paralela al eje y esa es la recta directriz

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Parábola conocida una tangente, t, y los puntos de corte de la tangente con la tangente en el vértice, c, con la directriz, b, y con el eje, a.

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SOLUCIÓN

1 – La distancia entre C y B se lleva sobre la tangente, a partir de C, dando el punto X.

2 – Con centro en el punto medio de A-X se traza una semicircunferencia de diámetro A-X.

3 – Por el punto C trazar una perpendicular a la tangente.

4 – Donde la perpendicular corte a la semicircunferencia es el foco de la parábola, F.

5 – Unir A con el foco, F, y tenemos el eje de la parábola.

6 – Unir X con el foco F.

7 – Hacer paralela a X-F por B y esta es la recta directriz.

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Construcción de una parábola conocido el foco, F, un punto de ella, P, y una tangente, t, estando los elementos de resolución fuera de los límites del papel

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SOLUCIÓN

Tanto en este como en cualquier otro que se salga fuera de los límites del papel debes realizar una homotecia (reducir el dibujo), trabajando con la figura reducida (homotética) se determinan los elementos buscados y después se vuelven a ampliar (determinación de los elementos homotéticos iniciales).
En concreto en este problema (dejo los trazados que salen fuera del papel para que se aprecie la relación, zona verde) :

5 – Hacer una perpendicular a la tangente, t, desde el foco, F. El punto de contacto de la perpendicular con la tangente, s’, es un punto homotético del simétrico con una relación de 1/2. En otras palabras, voy a reducir todo el ejercicio a la mitad a partir del foco (centro de homotecia) y aunque el simétrico, s, esté fuera del papel, como la distancia desde el foco a la tangente es la mitad de la que hay desde el foco al simétrico, se puede obtener este punto, s’, aun estando el simétrico, s, fuera del papel.

6 – Unimos el foco, F, con el punto dado, P. Y sobre esta recta hallamos su punto medio, P’. Aquí hemos vuelto a reducir los datos a la mitad.

7 – Trabajamos con F, s’ y P’ (en vez de con F, s y P), dibujando la circunferencia de centro P’ (en el ejercicio original era P) y radio hasta el foco, F.

8 – Hallar la tangente a esa circunferencia desde s’ (en el original era desde s), siendo su punto de tangencia 1′.

9 – Unir 1′ con el foco F y sobre esa recta llevar el doble de la distancia F-1′, obteniendo el punto 1 que es el punto de tangencia con los datos originales.

10 – Hacer una paralela a s’-1′ por 1 y esto nos da la directriz, d, buscada.

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Construcción de una parábola conocido el foco, F, un punto de ella, P, y una tangente, t

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F, respecto de la recta tangente, t.

2 – Trazar una circunferencia con centro en el punto de la curva, P, y radio hasta el foco, F.

3 – Dibujar la recta tangente entre el simétrico, s, y la circunferencia anterior. Esta tangente es la recta directriz, d.

4 – Por el foco, F, hacer una perpendicular a la recta directriz, d, y se obtiene el eje, e, de la parábola.

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Trazar la inversa de la circunferencia (centro C), conocido el centro de inversión O y un par de puntos inversos A y A’, utilizando la potencia positiva.

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SOLUCIÓN

Para hallar el valor de la potencia, √K, debes realizar una media proporcional.

1 – Haces media circunferencia con centro en el segmento OA.

2 – Por A’ levantas una perpendicular a AO hasta cortar a la semicircunferencia.

3 – Une el punto de corte con O y ese es el valor de la potencia, √K.

Para trazar la inversa de la circunferencia, con potencia positiva :

4 – Trazas la circunferencia de autoinversión con el radio obtenido anteriormente (círculo relleno de verde).

5 – Donde la circunferencia dada la corta (puntos X e Y) son puntos dobles, que junto con A’ tenemos tres puntos de la circunferencia buscada.

6 – Hacer una circunferencia que pase por X’, Y’ y A’.

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