Tangente a dos circunferencias cuyo centro se encuentra en la recta dada.

[ancape]

Voy a redactar la solución como creo que debería plantearse sin apariciones sorpresivas de hipérbolas o curvas por las que se cambia la recta r dada.
1- El lugar geométrico de puntos centro de una circunferencia tangente a dos circunferencias dadas es una hipérbola de focos los centros de éstas.
La demostración puede verse en la figura que sigue. La diferencia de distancias de C a P y Q es R-r o sea, constante.

2- Los puntos O₁,O₄ y O₂,O₃ son los vértices de las dos hipérbolas obtenidas cuyos puntos son centro de circunferencias tangentes a las dadas.

3- Todas las rectas del plano salvo las perpendiculares a la que une C₁ y C₂ son rectas para las que el problema planteado tiene solución. Las rectas perpendiculares a C₁C₂ en los puntos del segmento O₂O₃ no dan puntos solución.

[Zapatin]

Buenas ancape.
No creo que el recurso de la hipérbola sea una "aparición sorpresiva", simplemente no conocía sus propiedades. Y tampoco cambia la recta a mitad de problema, simplemente calculo cuales son los puntos de intersección de la misma con la hipérbola.
Tu resumen tiene bastantes errores: En el punto 1) el punto medio X1 X2 no coincide con el vértice de la hipérbola.
En el punto 2) La hipérbola tiene 2 vértices, y da la sensación por la descripción que tiene 4 ( tantos como centros de circunferencias )

[ancape]

Zapatin
Estudia un poco más lo que he escrito. No es una hipérbola, son dos. Incluso están pintadas en diferente color.
No se puede hablar de "la hipérbola" cuando el enunciado no hace mención a ella ni se ha introducido antes por ningún sitio. Fíjate que se menciona sólo cuando se afirma, con demostración incluida, que el lugar de los centros es una hipérbola. Por otra parte, es claro por simetría, que O₁O₂,O₃,O₄ son vértices de las hipérbolas buscadas y son los puntos medios de los segmentos obtenidos combinando T₁₁,...,T₂₂.
Abandono esta polémica salvo que tengas algo más que decirme con un enunciado preciso y una buena demostración.
Saludos

[Seroig]

Considero que enunciado original es correcto.
Las soluciones, cuatro, son los centros en la intersección de recta con hipérbola. Las circunferencias dadas, tangentes interiores, tangentes exteriores, y los dos casos de tangente una interior y la otra exterior.
Por lo tanto, las hipérbolas podrán de ser 2a=R-r y 2a=R+r
Saludos