Dibujo técnico, geometría y cad.
Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 995
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Parábola conocido el foco, el eje y un punto de ella.
SOLUCIÓN
1 – Con centro en el punto y radio hasta el foco trazar una circunferencia.
2 – Por el punto dado dibujar una paralela al eje.
3 – Donde la paralela corte a la circunferencia trazar una perpendicular al eje y está es la recta directriz.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 994
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Parábola conocido un punto de ella, P, una tangente, t1, y la tangente que pasa por el vértice, t2.
SOLUCIÓN
1 – Dibujar la circunferencia que tiene de centro el punto dado, P, y sea tangente a la tangente que pasa por el vértice, t2.
2 – Por el punto de corte de las dos tangentes se traza una perpendicular, B, a la tangente que no pasa por el vértice.
3 – Dibujar la circunferencia simétrica a la primera respecto de la recta anterior, B.
4 – Hallar la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias y tiene su centro en la recta B o bien hallar la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias anteriores y a t2.
5 – El centro de esta circunferencia es el foco de la parábola, F.
6 – El eje es perpendicular a t2 por el foco.
7 – Hacer una paralela a t2 a la misma distancia que hay de t2 al foco y esta es la recta directriz.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 993
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Parábola conocida una tangente, t, el punto de corte de la directriz en la tangente, A, el punto de corte de la tangente en el vértice con la tangente dada, B, y el valor del parámetro, p.
SOLUCIÓN
1 – Sobre la tangente, t, se mide la distancia AB, desde el punto B y esto nos da un nuevo punto X.
2 – Con centro en A y radio el parámetro se traza una circunferencia.
2 – Desde X se dibuja una tangente a la circunferencia.
3 – Por B se traza la perpendicular a la tangente dada, t.
4 – Donde la perpendicular corte a la tangente de la circunferencia es el foco de la parábola, F.
5 – Por el punto A se dibuja una paralela a la tangente de la circunferencia y esa es la recta directriz, d.
6 – El eje es perpendicular a la recta directriz, d, pasando por el foco, F.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 992
Ejercicios de parábolas – 992
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Se da una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.
SOLUCIÓN
1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).
2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.
3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.
4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.
5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.
6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.
7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.
8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.
9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.
10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.
11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.
12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.
13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.
14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.
15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 991
Ejercicios de parábolas – 991
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Parábola conocido el foco, F, un punto de la curva, P, y un punto de la tangente que pasa por el vértice, Q.
SOLUCIÓN
1 – Unir el foco, F, con el punto de la curva, P.
2 – Dibujar una circunferencia con centro en el punto medio del segmento anterior, PF, y radio hasta P o F.
3 – Desde el punto Q trazar la tangente a la circunferencia. Esta es la tangente en el vértice. Hay dos tangentes y por tanto dos posibles soluciones, yo solo he dibujado una.
4 – Dibujar la perpendicular a dicha tangente por el foco y este es el eje de la parábola. Donde toca a la tangente es el vértice, V, de la parábola.
5 – Medir la distancia entre el vértice y el foco y llevarla hacia el otro lado. A partir de ahí dibujar una paralela a la tangente y tenemos la recta directriz, d.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 990
Ejercicios de parábolas – 990
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Trazar la normal a una parábola desde un punto exterior a ella.
SOLUCIÓN
Con las herramientas habituales (las equivalentes a la regla y el compás) NO es posible hallar las normales a una parábola desde un punto exterior.
El problema tiene tres soluciones. Una normal que tiene el pie en el mismo lado del punto y dos en el lado contrario.
En el dibujo, P es el punto desde el que se trazarán las normales. N1, N2 y N3 son las normales. T1, T2 y T3 son los pies de las normales o los puntos de tangencia o contacto de las tangentes. t1, t2 y t3 son las tangentes en los pies de las normales.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 989
Ejercicios resueltos de parábolas – 989
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Una parábola está definida por su eje e, su foco F y su directriz d.
El punto K es vértice de un triángulo equilátero KLM cuyo lado KM o su prolongación es tangente a la parábola. el vértice L es un punto de la curva.
Dibujar el triángulo estando KM por encima del foco.
SOLUCIÓN
1 – Trazar la tangente a la parábola que pase por el punto K.
2 – Dibujar una recta que forme 60º con la tangente desde el punto K.
3 – Hallar la intersección entre esa nueva recta y la parábola. El punto de corte es L.
4 – Conocidos K y M se tiene el lado del triángulo, llevarlo sobre la primera tangente a partir de K.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 988
Ejercicios de parábolas – 988
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Parábola de la que se conocen tres tangentes, M, N y P, y la razón de distancias del foco a las tangentes t y p es Fp / Fm = 3 / 4.
SOLUCIÓN
1 – Hacer una paralela, m’, a la tangente m a una distancia de 4 unidades cualquiera
2 – Hacer una paralela, p’, a la tangente p a una distancia de 3 unidades iguales a las anteriores
3 – Unir el punto, 1,de corte de las dos paralelas, m’ y p’, con el punto, 2, de corte de las tangentes m y p
4 – Trazar una circunferencia que pase por los tres puntos, 2, 3 y 4, de corte de las tres tangentes, m, n y p, entre sí
5 – Donde esta circunferencia corte a 1-2 es el foco, F, de la parábola
6 – Hallar el simétrico, s1 y s2, del foco, F, respecto de dos de las tangentes
7 – Uniendo s1 con s2 se obtiene la recta directriz
8 – Perpendicular a la recta directriz por el foco se consigue el eje, e
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 987
Ejercicios de parábolas – 987
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Cómo hacer una parábola conocidas dos tangentes y la directriz
SOLUCIÓN
1 – El ángulo que forma cada tangente con la directriz lo copias hacia "dentro" de la zona que hay entre las dos tangentes. Lo que se ha hecho es la recta simétrica de la directriz respecto de la tangente. Otra forma de hacer la simétrica (aparte de copiar el ángulo) es trazar una perpendicular a la tangente en cualquier punto y la distancia que hay entre la tangente y la directriz, medida sobre la perpendicular, se lleva hacia el otro lado. Uniendo ese punto con el punto donde la directriz corta a la tangente se obtiene su simétrica.
2 – La intersección de los dos ángulos que has dibujado hacia dentro, te da el foco de la parábola.
3 – El eje de la parábola será perpendicular a la directriz y pasando por el foco calculado.
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Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 986
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Determinación de una parábola conocidas dos tangentes, t1 y t2, y sus puntos de tangencia, T1 y T2.
SOLUCIÓN
1 – Unes los dos puntos de tangencia, T1 y T2
2 – Unir el punto medio de la unión anterior, M, con el punto donde se cortan las dos tangentes, N
3 – Se hacen paralelas a MN por los puntos de tangencia, T1 y T2
4 – Se hacen las simétricas de estas últimas respectos de las tangentes
5 – El punto donde se cortan es el foco de la parábola, F
6 – Por F se hace una paralela a MN y se tiene el eje, e
7 – Se mide la distancia entre F y T2 (o T1), z, y se lleva sobre la paralela a MN que se hizo por T2
8 – Por ese punto se hace la recta directriz, d, perpendicular al eje
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