Mes: octubre 2014

Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 994

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias (de centros A y B), una interior a la otra, y que pasen por un punto, P, que está sobre la circunferencia interior

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SOLUCIÓN

1 – Unir el centro B con P y trazar una perpendicular a B-P por P (nombrada E.R.1)

2 – Con centro en cualquier punto de BP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro A
3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R)
4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro A en los puntos T1 y T2
5 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a BP son los centros C1 y C2 de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta P trazar las circunferencias solución

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 993

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Hallar dos circunferencias que comparten el mismo eje radical, e, y de las que se conocen dos puntos, A y B, de una y otros dos, C y D, de la otra

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la circunferencia, X, que pasa por tres de los puntos dados, A-B-C.

2 – Prolongar la unión de los dos puntos de una circunferencia, A y B, hasta cortar en el eje radical, Y.
3 – Unir ese punto con el tercer punto que se utilizó para hacer la circunferencia auxiliar, C.
4 – Donde corte a la circunferencia auxiliar, M, es un nuevo punto de la circunferencia que pasa por C y D.
5 – Hacer la circunferencia que pasa por C, D y M. Esta es una de las circunferencias buscadas, centro O1.
6 – Dibujar la circunferencia, Z, que pasa por otros tres de los puntos dados, B-C-D.
7 – Prolongar la unión de los dos puntos de la otra circunferencia, C y D, hasta cortar en el eje radical, W.
8 – Unir ese punto con el tercer punto que se utilizó para hacer la circunferencia auxiliar, B.
9 – Donde corte a la circunferencia auxiliar, N, es un nuevo punto de la circunferencia que pasa por A y B.
10 – Hacer la circunferencia que pasa por A, B y N. Esta es la segunda circunferencia buscada, centro O2.

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fEjercicios de POTENCIA de circunferencias – 992

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Aplicación de la potencia a los problemas de curvas cónica.
Intersección de una recta, R, en una hipérbola, conocidos sus elementos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una circunferencia de centro en un foco, F2, y radio la medida del eje mayor, 2a (circunferencia focal).

2 – Con centro, X, en cualquier punto de la recta dada, R, y radio hasta el otro foco, F1, trazar una segunda circunferencia que corte a la primera.
3 – Unir los puntos, 1 y 2, de corte de las dos circunferencias; y por el foco F1 dibujar una perpendicular a la recta dada, R. Donde se corten ambas rectas es el centro radical, CR.
4 – Unir el centro radical, CR, con el foco F2 y dibujar una circunferencia de centro en su punto medio, Y, y radio hasta el foco F2.
5 – Unir los puntos de corte, Z y W, de esta última circunferencia con la circunferencia focal con el foco F2 y donde corte a la recta dada, R, son los puntos de corte, P1 y P2, de la recta con la hipérbola.

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 991

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Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm de radio una potencia de k = 9 cm²

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SOLUCIÓN

En potencia se utiliza la expresión T² = d² – R².
Esta ecuación (ver la figura siguiente) viene de la relación que existe entre la tangente T desde un punto exterior P, el radio R de la circunferencia y la distancia d entre el centro y el punto P.
Se trata de un triángulo rectángulo que por Pitágoras nos quedará : d² = T² + R², despejando T² nos da la expresión anterior.
El valor de la longitud de la tangente T elevado al cuadrado es el valor de la potencia, T².

Conocido esto el problema se resuelve así:
1 – Trazar un radio, R, cualquiera de la circunferencia.
2 – Desde su extremo, G, se dibuja una perpendicular de longitud la raíz cuadrada del valor de la potencia, GP = T = √9
3 – El punto P es un punto que tiene la potencia indicada respecto de la circunferencia. Si se dibuja una circunferencia con el mismo centro de la dada y radio, d, hasta el punto P se obtiene el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto de la circunferencia.

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 990

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Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k = 4 cm².

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja una recta cualquiera pasando por el punto dado P. T².

2 – A partir de P medir una distancia igual a la raíz cuadrada de la potencia dada, √4.
3 – Desde su extremo G hacer una perpendicular a la recta. Cualquier punto de la perpendicular (lugar geométrico) es el centro de una circunferencia con radio hasta G que tiene de potencia respecto de P k = 4 cm².
Como lugar geométrico yo me conformaría con la perpendicular, ahora bien, si fuésemos muy quisquillosos la perpendicular es solo una parte de las posibles soluciones, ya que la recta inicial PG la podemos tomar en cualquier otra dirección que nos daría una nueva perpendicular. Si dibujásemos todas las posibles (e infinitas) rectas con sus correspondientes perpendiculares generaría una superficie (el lugar geométrico), en lugar de una línea. La superficie es la formada por los puntos que ahí entre la circunferencia de centro el punto dado, radio la raíz cuadrada de la potencia y el infinito.

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Determina una circunferencia de centro 02 que tenga la misma potencia que la de centro O1 dada respecto del punto P.
Datos :
O1-O2 = 37 mm
O1-P = 33 mm
P-O2 = 42 mm
Radio de O1 = 16 mm

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SOLUCIÓN

1 – Hallar las tangentes a la circunferencia dada, O1, desde el punto P. Los puntos de tangencia son T1 y T2.

2 – Unir el punto P con el centro O2 de la segunda circunferencia y determinar su punto medio. Con centro en su punto medio y radio hasta los extremos dibujar una semicircunferencia.

3 – Con centro en P y radio hasta el punto de tangencia T1 o T2 se traza un arco hasta cortar a la semicircunferencia anterior, punto X.

4 – La circunferencia buscada tiene de centro O2 y radio hasta el punto X.

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POTENCIA de circunferencias – 989

Ejercicios de parábolas – 999

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Parábola conocidas dos tangentes cualquiera y la tangente en el vértice

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SOLUCIÓN

1 – Por los puntos de corte de las tangentes con la tangente en el vértice trazar perpendiculares a las tangentes. Donde se corten es el foco de la parábola.
2 – Hacer el simétrico del foco respecto de las tangentes.
3 – Uniendo los simétricos da la recta directriz
4 – El eje es perpendicular a la recta directriz y pasando por el foco

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Dadas tres tangentes a una parábola y la circunferencia donde se encuentra el foco y hallar la parábola.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la simétrica de la circunferencia respecto de cada una de las tangentes.

2 – Eso da tres nuevas circunferencias, que se deberán de cortar entre sí.

3 – Une los puntos de corte de las tres circunferencias simétricas y tienes la recta directriz de la parábola.

4 – Halla el simétrico del punto de corte de dos de las circunferencias simétricas respecto de las tangentes y ese será el foco de la parábola.

5 – El eje es perpendicular a la recta directriz y pasando por el foco.

6 – A partir de ahí, traza la parábola.

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Hallar una cónica conocidas tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B).

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O.

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes.

3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B.

4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O.

5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’.

6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q.

7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.

8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada.

 

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Ejercicios de parábolas – 996

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Parábola conocida la recta directriz, d, una tangente, t, y el punto en el que la tangente corta al eje, M

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SOLUCIÓN

1 – Por el punto donde la tangente corta al eje, M, se dibuja una línea perpendicular a la recta directriz, d, y este es el eje, e

2 – Trazar la recta simétrica, sd, de la recta directriz, d, respecto de la tangente, t
3 – Donde la simétrica de la directriz, sd, corte al eje, e, es el foco de la parábola, F
4 – Conocidos el eje, e, la recta directriz, d, y el foco, F, dibujar la parábola por puntos.

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