octubre 2014 – Página 134

Ejercicios de PARÁBOLAS – 975

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 975

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Dibujar una parábola conocida la distancia de la recta directriz al foco (parámetro).

SOLUCIÓN

1 – Dibuja una recta, la directriz.

2 – Trazar una perpendicular a ella, el eje.

3 – Sobre esa perpendicular lleva el parámetro y se obtiene el foco.

4 – Si se determina el punto medio del parámetro se obtiene el vértice.

5 – Para hacer más puntos de la curva, hacer una paralela a la recta directriz donde se quiera y medir la distancia que hay desde esa paralela a la recta directriz.

6 – Con centro en el foco y radio esa distancia hacer un arco que corte a dicha paralela.

7 – Los puntos de corte del arco con la paralela son dos puntos de la parábola.

8 – Repetir el proceso tantas veces como puntos se desee.

9 – Por último, unir los puntos a mano alzada.

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parábolas – 975

Ejercicios de PARÁBOLAS – 974

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 974

Ejercicios de parábolas – 974

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Los puntos M y N pertenecen a una parábola y la recta d es la directriz de la misma. Determinar el foco, el eje y el vértice de la curva.

SOLUCIÓN

Desde M y N dibuja rectas perpendiculares a la recta directriz.
Con centro en M y N y radio hasta donde las perpendiculares corten a la directriz haz sendas circunferencias.
Donde se corten es el foco (en general dos posibles soluciones, aunque si el punto de corte está hacia el otro lado de la recta directriz en el que estén M y N, no es el válido).
El eje es perpendicular a la directriz y pasando por el foco.
El vértice está en el punto medio entre el foco y la recta directriz.

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 973

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 973

Ejercicios de parábolas – 973

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Dada la directriz, el eje y un punto hallar una parábola

calcular el foco de la Parabola - calculate the focus of the parabola

SOLUCIÓN

1 – Hacer una perpendicular a la directriz que pase por el punto dado.
2 – Con centro en el punto dado y radio la distancia desde el punto a la directriz (medido sobre la perpendicular anterior, se hace un arco que corte al eje.
3 – El punto de corte es el foco.

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 972

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 972

Ejercicios de parábolas – 972

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Enlazar dos arcos de circunferencias, O y O’, mediante una parábola, siendo los puntos de enlace T y T’

SOLUCIÓN

a – Trazar las tangentes a los arcos en los puntos de tangencia, T y T’

Enlazar dos arcos mediante una parabola - Bind two arches by a parabola

b – Dividir los segmentos que hay entre los puntos de enlace, T y T’, hasta el punto de corte de las dos tangentes N, en varias partes iguales (en mi caso cuatro)
c – Unir los puntos de contacto, T y T’, con todas las divisiones de la recta opuesta
d – Marcar los puntos de corte de la primera recta con la última, la segunda con la penúltima, etcétera, puntos a-b-c.
e – Unir a mano alzada esos puntos, dando el enlace parabólico

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 971

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 971

Ejercicios de parábolas – 971

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Realizar una pieza de ajedrez con parábola e hipérbola

pieza de ajedrez con parabola - chess piece with parabola

SOLUCIÓN

1 – Se conocen la posición del foco y del vértice de la curva.

pieza de ajedrez con parabola - chess piece with parabola

2 – Con esa distancia (la FC) llevada hacia abajo, obtienes la directriz perpendicular al eje.
3 – A partir de ahí se trata de hacer el trazado por puntos de la parábola.
4 – Que te recuerdo, se toman varias divisiones sobre el eje (como has hecho).
5 – Se trazan perpendiculares al eje por cada división (como has hecho).
6 – Mides la distancia entre esa perpendicular y la directriz (en mi dibujo X)
7 – Con centro en el foco y radio X trazas un arco hasta cortar a la recta desde la que se midió.
8 – Estos son los puntos de la curva. Repetir para los demás.

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Intersección de dos parábolas

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 970

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Obtener los puntos de intersección de dos parábolas, sin necesidad de trazarlas, dada una recta fija R (que hace de directriz común a las dos parábolas) y los focos de cada una de ellas (los dos focos están en el mismo eje separados una cierta distancia).

SOLUCIÓN

Se trata de hallar la circunferencia que es tangente a la recta directriz, d, y pasa por los dos focos.

1 – Se halla la mediatriz del segmento entre los dos focos.

interseccion de dos parabolas - intersection of two parabolas

2 – Se hace una circunferencia de centro en la mediatriz anterior y que pase por los focos.

3 – Se determina la recta tangente a esa circunferencia desde el punto donde el eje corta a la directriz.

4 – Con centro donde el eje corta a la directriz y radio hasta el punto de tangencia anterior se hace un arco hasta cortar a la directriz.

5 – Donde corte a la directriz se levanta una perpendicular a esta hasta cortar a la mediatriz de los dos focos. Este es el centro de la circunferencia buscada pero también el punto de corte de las dos parábolas.

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parábolas – 970

Puntos de corte de una recta en una parábola

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 969

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Determinación de los puntos de corte de una recta en una parábola

SOLUCIÓN

1 – Halla el simétrico del foco de la parábola respecto de la recta dada, F’.

puntos de corte de una recta en una parabola - cut points of a line in aparabola

2 – Prolonga la recta F-F’ hasta cortar a la recta directriz, X.

3 – Hallar el punto medio de X-F’ y con centro en ese punto y radio hasta F’ se traza una circunferencia.

4 – Por el foco se hace una paralela a la recta dada.

5 – Esta última corta a la circunferencia anterior en los puntos Y y Z.

6 – Con centro en X y radio hasta Y o Z se hace un arco hasta cortar a la recta directriz, W1 y W2.

7 – Por esos puntos, W1 y W2, se levantan perpendiculares a la recta directriz hasta que toque a la recta dada, R. Los puntos donde le tocan, P1 y P2, son los puntos de corte de la recta con la parábola.

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parábolas – 969

Ejercicios de PARÁBOLAS – 968

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 968

Ejercicios de parábolas – 968

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Determinación de la recta directriz de una parábola sección de un cono recto.

SOLUCIÓN

Para determinar la recta directriz (usando el teorema de Dandelin) una vez determinada la esfera tangente al plano y al cono, se traza un plano que contenga a la curva de contacto entre el cono y la esfera, o dicho de una manera más simple, se traza una línea que una los puntos de contacto (tangencia) del triángulo (proyección del cono) y la circunferencia (la proyección de la esfera), donde corte a la traza del plano es la recta directriz, que en nuestro caso se ve como un punto, d’, en proyección vertical (recta de punta).

teorema de Dandelin - Dandelin theorem

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 967

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 967

Ejercicios de parábolas – 967

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¿ Cómo es el plano que secciona a un cono para que dé una parábola ?

SOLUCIÓN

Las distintas curvas cónicas dependen de como se tome el plano que secciona al cono, así :
a) Cuando el plano seccionante y el plano base del cono son paralelos, o dicho de otra forma, cuando el plano seccionante y el eje del cono son perpendiculares, se obtiene una circunferencia.

teorema de Dandelin - Dandelin theorem

b) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es menor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante es mayor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una elipse
c) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es igual que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es igual al ángulo de cualquier generatriz con el eje, se obtiene una parábola
d) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es mayor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es menor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una hipérbola.

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 966

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 966

Ejercicios de parábolas – 966

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Conocido un plano que secciona a un cono recto o de revolución, determinar el tipo de curva cónica que genera.

SOLUCIÓN

Según sea el ángulo que forma el plano con el eje del cono (ángulo beta) y el semiángulo del cono (ángulo alfa), el que forma el eje con las generatrices, se sabe que tipo de curva es :
a) Si el ángulo del plano (beta) es mayor que el del cono (alfa), la curva es una elipse

seccion conica la elipse - ellipse conic section