Mes: octubre 2014

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Determinación de la inversa de una circunferencia de razón positiva.

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SOLUCIÓN

Para trazar la inversa de la circunferencia, con potencia positiva :

1 – Trazas la circunferencia de autoinversión con el radio obtenido anteriormente (círculo relleno de verde).

2 – Donde la circunferencia dada la corta (puntos X e Y) son puntos dobles, que junto con A’ tenemos tres puntos de la circunferencia buscada.

3 – Hacer una circunferencia que pase por X’, Y’ y A’.

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inversión – 971

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Dan una circunferencia de centro C, el centro de inversión O (situado sobre la circunferencia), el punto A (alineado obviamente con el centro de inversión y a su derecha) y su inverso A’ (a la izquierda de O y también sobre la circunferencia) y me piden que averigüe la figura inversa de la circunferencia.

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SOLUCIÓN

La solución es, tan simple como, unir el centro de la circunferencia con el centro de la inversión y por el punto A hacer una perpendicular a esa unión (círculo relleno de verde).

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inversión – 970

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Trazar una circunferencia que pase por el punto P y forme 90º (ortogonal) con la circunferencia A (de centro C1) y 30º con la circunferencia B (de centro C2)

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SOLUCIÓN

1 – El punto dado, P, es el centro de inversión. La circunferencia A se considera como circunferencia doble. La circunferencia de autoinversión tiene de radio la tangente entre el centro de inversión y la circunferencia A.

2 – La inversa de la circunferencia buscada se transformará en una recta, C’, y formará 90º con la circunferencia A’.
La recta C’ pasa por el centro de la circunferencia A. Luego tenemos un punto por el que pasa la recta inversa C’, al que llamaré D’.
Si hallamos el inverso, D, de ese punto tendremos un punto de la circunferencia buscada.

3 – El problema ha quedado reducido a hallar una circunferencia que pase por el punto dado inicialmente, P, el nuevo hallado, D, y que forme 30º con la circunferencia B.
Realizamos una nueva inversión. Volvemos a tomar el punto dado, P, como centro de una nueva inversión. La circunferencia B como doble.
La circunferencia de autoinversión con radio la tangente desde el centro de inversión a la circunferencia B.

 

4 – Se halla el inverso del punto D, al que llamaré D».

5 – La inversa de la circunferencia se transformará en una recta que pasará por D» y formara 30º con la circunferencia B.
Para dibujarla se traza una tangente cualquiera a la circunferencia B y por su punto de tangencia una recta que forme 30º.
Desde el centro de la circunferencia B se hace la circunferencia tangente a la recta que forma 30º.
Por el punto D» se halla la tangente a la circunferencia anterior, C». Esta última es la inversa de la circunferencia buscada.

6 – El centro de la circunferencia buscada, C3, estará en la perpendicular a su inversa C» pasando por el centro de inversión, P.
Además, el centro de la buscada está en la mediatriz de los dos puntos por los que debe pasar, P y D.
Luego donde dicha mediatriz corte a la perpendicular a D» es el centro buscado, C3.

 

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inversión – 969

Ejercicios de inversión – 968

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Hallar una circunferencia que forme 30º con una recta, r, y que esta circunferencia sea tangente a otra recta, t, en un punto, T, dado.

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SOLUCIÓN

1 – Considerar el punto de tangencia, T, como centro de inversión, O

2 – Dibujar la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión), c.p.d, con centro en el polo (o centro de inversión), O, y radio cualquiera (es más cómodo si se toma una circunferencia que corte a la recta r)
3 – Hallar la inversa, r’, de la recta r, que será una circunferencia que pasará por el centro de inversión, O, y por un par de puntos inversos. Como 1 y 2 son dobles por estar en la circunferencia de puntos dobles, también pasará por ellos.
4 – Trazar una línea, x, que forme 30º con la recta t en cualquier lugar
5 – Hacer una perpendicular a x por el centro de la circunferencia r’, que la cortará en el punto 3 (y en otro que no he marcado, por lo que hay dos posibles soluciones)
6 – Por 3 dibujar una paralela a la recta t, que será, c’, inversa de la circunferencia buscada, c
7 – Por el punto de tangencia, T, se levanta una perpendicular a la recta t
8 – Hallar el inverso de cualquier punto de la recta c’. He utilizado el punto 4′, donde se cortan c’ y r’, pues su inverso estará en r, y se obtiene con solo unir O con 4′ y donde corte a r es su inverso, 4
9 – Hallar la mediatriz entre O y 4 y donde corte a la perpendicular a t por O es el centro, A, de la circunferencia buscada
10 – Con centro en A y radio hasta O hacer la circunferencia solución

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Ejercicios de inversión – 967

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Trazar una circunferencia que pase por dos puntos, A y B, y corte en puntos diametralmente opuestos a otra circunferencia dada de centro C.

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SOLUCIÓN

1 – Plantear una inversión de centro de inversión en el centro de la circunferencia, C, y potencia negativa

2 – Hallar el inverso, A’, de uno de los puntos, A

Para conseguir A", se ha tomado el centro C como centro de inversión y la circunferencia dada (roja) como circunferencia de autoinversión (o de puntos dobles). Ahora se halla el inverso del punto A. Para ello se ha trazado la tangente desde A a la circunferencia, obteniendo el punto de tangencia 1. Se une el punto dado A, con el centro de inversión, C, y desde el punto de tangencia, 1, se hace una perpendicular a A-C. Donde la toque, A", es el inverso (con potencia positiva) del punto A.
Para hallar su inverso, A’, con potencia negativa, solo hay que girarlo 180º alrededor del centro, C.

3 – Hacer una circunferencia que pase por la pareja de puntos inversos, A y A’, y el otro punto conocido, B, esa es la circunferencia buscada

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Ejercicios de inversión – 966

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Dadas dos circunferencias, trazar una recta que forme un ángulo de 60º con una de ellas y otro ángulo de 45º con la otra.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar en cada circunferencia dos radios cualquiera (líneas azules verticales)

2 – Hacer otro radio que formen los ángulos dados, 60º y 45º
3 – Hacer una perpendicular al primer radio que pase por donde las circunferencias corten a los ángulos de 60º y 45º
4 – Dibujar dos circunferencias (verdes) con radio hasta donde la perpendicular corta a los primeros radios
5 – Las cuatro tangentes entre estas dos últimas circunferencias son las cuatro posibles soluciones

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Cómo hallar el valor de la potencia de inversión

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SOLUCIÓN

En una inversión la relación que existe entre los puntos del plano y otro llamado centro o polo de inversión, es que si trazamos una recta que parta del polo y pase por el punto la distancia medida sobre esa recta entre el punto inicial y el polo multiplicada por la distancia desde el punto inverso al polo, en la misma recta, es igual a una constante, llamada constante de la inversión o potencia de la inversión.

Si O es el centro de inversión, A un punto cualquiera y A’ su inverso, la expresión algebraica sería :

Pot. = OA · OA’

Y esto se cumple igualmente para cualquier recta que parta del polo y para cualquier pareja de puntos :

Pot. = OA · OA’ = OB · OB’ = OC · OC’ = cte.

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inversión – 965

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Prácticamente toda la geometría plana que conocemos se puede considerar como la proyección de objetos en el espacio sobre un plano.

En este vídeo veremos como los objetos que están sobre una esfera al proyectarlos sobre un plano producen una inversión plana.

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SOLUCIÓN

 

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inversión – 964

Ejercicios resueltos de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 999

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Trazar una recta por un punto que sea convergente con otras dos que se cortan fuera de los límites del dibujo.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una recta cualquiera AB y otra cualquiera paralela a ella, A’B’ :

2 – Unir los extremos de la primera recta, A y B, con el punto dado C.
3 – Trazar paralelas por los extremos de la otra, A’ y B’, a AC y BC.
4 – Unir el punto de corte de ambas, C’, con el punto dado C y esta es la solución pedida.

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Ejercicios resueltos de HOMOTECIA – Geometria proyectiva – 998

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Dado un triángulo rectángulo ABC, dibujar dos circunferencias del mismo radio y tangentes entre sí tal que:
– Una tiene centro en el vértice C
– Otra tiene centro en el lado CB y además es tangente al lado AB

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en C y un radio cualquiera, trazar una circunferencia (azul)

2 – Dibujar otra igual tangente a ella y con centro en BC
3 – Tangente a esta última haces una paralela a AB
4 – Unir A’ con T’ (punto de tangencia de las dos circunferencias auxiliares), o cualquier otro punto que quieras averiguar como el centro de la circunferencia
5 – Hacer una paralela a A’T’ por A y donde corte a BC es T punto de tangencia de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C y radio hasta T se traza la primera circunferencia.

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