Mes: octubre 2014

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.

2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.

3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.

4 – Unir D con el punto P dado.

5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.

6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.

7 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.

8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencias, en lados distintos.

9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.

10 – Unir E con el punto P dado.

11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias

12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».

13 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».

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inversión – 981

Ejercicios de inversión – 980

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Dados un punto, una recta y una circunferencia, hallar las circunferencias cuyo centro se encuentra en la recta, son tangentes a la circunferencia y pasan por el punto.

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SOLUCIÓN

Dan la recta en la que debe estar el centro, y como sabes, en ella estará contenido un diámetro de la circunferencia buscada.
Los diámetros dividen a las circunferencias en dos partes iguales (simétricas), luego tienes el eje de simetría (la recta que contiene al centro), por lo que si haces el simétrico del punto dado respecto de esa recta tendrás un segundo punto de la circunferencia buscada.
El problema te ha quedado reducido a otro : trazar las circunferencias tangentes a la circunferencia dada y que pasen por dos puntos (el dado y su simétrico respecto de la recta que contiene a los centros).
Para resolverlo puedes utilizar dos procedimientos, potencia o inversión.
Por potencia su solución sería esta :

1 – Supón el ejercicio resuelto (las soluciones están en línea blanca gruesa). El punto P dado es de la circunferencia buscada y el centro debe estar sobre la recta R, si quisiéramos trazar una recta tangente se haría una perpendicular al radio que une el punto de tangencia deseado, P, con el centro, y esa es la recta R dada, luego al hacerle una perpendicular a R por el punto P se ha dibujado una recta tangente a la circunferencia buscada (en amarillo).
2 – Ahora recordemos una propiedad (esta es solo una hay otras) fundamental del centro radical de dos circunferencias : "el centro radical es el punto por el que pasan las tangentes a tres circunferencias que miden lo mismo". Se puede expresar de otras formas pero así está más claro lo que quiero hacer, y es buscar el centro radical, por que ya que tengo una tangente, si localizo otra que mide lo mismo respecto de la circunferencia dada A, tendré los puntos de tangencia de la solución con la dada.
3 – Para determinar el centro radical se dibujan dos ejes radicales y donde estos se corten es el centro radical. Como la circunferencia dada debe tener su centro sobre la recta R, buscaré una cualquiera con su centro en dicha recta R, que pase por P y que corte a la dada A (la que está en magenta). Así la recta que se hizo perpendicular a R por P ya es un eje radical entre la circunferencia buscada y la elegida al azar (por ser las dos tangentes en P).
4 – Se determina el otro eje radical (entre la elegida al azar y la dada A), simplemente uniendo los puntos de corte de ambas (en azul). Donde se corte con la anterior es el centro radical (marcado en rojo con C.R.).
5 – Si con centro en el centro radical (C.R.) y radio hasta el punto P hago un arco (línea fina roja) corta a la circunferencia dada en T1 y T2. Lo que he hecho ha sido localizar los puntos de tangencia de la circunferencia dada A que miden lo mismo que la tangente desde la circunferencia buscada.
También se podría hacer las tangentes (línea blanca fina discontinua) a la circunferencia dada A desde el centro radical (C.R), y se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 (cada uno es para una solución distinta).
6 – Los puntos obtenidos son los puntos de tangencia con la circunferencia dada, para hallar los centros de la solución basta con unirlos con el centro de la circunferencia dada.

Si se hace por inversión, se resolveria así :
1 – Se toma uno de los puntos como centro de inversión y la circunferencia dada como circunferencia doble.
2 – Se halla el inverso del otro punto.
3 – Se determinan las rectas tangentes a la circunferencia dada y que pasen por el punto inverso del punto.
4 – Se une los puntos de tangencia con el punto tomado como centro de inversión, y donde corten a la circunferencia dada son los puntos de tangencia de la circunferencia buscada.
5 – Se unen dichos puntos con el centro de la circunferencia dada y donde corten a la mediatriz resultante de la unión de los dos puntos dados, son los centros de las circunferencias buscadas.

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Ejercicios de inversión – 979

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Circunferencias tangentes a dos dadas, una interior a la otra, y entre ellas (Cadena de Steiner)

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SOLUCIÓN

Lo que estas buscando se llama cadena de Steiner, y lo puedes ver en movimiento en esta imagen :

Ahora bien, hay que tener cuidado, el problema no tiene solución para dos circunferencias iniciales, C y C’, cualquiera, sino que deben cumplir determinadas condiciones.
Sin embargo, conseguidas las dos circunferencias adecuadas, C y C’, existen infinitas soluciones para las circunferencias solución, como puedes apreciar en la imagen anterior.
El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias solución es una elipse.
Luego, la respuesta a tu pregunta de si se puede encontrar una sucesión de circunferencias tangentes entre sí y a dos circunferencias interiores, es sí, pero solo en determinados casos.

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Ejercicios de inversión – 978

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Dada una recta, R, y una circunferencia, C, dibujar la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión) que transforma la recta en la circunferencia.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una perpendicular a la recta, R, dada que pase por el centro de la circunferencia.

2 – Donde esa perpendicular corte a la circunferencia, O1 y O2, son los centros de la inversión.
Hay dos soluciones ya que una es el de razón positiva y el otro el de la negativa. El centro de razón positivo es O1 por quedar tanto la recta como la circunferencia a un mismo lado respecto de él. Mientras que O2 es el centro de razón negativa por estar circunferencia y recta en lados opuestos.
3 – Trazar una recta cualquiera que parta de O1 y corte a la circunferencia, X, y a la recta, Y
4 – Con centro en el punto medio de O1-Y y radio la mitad de O1-Y se traza una semicircunferencia
5 – Desde X levantar una perpendicular a O1-Y hasta tocar a la semicircunferencia, Z
6 – Con centro en O1 y radio O1-Z se traza la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión
Notas :
A – Si la circunferencia inicial, C, y la recta dada, R, estuviesen cortándose el radio de la circunferencia de autoinversión será desde O1 hasta el punto de corte de la circunferencia con la recta
B – Para O2 no hay circunferencia de puntos dobles ya que para la razón negativa esta no existe

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Ejercicios de inversión – 977

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Determina la figura inversa del segmento AB en la inversión definida por la cpd (circunferencia de puntos dobles) dada:

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SOLUCIÓN

1 – Prolonga el segmento AB hasta cortar a la circunferencia de puntos dobles (puntos 1 y 2)

2 – Dibuja una circunferencia que pase por 1, 2 y O.
3 – Une O con A y B y donde corte a la circunferencia anterior son sus inversos A’ y B’
4 – El arco entre A’ y B’ es la figura inversa del segmento A-B

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Ejercicios de inversión – 976

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Para el centro de inversión O la circunferencia de centro C es doble. En esta transformación halla la figura inversa de la recta r.

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SOLUCIÓN

Se puede resolver de varias formas, una de ellas es determinando el valor de la potencia, eso es lo que he hecho con un par de puntos de la circunferencia doble, los nombrados como A-A’ (línea en azul), dando la circunferencia de autoinversión (en magenta).

A partir de ahí se halla el inverso de un punto de la recta, el B, trazando una tangente hasta la circunferencia de autoinversión y bajando una perpendicular a OB (líneas verdes), lo que da B’.
Se halla la mediatriz de O-B’. Donde corte a la perpendicular a R que pasa por O, es el centro de la circunferencia buscada (en negro), punto 3.

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Ejercicios de inversión – 975

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Determinación del valor de la potencia positiva de √K

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SOLUCIÓN

Para hallar el valor de la potencia, √K, debes realizar una media proporcional.
En el caso de que sea positiva :
1 – Haces media circunferencia con centro en el segmento OA.

2 – Por A’ levantas una perpendicular a AO hasta cortar a la semicircunferencia
3 – Une el punto de corte con O y ese es el valor de la potencia, √K

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Ejercicios de inversión – 974

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Determinación del valor de la potencia negativa de √K

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SOLUCIÓN

Para hallar el valor de la potencia, √K, en caso de que sea negativa :
1 – Haces media circunferencia con centro en el segmento OA + OA".

2 – Por O levantas una perpendicular a AO hasta cortar a la semicircunferencia
3 – Ese segmento es el valor de la potencia, √K

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Ejercicios de inversión – 973

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Inverso de un punto con potencia negativa

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SOLUCIÓN

Para hallar el punto inverso de otro dado con potencia negativa :
1 – Lo haces como si fuese con potencia positiva
2 – Después lo unes con el centro de inversión (o polo)
3 – Llevas hacia el otro lado la misma distancia que hay desde el polo al inverso del punto
4 – Ese es el inverso con potencia negativa.

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Circunferencia de autoinversión (o de puntos dobles) en una inversión de potencia negativa

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SOLUCIÓN

La circunferencia de puntos dobles en una inversión de potencia negativa NO existe.

Luego, no hay forma de determinarla pues no existe.

Ahora bien, no confundirla con una circunferencia doble, que es la que coincide consigo misma, pero sus puntos no son dobles. Esas sí existen. Por ejemplo, la circunferencia de puntos dobles de la inversión con potencia positiva es a su vez una circunferencia doble en la inversión con potencia negativa.

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inversión – 972