Mes: octubre 2014

Ejercicio de homología – 995

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Homología de un rectángulo, ABCD, conocido el eje, la recta límite, R.L, y un punto ya transformado, A’.

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SOLUCIÓN

1 – El punto B es doble, B = B’, por estar sobre el eje. Uniendo A’ con B’ tenemos uno de los lados de la figura homóloga.

2 – Para determinar el centro de homología :
2.a – Prolongar el lado AD hasta cortar al eje, X, y a la recta límite, Y.
2.b -Unir el punto de corte con el eje, X, con A’.
2.c – Por el punto de corte con la recta límite, Y, trazar una paralela a X-A’
2.d – Unir A con A’ y donde corte a la paralela anterior es el centro de homología, O.
3 – Unir el centro de homología, O, con D y donde corte a A’-X es su homólogo D’.
4 – Prolongar CD hasta el eje de homología y unir con D’. Unir C con O y donde corte a la recta anterior es C’.

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Ejercicio de homología – 994

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Hallar el eje de una homología de la que se conoce el centro de homología, O, la recta límite, R.L., un par de puntos, A-B, y la longitud de su homólogo A’B’ = 60 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el centro de homología, O, con los puntos dados A y B.

2 – Prolongar el segmento AB hasta cortar, X, a la recta límite, R.L.
3 – Unir el punto X con el centro de homología, O, y sobre esta recta y a partir del centro de homología, O, se mide la longitud del segmento homólogo OY = A’B’ = 60 mm.
4 – Por el extremo Y hacer una paralela a OB y donde corte a OA es el homólogo A’.
5 – Por A’ dibujar una paralela a OX y donde corte a OB es su homólogo B’.
6 – Prolongar AB y A’B’ hasta que se corten, Z.
7 – Por ahí dibujar una paralela a la recta límite y este es el eje de homología, e.

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Se da una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´ homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.

 

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).

2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.

3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.

4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.

5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.

6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.

7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.

8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.

9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.

10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.

11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.

12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.

13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.

14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.

15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.

 

 

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Ejercicio de homología – 992

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Represente la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son A’ y C’ respectivamente; y el punto homólogo de B está sobre r’. Indique los parámetros que definen la homología.

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SOLUCIÓN

1 – Unir A con A’ y C con C’. El punto de corte de ambas rectas es el centro de la homología.

2 – Unir el centro de homología con el punto B. Donde corte a la recta R’ es su homólogo B’.
3 – Prolongar AB y A’B’ hasta cortarse. Por el punto de corte, X, se dibuja una paralela a AC y este es el eje de homología.
Fundamento :
Se basa en que las únicas parejas de rectas homólogas que son paralelas son las que a su vez son paralelas al eje.

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Ejercicio de homología – 991

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Dado un triángulo equilátero ABC en una homología de vértice V, y con el homólogo del punto A, A´sobre C y de manera que una de las rectas límites pase por B. Se pide hallar la figura homóloga.

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SOLUCIÓN

1 – Unir B con V y da la dirección de A’B’

2 – Hacer paralela por A’ y ya se tiene A’B’. B’ no existe por estar en la RL
3 – Ídem CB, da la misma dirección de A’B’.
4 – C’ está en la unión de VC, luego A’C’ coincide con AC.
5 – Si por V se hace paralela a A’C’ (que es AC) donde corte a AC es un punto de la RL, como no se cortan no existe ese punto. Se une ese punto de corte (que no existe) con B, es decir, se hace una paralela a AC, y se tiene la recta límite.
6 – Para hallar C’ se determinará con una recta distinta a las dadas, la CX, donde X es un punto cualquiera de AB.
7 – Prologar CX hasta la recta límite y unir con V, esa es la dirección de C’X’.
8 – Unir X con V y donde corte a A’B’ es X’
9 – Por X’ hacer paralela a la dirección de C’X’ y donde corte a AC es C’
10 – Por C’ hacer una paralela a BV y se tiene C’B’.

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Ejercicio de homología – 990

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De una homología se conoce el centro O, el eje y la pareja de puntos A-A’.
Determinar el homológico del punto B.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibuja una recta cualquiera, la r, que pase por el punto dado A.

2 – Si donde corta al eje se une con el homólogo, a’, se obtiene la recta homóloga, r’.
3 – Se elige un punto cualquiera de esa recta, el X, y se determina su homólogo, el X’, uniendolo con el centro de homología.
4 – Unir el punto B con el nuevo punto X.
5 – Donde corte al eje se une con su homólogo, X’, hasta cortar a la unión
del centro, O, con el punto B. El punto de corte es el homólogo de B, el B

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Ejercicio de homología – 989

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Los puntos M (140, -25) y N (195, -25) definen el lado de un cuadrado, situado todo él por debajo de dicho lado.
Hallar la figura homóloga de dicho cuadrado en una homología de centro O (110, 55) y eje de homología coincidente con el eje de abcisas, siendo dos puntos homólogos A’ (17, -40) y A (X, 10).

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos, M, N, O, A’ y hacer dos paralelas al eje X, una por el origen de coordenadas (eje de la homología, e) y otra a 10 mm por encima de él

2 – Dibujar un cuadrado de lado MN con los otros vértices, Ñ-P, por debajo de los primeros
3 – Unir O con A’ y donde corte a la horizontal que se hizo a 10 mm es A
4 – Unir M con A y donde corte al eje, e, unirlo con A’
5 – Unir O con M y donde corte a la anterior es M’
6 – Por M’ hacer una paralela a MN
7 – Unir N con O y donde corte a la paralela anterior es N’
8 – Prolongar MP hasta el eje, e, y unir ese punto con M’
9 – Unir P con O y donde corte a la anterior es P’
10 – Por P’ una paralela a ÑP
11 – Unir Ñ con O y donde corte a la anterior es Ñ’

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Ejercicio de homología – 988

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Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE cuando se conoce el centro de homología CH, el eje de homología EH y la recta límite RL

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SOLUCIÓN

1 – Prolongas un lado hasta cortar a la recta límite.

2 – Lo unes con el centro de homología
3 – Haces una paralela a esa unión por el punto donde la recta inicial corta al eje
4 – Unes los extremos de la recta inicial con el centro de homología hasta cortar a la anterior y ya tienes sus homólogos
Eso si ten la precaución de que A’B’ te salga paralela al eje

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Ejercicio de homología – 987

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En la homología definida por el centro O, el eje e y la recta límite, hallar la figura homológica del triángulo ABC.

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SOLUCIÓN

Aclararé la forma de designar a los elementos. Denominaré figura, rectas y puntos "iniciales" a los que dan en el enunciado (los que no tienen prima) y que por tanto hay que transformar. Mientras que los designaré como "homólogos" a los que se obtienen (los que tienen prima) o los que se buscan.
La dificultad viene en que cuando se da una recta límite hay que tener claro si es la recta límite de los puntos iniciales o la de los puntos homólogos.
Esto no siempre está claro pues a veces la nomeclatura que se da en los enunciados no es aclaratoria.
Se puede plantear una primera solución consistente en hacer una paralela a AC por el centro de homología hasta cortar a la recta límite y al unirlo con C se obtiene A’.

Pero existe una segunda opción en la que se prolonga AC hasta la recta límite y al unirlo con el centro se obtiene la dirección de la recta homóloga A’C’, que saldrá de C.

Como se ve en los dos gráficos que adjunto, el homólogo de A es distinto en ambos, entonces ¿ cuál es la solución correcta ?. Pues se podría decir que ambas están bien, pero claro en un examen uno debe dar la que se espera. ¿ En qué nos podemos basar para resolver ese dilema ?. Normalmente en la nomenclatura de la recta límite. Así si la letra con la que se designa a la recta límite no tiene prima será la recta límite que contiene a los puntos "iniciales" y que por tanto no tendrán homólogo. Sin embargo, si a la recta límite se la designase con alguna letra acompañada de un apostrofo ( ‘ ), entonces corresponde con los puntos homólogos.
Dicho de otra forma, si no tiene prima en ella están los puntos sin prima, y si la recta límite tiene prima sobre ella están los puntos con prima. Por lo tanto al prolongar una recta inicial el punto donde corte la recta límite sí será de esa recta si no tiene prima la recta límite y por tanto se unirá con el centro de homología para obtener la dirección de la recta homóloga, que es lo que he planteado en la segunda opción.
Ahora bien, si se hace una paralela a la recta inicial por el centro de homología hasta cortar a la recta límite, que no tiene prima, no se está realizando correctamente (teniendo en cuenta como se está llamando a la recta límite). Para saber porque se debe observar la homología espacial de la que derivo la plana correspondiente.

En la imagen anterior muestro los dos planos (en rojo y cian), el centro de homología O (exterior a ambos planos), el eje "e" (intersección de ambos planos), una recta inicial (la r) y su homóloga (la r’).
Si por el centro de homología se hace una paralela a la recta inicial, r, esta no cortará jamás al plano inicial (el cian), pero sí al plano homólogo (el rojo). Luego una paralela a una recta inicial no toca a la recta límite de los puntos iniciales sino a la recta límite de los puntos homólogos. Es por ello que no considero la primera opción como la buena, sino la segunda.
Pero ya digo que todo depende de lo que se quiera considerar, que la recta límite es de los puntos iniciales o de los puntos homólogos.

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Ejercicio de homología – 986

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Hallar la homología del cuadrado conocidos el eje, la recta límite y el centro de homología.

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SOLUCIÓN

1 – El vértice C es doble.
2 – Si unes donde CD corta a R.L con C.H obtienes la dirección de C’D’
3 – Por C’ haces paralela a esa dirección y uniendo C.H con D consigues D’

4 – Donde AB toca a R.L lo unes con C.H y por donde AB corta al eje le haces una paralela. Donde esta se corte con C.H – A es A’.
5 – B’ no existe por estar sobre R.L
6 – Marcar como solución las líneas que tengo en negro, teniendo en cuenta que las direcciones de A’B’ y C’D’ son paralelas entre sí y paralelas a la unión de B con C.H.

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