Mes: octubre 2014

Ejercicio de homología – 985

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Homología de un cuadrado ABCD, conocidos el eje de homología, el centro de homología, O, y la recta límite de los puntos homólogos, R.L’

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SOLUCIÓN

1 – La recta límite, R.L, de los puntos originales es paralela al eje y separada del centro de homología la misma distancia que hay entre la otra recta límite, R.L’, y el eje.

2 – Prolongar el segmento AB hasta el eje y unir A con el centro de homología. Por donde AB corte al eje dibujar una paralela a A-O
3 – Unir B con O y donde corte a la anterior, es el punto homólogo B’
4 – Unir B’ con C’ ( C es punto doble por estar en el eje )
5 – Prolongar C-D hasta cortar a la recta límite, R.L, y unir este punto con el centro de homología, O. Por C hacer una paralela a la recta anterior
6 – Unir O con D y donde corte a la anterior es D’
8 – Por D’ hacer una paralela a la unión de A-O

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Ejercicio de homología – 984

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Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

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SOLUCIÓN

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

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Ejercicio de homología – 983

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Conocidos el eje de homología, e, el centro de homología, O, y la recta límite de los puntos homólogos, R.L’, hallar el homólogo del punto A

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la recta límite, R.L, de los puntos iniciales, mediante una paralela a R.L’ a una distancia, x, medida desde el centro de homología, O, igual a la que separa la recta límite R.L’ del eje

2 – Dibujar una recta, r, cualquiera que pase por el punto A
3 – Prolongarla hasta cortar a R.L (punto y)
4 – Unir Y con O y por donde r corte al eje la recta r, punto z, hacer una paralela a O-Y
5 – Unir A con O, y donde corte a la anterior es el punto homólogo A’

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Ejercicio de homología – 982

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Homología de un cuadrado, ABCD, conocido el centro de homología, O, la recta límite de los puntos iniciales, R.L, y la recta límite de los puntos finales, R.L’

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela a las rectas límites a una distancia igual a la que separa el centro de homología de una recta límite, midiéndola respecto de la otra. Esto nos da el eje de la homología, e

2 – Prolongar uno de los lados, AD, hasta la recta límite, R.L. Unir su punto de corte, X, con el centro de homología, O. Por donde AD corte al eje, Y, se dibuja una paralela a OX. Unir A y D con O y donde corte a la paralela anterior son sus puntos homólogos, A’ y D’
3 – Por A’ trazar una paralela al eje de homología. Unir B con O y donde corte a la línea anterior es el homólogo B’.
4 – Por D’ trazar una paralela al eje de homología. Unir C con O y donde corte a la línea anterior es el homólogo C’.
5 – Unir B’ con C’.

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Ejercicio de homología – 981

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De una homología se conocen: V (11, 6), eje E {y = 6}, RL {y = 10}. Hallar el homólogo del triángulo A(9, 2); B(13, 10); C(3, 6)

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SOLUCIÓN

El que el centro de homología (o vértice de la homología) esté sobre el eje de la homología es irrelevante. El modo de operar es el mismo.
Este es el proceso.
1 – El vértice C por estar en el eje es doble, es decir, C’ está sobre C.

2 – El vértice B al estar sobre la recta límite tiene por homólogo un punto impropio, o dicho de otra forma, B’ no existe.
3 – Para averiguar el homólogo de A seguimos un procedimiento habitual. Prolongamos AC hasta tocar a la recta límite y al unirlo con el centro de homología (o vértice de la homología) da la dirección de la recta homóloga A’C’
4 – Se hace una paralela a esa dirección por donde AC corta al eje (que es el mismo punto C). En esa recta estará A’
5 – Se une A con V y donde corte a la anterior es A’
6 – Solo falta la dirección de B’C’ A’B’. Cualquiera de las dos se prolonga hasta la recta límite y al unirlo con V da la dirección de esas rectas homólogas. Dibujando paralelas por donde las rectas iniciales cortan al eje se obtienen sus homólogas (las líneas verdes)

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Dado un cuadrilátero (trapezoide) y un punto V, exterior; definir una homología que transforme dicho cuadrilátero en un paralelogramo de área equivalente al cuadrilátero (siendo V el centro de homología).

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SOLUCIÓN

Lo ilustraré en el siguiente ejemplo :

Inicialmente tenemos el cuadrilátero ABCD y el centro de homología, V.
Como deseas que se transforme en un paralelogramo, se prolongan los lados opuestos del cuadrilátero dado hasta que se corten y uniendo esos puntos de corte, X e Y, se consigue la recta límite.
Ahora el problema viene en conseguir algún dato del paralelogramo que se pide. No especifican cuál será, cuadrado, rectángulo, rombo o romboide, por lo que ahora mismo podría ser cualquiera de esos cuatro. Pero para el rectángulo, rombo y romboide se necesitaría tener algún dato de él, mientras que para el cuadrado no es necesario (porque la base y la altura son iguales), por lo tanto supondré que se solicita un cuadrado.
Para hacer un cuadrado equivalente al trapezoide dado, primero transformo el cuadrilátero en un triángulo equivalente, para ello uno dos de sus vértices, línea magenta, (lo he dibujado aparte de la homología en el siguiente dibujo, para que esté más claro, pero se puede hacer encima) y se hace una paralela por el otro vértice. Prolongando el lado contiguo se obtiene un triángulo equivalente (el que ves rayado), que tendrá de base la señalada como b y de altura la marcada con h.

Ahora, se transforma el triángulo obtenido en un cuadrado, para ello se igualan las áreas b·h/2 = L·L, por lo tanto, se conocen dos segmentos, b/2 y h, así que, plantearé una media proporcional para obtener el valor del lado del cuadrado, L (en el siguiente dibujo). La mitad de la base, b/2, y la altura, h, me han salido muy parecidas, pero no tienen por qué ser iguales.

Conocido el valor del lado del cuadrado se trata de llevarlo a la homología. Se prolonga uno de los lados hasta la recta límite, por ejemplo el AB, al unirlo con el centro de homología se consigue la dirección de la recta homóloga, A’B’. Sobre ella y a partir del centro de homología se lleva el valor del lado del cuadrado, L, hallado anteriormente. Dibujando una paralela a la unión del centro de homología con el vértice B por el extremo de esa longitud, L, se obtiene el punto A’ donde corte a la unión del centro de homología con el vértice A.

Con centro en A’ y radio el lado del cuadrado se traza un arco. Donde el arco corta a la unión de V con B es su homólogo B’. También se puede dibujar una paralela a VX por A’ y donde corte a VB es B’.

Conocido el lado del cuadrado A’B’ se dibuja este con líneas perpendiculares y llevando la longitud L.

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homología – 980

Ejercicio de homología – 979

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Hallar el centro de homología en un sistema en el que se conoce su eje e y su recta límite l1 de manera que el triángulo homológico del dado A1-B1-C1 sea el triángulo equilátero A2-B2-C2.

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SOLUCIÓN

1 – Prolonga los lados A1-C1 y B1-C1, hasta cortar a la recta límite.

2 – Haz el arco capaz de 60º respecto del segmento formado por los dos puntos donde las rectas anteriores tocan a la recta límite.
3 – Repite el mismo proceso con A1-B1 y B1-C1, trazando un nuevo arco capaz de 60º. Si prolongas A1-B1 y A1-C1, el arco capaz será de 120º.
4 – Donde los dos arcos capaces se corten es el centro de la homología.
5 – Prolonga A1-C1 hasta cortar a la recta límite. Une ese punto con el centro de homología. Haciendo una paralela a esa recta por donde A1-C1 corta al eje de la homología.
6 – Une A1 y C1 con el centro de homología donde corte a la paralela del punto anterior son sus homólogos A2 y C2.
7 – Para B2 puedes repetir el mismo proceso con B1-C1 o A1-B1, o simplemente dibujar un triángulo equilátero a partir de A2-C2, pero en ese caso asegúrate que está hacia el lado correcto.

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Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I ).

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V.

3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J ).

4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O.
La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e.
La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L.

5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo :

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L.

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos).

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste).

8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O.

9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja).

10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′.

11 – Repetir con varios puntos más y unirlos.

 

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homología – 978

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Sección a un cono, en axonométrico, por un plano, P, mediante homología

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SOLUCIÓN

6 – Para aplicar la homología se debe tener al menos un punto de la intersección ya calculado (por el método anterior por ejemplo), punto M.

7 – Hacer una recta que una un punto cualquiera de la base, punto 3, con el punto donde la generatriz que pasa por el punto M corta a la base, punto 1.

8 – Se prolonga hasta que toque a la traza del plano p (punto d).

9 – Se une con el punto de la sección M.

10 – Donde esta última corte a la generatriz que parte de 3 es el punto de la sección Ñ.

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Ejercicio de homología – 976

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El triángulo ABC es la perspeciva cónica de un triángulo rectángulo, en A, contenido en el Plano Geometral. Sabiendo que el ángulo B vale 30º y que el vértice C pertenece al Plano del Cuadro, obtener: el Punto Principal, la distancia entre el Punto Principal y el Punto de Vista, la cota del Punto de Vista.
Suponiendo que el triángulo ABC es la base de un prisma recto de altura (AB + AC)/2, representar el poliedro con partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

Es un ejercicio de aplicación de homología a una perspectiva cónica :
1 – Como el punto C está tanto sobre el geometral como en el cuadro, su posición es sobre la línea de tierra (puntos comunes a los dos planos), por lo que la línea de tierra pasará por el punto C, siendo paralela a la línea de horizonte.

2 – Se define una homología, de eje la línea de tierra, como recta límite la línea de horizonte y conociéndose los homólogos de los ángulos, A’ = 90º y B’ = 30º.
3 – Se prolongan los lados correspondientes a los ángulos A y B hasta cortar a la recta límite y se realizan los arcos capaces de sus ángulos homólogos. El punto de corte de ambos arcos es el centro de la homología, que a su vez es el punto de vista abatido sobre el plano del cuadro.
4 – Ya se tienen los elementos necesarios para resolver la homología, siendo la figura homóloga el abatimiento sobre el plano del cuadro del triángulo dado.
5 – El punto principal se determina mediante una perpendicular a la línea de horizonte que baje desde el punto de vista abatido.
La distancia que hay entre el punto de vista y el punto principal es la distancia principal (39 mm).
La cota del punto de vista es la distancia que hay entre la línea de tierra y la línea de horizonte (77 mm).
El plano del cuadro lo he considerado transparente y por tanto no afecta a la visibilidad de la pieza.

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