Mes: octubre 2014

Dibujar la figura, indicando claramente los centros y puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlaces. ( Alfil )

alfil con una hipérbola

SOLUCIÓN

El trazado de la parábola sigue estos pasos :
1 – Yo imagino que conoces la posición del foco y del vértice de la curva

enlaces parabolicos en un pieza de ajedrez

2 – Con esa distancia (la FC) llevada hacia abajo, obtienes la directriz perpendicular al eje.
3 – A partir de ahí se trata de hacer el trazado por puntos de la parábola.
4 – Que te recuerdo, se toman varias divisiones sobre el eje.
5 – Se trazan perpendiculares al eje por cada división.
6 – Mides la distancia entre esa perpendicular y la directriz (en mi dibujo X)
7 – Con centro en el foco y radio X trazas un arco hasta cortar a la recta desde la que se midio.
8 – Estos son los puntos de la curva. Repetir para los demás.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 969

Ejercicios y problemas resueltos de hiperbolas – 969

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 969

¿ Cómo es el plano que secciona a un cono para que dé una hipérbola ?

SOLUCIÓN

Las distintas curvas cónicas dependen de como se tome el plano que secciona al cono, así :
a) Cuando el plano seccionante y el plano base del cono son paralelos, o dicho de otra forma, cuando el plano seccionante y el eje del cono son perpendiculares, se obtiene una circunferencia.
b) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es menor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante es mayor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una elipse
c) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es igual que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es igual al ángulo de cualquier generatriz con el eje, se obtiene una parábola
d) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es mayor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es menor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una hipérbola.

teorema de Dandelin

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 968

Ejercicios y problemas resueltos de hiperbolas – 968

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 968

Dibujar la transformación homológica de una circunferencia, cuyo centro C está en la recta límite, R.L, conociendo el centro de homología O y el eje, e.

SOLUCIÓN

Cuando una circunferencia corta a la recta límite (tenga su centro o no en la recta límite) su homóloga es una hipérbola.
1 – Hallar las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia que pasan por los puntos de corte, A y B, con la recta límite

homologia de la circunferencia en hiperbola

2 – Unir A y B con el centro de homología, O
3 – Por donde las tangentes, t1 y t2, cortan al eje, F y G, hacer paralelas a O-A y O-B, respectivamente. Estas últimas, t1′ y t2′, son las asíntotas de la hipérbola
4 – Prolongar las asíntotas hasta que se corten. El punto de corte, H’, es el centro de la hipérbola
5 – Hallar la bisectriz de las asíntotas, t1′-t2′, y este es el eje mayor o real. La perpendicular por H’ es el eje menor o imaginario
6 – Donde el eje mayor corte al eje de la homología, I’, se une con el punto de corte de las tangentes, t1 y t2. Como son paralelas, t1 y t2, se dibuja una paralela a ellas
7 – Esta recta corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2

homologia de la circunferencia en hiperbola

8 – Unir los puntos 1 y 2 con el centro de homología, O, y donde corta al eje mayor de la hipérbola son los vértices hipérbola, 1′ y 2′
9 – Por cualquiera de los dos vértices de la hipérbola, 1′ en mi dibujo, se levanta una perpendicular al eje mayor
10 – Hacer un arco con centro en el de la hipérbola, H’, y radio hasta donde la perpendicular anterior corta a las asíntotas, X
11 – Donde el arco corte al eje mayor de la hipérbola son los focos, F1 y F2
12 – Ya conocemos las asíntotas, t1′ y t2′, el eje mayor y menor, los vértices de la hipérbola, 1′ y 2′, y los focos, F1 y F2, se procede a trazar la hipérbola por el método que se crea más conveniente (trazado por puntos o hallando los homólogos de los puntos de la circunferencia)

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 967

Ejercicios y problemas resueltos de hiperbolas – 967

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 967

Trazado de hipérbola conociendo un foco, una tangente y las magnitudes b = 30 mm y c = 45 mm.

SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar, colocar dos líneas perpendiculares.
2 – Colocar sobre una de las perpendiculares la medida del semieje imaginario (o menor), b.
3 – Con centro en su extremo y radio la semidistancia focal, c, trazar un arco.
4 – Donde corte el arco a la otra perpendicular es el semieje real (o mayor), a.
5 – Trazar el simétrico, s, del foco dado respecto de la recta tangente. Para ello, desde el foco se dibuja una perpendicular a la recta tangente y se lleva hacia el otro lado la distancia desde el foco a la tangente.
6 – Con centro en el simétrico del foco, s, y radio el eje mayor, 2a, se traza un arco.
7 – Con centro en el foco y radio la distancia focal, 2c, se traza otro arco.
8 – Donde se corten los dos arcos es el segundo foco.
9 – Unir ambos focos y este es el eje real.
10 – Determinar el punto medio entre los dos focos. Este es el centro de la hipérbola.
11 – Desde el centro de la hipérbola llevar hacia cada lado el semieje mayor, a. Obtenemos los vértices.
12 – Realizar el trazado por puntos de la hipérbola.

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Ejercicios de GIROS en Geometría proyectiva – 999

Problemas y ejercicios resueltos de transformaciones planas resueltas por giros – 999

Ejercicios de giros – 999

Tenemos un segmento PQ y otro segmento P’Q’ transformado del primero por un giro. Hallar el centro de giro de la transformación.

SOLUCIÓN

Unir el punto P y P’ y trazar su mediatriz.

segmento transformado por giro

Realizar la misma operación con el segmento QQ’.
Donde se corten las mediatrices se encuentra el centro de giro.

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Ejercicios de GIROS en Geometría proyectiva – 998

Problemas y ejercicios resueltos de transformaciones planas resueltas por giros – 998

Ejercicios de giros – 998

Triángulo equilátero que tenga cada uno de sus vértices apoyado en tres rectas paralelas, R, S y T

SOLUCIÓN

1 – Tomar un punto cualquiera en una de ellas, el punto A por ejemplo.

triángulo equilatero apoyado en tres rectas paralelas

2 – Girar (da igual el sentido de giro) las tres rectas alrededor de ese primer vértice, un ángulo igual 60º. Para ello :
2.a – Dibujar la recta R’ formando 60º respecto de la recta R y pasando por el punto A
2.b – Hacer las rectas S’ y T’ paralelas a la recta R’ separadas la misma distancia que había entre R y S
3 – Marcar los puntos de corte de las tres rectas o circunferencias iniciales con las tres rectas o circunferencias giradas (R’, S’ y T’).
4 – De los puntos marcados NO nos interesan aquellos que son puntos de corte de una recta con su homónima girada, ni tampoco los que pertenecen a la recta que contenía al primer vértice ni el de su girada. Luego solo son necesarios donde se intersectan las rectas iniciales con una de las giradas que no sea de su homónima.
6 – Si salen varios puntos, cada uno de ellos indica una solución distinta, y habrá tantas soluciones como puntos nos den.
7 – Unir el punto inicial con una de las soluciones y esa recta será el lado del polígono buscado. Dibujarlo a partir del lado.

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Cuadrado con tres vértices apoyados en tres rectas

Problemas y ejercicios resueltos de transformaciones planas resueltas por giros – 997

Hallar el cuadrado que tenga un vértice en una recta r, el opuesto en otra s y los otros dos en las rectas t y u. Las tres rectas son convergentes en un punto. Se conoce uno de los vértices A sobre una de las rectas

SOLUCIÓN

Debes de girar las tres rectas alrededor de ese punto un ángulo de 90º (ángulo entre dos de los lados contiguos del cuadrado), dando las rectas R’-S’-T’.

cuadrado apoyado en tres vertices

Donde las rectas de distinto nombre (R con T, no R con R’) se corten son vértices de las posibles soluciones (2 soluciones).
Une esos vértices con el dado y ya tienes el lado del cuadrado.
A partir de ahí debes construir un cuadrado conocido el lado.

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giros – 997

Ejercicios de GIROS en Geometría proyectiva – 996

Problemas y ejercicios resueltos de transformaciones planas resueltas por giros – 996

Ejercicios de giros – 996

Dadas dos rectas concurrentes y un punto P exterior a ambas, construir un triángulo isósceles con dos de sus vértices en cada una de las rectas y el tercer vértice en el punto P y tal que el ángulo en el vértice P sea de 120 grados

SOLUCIÓN

1 – Girar las dos rectas dadas, R y S, alrededor del punto dado, P, un ángulo igual a 120º

triángulo apoyado en dos rectas oblicuas

2 – Donde R’ (recta girada) corte a S (recta original) es uno de los vértices del triángulo, punto 1.
3 – Unir con el punto P y hacer una recta que mida 120º respecto de 1-P, donde corte a la otra recta, R, es el punto 2 (tercer vértice del triángulo)

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Aplicar un giro que transforme un pentágono, de forma que un punto girado coincida con otro y un lado quede horizontal (Selectividad Extremadura Junio 2007)

Problemas y ejercicios resueltos de transformaciones planas resueltas por giros – 995

Aplicar un giro que transforme el pentágono dado, de forma que el punto A girado coincida con el punto B y el lado AB girado quede horizontal.
Selectividad Extremadura Junio 2007

girar un pentagono para que este sobre dos vertices

SOLUCIÓN

1 – A partir de A’ colocar el lado A’-B’ horizontal.

hallar el centro de giro de un pentagono

2 – Hallar las mediatrices de A-A’ y B-B’.

3 – Donde se corten las dos mediatrices, O, es el centro de giro.

4 – Con centro en O y radio hasta C, D y E hacer arcos.

5 – Con centro en B’ y radio el lado del pentágono, L, se traza un arco que corte al que parte de C, dando el vértice girado C’.

6 – Con centro en C’ y radio L otro arco hasta cortar al que parte de D, obteniendo D’.

7 – Repetir con E.

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