Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 981

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Hipérbola conociendo las asintotas (± 45º) y la magnitud b

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SOLUCIÓN

I – Por el ángulo de las asíntotas se trata de una hipérbola equilátera
II – En ese caso el valor del semieje mayor es igual al de semieje menor, a = b
III – Dibujar los dos ejes perpendiculares entre sí
IV – Hacer las asíntotas formando 45º con los ejes
V – Sobre el eje mayor colocar su valor y levantar una perpendicular hasta la asíntota
VI – Con esto se forma un triángulo en el que la hipotenusa es el valor de la semidistancia focal

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 980

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Hipérbola conociendo: asintota, foco F y la distancia "a" (semieje mayor)

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SOLUCIÓN

a – Dibuja el simétrico del foco respecto de la asíntota
b – Por el simétrico traza una paralela a la asíntota
c – A partir del simétrico y sobre la paralela anterior se lleva la distancia 2a y ese es el segundo foco
d – Une los dos focos
e – Donde la unión corte a la asíntota es el centro de la hipérbola
Con esto ya tienes los elementos necesarios para hallar la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 979

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Hallar los ejes, focos y vértices de la hipérbola dada por: Foco «F», distancia 2a = 60 mm y asíntota «s». Se dibujará la curva.
Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo del folio en vertical, el foco tiene de coordenadas (48, 133).
Trazando una paralela al borde inferior por F, la asíntota corta a esta paralela a 5 cm a la derecha de F, y forma 132º con la recta hacia la derecha.

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SOLUCIÓN

1 – Se determina el punto simétrico al foco, respecto de la asíntota.
2 – Hacer una paralela a la asíntota que pase por el simétrico del foco.
3 – A partir del simétrico del foco se lleva la medida del eje mayor sobre la paralela anterior, siendo ese el segundo foco.
Conseguido el segundo foco el resto ya lo sabrás hacer.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 978

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Construcción de una hipérbola por puntos o trazado de una hipérbola conocido los focos, F1 y F2, y los vértices, A y A’a.

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SOLUCIÓN

1 – Tomas varias divisiones sobre el eje real (en mi caso solo una, la marcada como 1)

2 – Mides la distancia entre esa división y uno de los vértices, 1A = X.
3 – Con centro en uno de los focos haces un arco de radio X
4 – Mides la distancia entre la división 1 y el otro vértice, 1A’ = Y
5 – Con centro en el otro foco haces un segundo arco de radio Y
6 – Donde se cortan los dos arcos son puntos de la hipérbola
7 – Repites cambiado los focos y con más divisiones

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 977

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Hipérbola conocidos dos puntos, P y Q, un foco, F1, y el eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en uno de los puntos, P, y radio la suma de la distancia entre ese punto y el foco, x, más 2a se hace un arco

2 – Se repite con el otro punto, Q, siendo el radio y + 2a
3 – Donde se corten es el segundo foco

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 976

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Hipérbola conocido su centro, O, un vértice, A, y la medida del semieje menor, b

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo el centro de la hipérbola, O, con el vértice, A, se obtiene la medida del semieje mayor, a. Si sobre el eje OA se lleva el semieje mayor, a, hacia el otro lado del centro de la hipérbola, se consigue el segundo vértice A’

2 – Conocidas las medidas del semieje menor, b, y del semieje mayor, a, se determina la semidistancia focal, c, mediante un triángulo rectángulo cuyos catetos son las dos semiejes. La hipotenusa de dicho triángulo es la semidistancia focal,c. Este triángulo se puede construir tanto aparte, como sobre el eje (triángulos rellenos de azul)
3 – Conocida la semidistancia focal se trazan los focos, F1 y F2, midiendo la semidistancia focal, c, sobre el eje OA
4 – Cconocidos los vértices, A y A’, de la hipérbola y los focos, F1 y F2, se realiza el trazado por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 975

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Dados dos focos y un punto de la curva hallar una hipérbola

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo los dos focos se obtiene la distancia focal, 2c.
2 – Unir los dos focos con el punto dado, y restando los dos segmentos se obtiene el valor del eje mayor, 2a.
3 – Hacer la mediatriz de la distancia focal.
4 – Sobre la recta que une los focos (el eje mayor) y a partir del punto medio de la distancia focal, llevar la medida del semieje mayor.
5 – Con centro en esa distancia y radio la semidistancia focal se hace un arco que corte a la mediatriz anterior.
6 – Desde el punto medio de la distancia focal hasta donde corta el arco a la mediatriz es el semieje menor, 2b.

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Hipérbola conocida la recta R en la que está un foco, la circunferencia de centro X en la que está el otro foco, el centro de la curva, O, y un punto de ella, P

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SOLUCIÓN

1 – Halla la circunferencia simétrica, X’, de la dada, X, respecto del centro de la hipérbola, O. (También se puede hacer el simétrico de la recta R)

2 – Donde la circunferencia simétrica, X’, corte a la recta, R, es el primer foco, F1 (o bien donde la simétrica de la recta corte a la circunferencia inicial). La circunferencia corta a la recta en dos puntos, luego hay dos posibles soluciones; yo solo he dibujado una.

3 – Unir el primer foco, F1, con el centro de la curva, O, y donde corte a la circunferencia dada, X, es el segundo foco, F2.

4 – Medir las distancias que hay entre el punto de la curva, P, y los focos, F1 y F2.

5 – Restar las distancias P-F1 a P-F2 y esto nos da la medida del eje mayor.

6 – Conocidos los dos focos y el eje mayor, hacer el trazado por puntos de la hipérbola.

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HIPÉRBOLAS – 97

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 973

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Características de una hipérbola equilátera

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SOLUCIÓN

La hipérbola equilátera tiene dos caracteristicas que la diferencia de las demás :
a) Su eje mayor (2a) es de igual valor que el eje menor (2b).
b) Sus asintotas forman 45º respecto de los ejes mayores y menores, o bien forman 90º entre ellos.
Para su trazado sigue el procedimiento que conozcas para cualquier hipérbola.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 972

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Dibujar los ejes de una hipérbola equilátera a partir de la distancia focal.

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SOLUCIÓN

1 – Traza una línea horizontal.
2 – A partir de cualquier punto de esa línea levanta otra que forme 45º respecto de la primera.
3 – Mide sobre esa línea que está a 45º la medida de la distancia focal.
4 – A partir de su extremo baja una línea vertical.
5 – Se te habra formado un triángulo rectángulo.
6 – El cateto horizontal es la medida del eje mayor y el cateto vertical la del eje menor (que deberá medir lo mismo).

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