Mes: octubre 2014

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Sección de una pirámide cuadrangular por un plano definido por tres puntos, ABC.

Mediante intersecciones de rectas con planos.

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SOLUCIÓN

Diédrico clásico.
Mediante intersecciones de rectas con planos.

El objetivo es hallar los puntos de intersección de cada una de las aristas que forman la pirámide con el plano.
Hallar las trazas del plano que forman los tres puntos como se ha explicado en el apartado anterior (pulsar aquí para verlo de nuevo).

14 – Construir un plano proyectante que contenga a las aristas.
Prolongar la proyección vertical de la arista D-V hasta cortar a la línea de tierra. Esta es la traza vertical, q1′, del plano proyectante. Donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular que es la traza horizontal del plano, q1. También se podría haber hecho lo contrario, prolongar la proyección horizontal de la arista hasta la línea de tierra y desde ahí subir una perpendicular.

15 – El punto de corte, o’, de las trazas verticales de los planos, p’ y q1′, se lleva hasta la línea de tierra, o, y se une con el punto de intersección, r, de las dos trazas horizontales de los planos, p y q1. Esta es la intersección de los dos planos.

16 – Donde dicha intersección corta a la proyección horizontal de la arista, d-v, es un punto de la sección, j. Llevarlo a la proyección vertical, j’.

17 – Ahora se debe repetir (plano proyectante que contiene a la arista, intersección de los dos planos, punto común en la arista) con el resto de las aristas para obtener los otros puntos. Sin embargo, en este caso nos podemos ahorrar bastante trabajo teniendo en cuenta que los puntos A, B y C ya están sobre las aristas de la pirámide por lo que son parte de la sección.

18 – Además nos debemos de fijar en los puntos, B y N, en los que la base de la pirámide corta a la traza horizontal del plano, ya que una está sobre la otra. Luego estos también son puntos de la sección.

19 – Si se intenta hallar la intersección con la arista F-V el punto de corte, s, de los dos planos, P-Q2, sale fuera de los límites de la pirámide por lo que no se considera.

20 – Unir los puntos que estén en una misma cara, A con B, B con N, N con C, C con J y J con A.

Pulsando en » Problema siguiente» o en » Problema anterior» se pueden ver otras formas de resolver este mismo problema.

 

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 014

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Sección de una pirámide cuadrangular por un plano definido por tres puntos, ABC.

Mediante cambio de plano.

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SOLUCIÓN

Diédrico clásico.

Mediante cambio de plano.

El objetivo es transformar el plano oblicuo en un plano del tipo proyectante mediante un cambio de plano. En el plano proyectante la sección es inmediata pues los puntos están sobre la traza oblicua a la línea de tierra. Deshaciendo el cambio de plano se consiguen sus proyecciones.
Hallar las trazas del plano que forman los tres puntos como se ha explicado en el apartado anterior (pulsar aquí para verlo de nuevo).
6 – Dibujar la segunda línea de tierra, LT-2, perpendicular a la traza horizontal del plano, p, que forman los tres puntos ABC.

7 – Cambiar de plano el plano.
Para ello elegir un punto cualquiera que esté sobre la traza vertical del plano y sobre la línea de tierra, i-i’. Desde su proyección horizontal, i, se traza una perpendicular a la línea de tierra segunda y desde esta se mide la misma cota que tenga la proyección vertical del punto. Este es el punto cambiado de plano, i1′. Unirlo con donde la traza horizontal del plano, p, corta a la segunda línea de tierra y esta es la traza vertical del plano cambiada, p1′. Si se desea también se podía haber cambiado de plano uno cualquiera de los tres puntos que teníamos (A, B o C) y unirlo con donde la traza horizontal del plano corta a la segunda línea de tierra. De esta forma no es necesario hallar la traza vertical del plano.
8 – Cambiar de plano la pirámide.
Por cada punto de la proyección horizontal de la pirámide, d-e-f-g-v, se trazan perpendiculares a la segunda línea de tierra y sobre ellas se llevan las medidas de las cotas de cada punto. Uniéndolos en el mismo orden obtenemos la proyección vertical de la pirámide cambiada de plano, d1′-e1′-f1′-g1′-v1′.
9 – En el cambio de plano, prolongar la traza del plano todo lo que haga falta hasta que corte por completo a la proyección de la pirámide.
10 – En el cambio de plano, donde la traza del plano corta a las aristas de la pirámide son los puntos de la sección, j1′-k1′-l1′-m1′-n1′. No hay que olvidar los puntos de corte con la base que está sobre la línea de tierra, m1′ y n1′, y tener también presente que la base está formada por varias líneas, d1′-e1′-f1′-g1′, luego no corta en un punto sino en dos, m1′ y n1′, que se superponen en esta proyección.
11 – Mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra se llevan los puntos de la sección cada uno sobre su arista, j a d-v, k a e-v, l a g-v, etc, de la proyección horizontal. Si un punto de los que forma el plano está sobre una arista de la pirámide ese punto es parte de la sección, por eso los puntos k, l y m, coinciden con c, a y b. Por ello muchas veces no se cambia todo el cuerpo sino solo aquellas aristas en las que no conocemos los puntos de la sección. Recordar que los puntos donde la traza horizontal del plano corta a la base de la pirámide (que está apoyada en el plano horizontal de proyección), m y n, son puntos de la sección por pertenecer a ambos (plano y pirámide).
12 – Llevar las proyecciones horizontales de los puntos de la sección a la proyección vertical mediante perpendiculares a la primera línea de tierra.
13 – Unir los puntos que estén en una misma cara, L con M, M con N, N con K, K con J y J con L.
Pulsando en "Problema siguiente" se pueden ver otras formas de resolver este mismo problema.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 013

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Sección de una pirámide cuadrangular por un plano definido por tres puntos, ABC.

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SOLUCIÓN

Voy a resolver este ejercicio por varios procedimientos. Ir pulsando en PROBLEMA SIGUIENTE para ver los distintos procedimientos.

Diédrico clásico.
Obtención de las trazas del plano que forman los tres puntos, ABC.

1 – Prolongar la proyección vertical de AC hasta cortar a la línea de tierra y por ahí bajar una perpendicular a ella hasta cortar a la proyección horizontal de AC. Esta es la traza horizontal, h-ac, de la recta AC.

2 – Repetir con otra de las dos rectas que forman los tres puntos, AB o BC, y determinar su traza horizontal. En mi caso he trabajado con AB obteniendo h-ab, aunque BC daría lo mismo.
3 – Uniendo las dos trazas horizontales, h-ac y h-ab, se obtiene la traza horizontal del plano, p.
4 – Para obtener la traza vertical del plano, prolongar la proyección horizontal de AC hasta cortar a la línea de tierra y por ahí levantar una perpendicular a ella. Donde corte a la proyección vertical de AC es su traza vertical, v’-ac.
5 – Uniendo donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra (vértice del plano) con la traza vertical anterior, v’-ac, se obtiene la traza vertical del plano, p’. Si el vértice del plano está fuera de los límites del dibujo se busca otra traza vertical de cualquiera de las otras dos rectas, AB o BC, y se unen entre sí las trazas verticales.
Pulsar en " PROBLEMA SIGUIENTE" para ver distintas formas de resolver el resto del problema.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 012

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante un cambio de plano.

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SOLUCIÓN

73 – Realizar un cambio de plano del plano Q, con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano Q. El plano Q quedará proyectante.
74 – Cambiar de plano el vértice del cono y tantos puntos de la base del cono como puntos se desee para la intersección.
75 – Unir, en el cambio de plano, los puntos de la base del cono con el vértice del cono. Estas son las generatrices del cono.
76 – Donde las generatrices corten a la traza del plano, en el cambio de plano, son los puntos de la sección.
77 – Dibujar las mismas generatrices en las proyecciones horizontal y vertical.
78 – Llevar los puntos obtenidos en el cambio de plano a sus correspondientes generatrices en las demás proyecciones.
79 – Unir los puntos.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 011

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante una homología proyectada.

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SOLUCIÓN

80 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano que produce la sección. La intersección de ambos es el eje de la homología.
81 – Dibujar un plano paralelo al que produce la sección pasando por el vértice del cono.
82 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano paralelo que pasa por el vértice. La intersección de ambos es la recta límite de la homología.
83 – La homología ha quedado definida :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base con el plano seccionador.
– Recta límite, la intersección del plano de la base con el plano paralelo al seccionador que pasa por el vértice del cono.
– Centro de homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Figura a transformar, la proyección horizontal (elipse) de la base del cono.
84 – Para resolver la homología unir dos puntos cualquiera de la proyección horizontal de la base del cono hasta cortar al eje y la recta límite de la homología.
85 – Donde corte a la recta límite se une con el vértice del cono y después se dibuja una paralela a esa unión pasando por donde la recta que unía los puntos de la base cortaba al eje de la homología.
86 – Unir el centro de la homología con los puntos de la base del cono que se unieron y donde corten a la recta anterior son sus puntos homólogos, y por tanto punto de la sección buscada.
87 – Repetir con varios puntos más.
88 – Unir los puntos obtenidos con una curva.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 010

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante intersecciones de rectas con planos.

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SOLUCIÓN

89 – Unir el vértice del cono con los puntos de su base. Estas son las generatrices del cono.
90 – Hallar la intersección de las generatrices (rectas) con el plano seccionador, Q.
91 – Para ello por cada generatriz dibujar un plano proyectante que la contenga.
92 – Hallar la intersección del plano proyectante con el plano seccionador.
93 – Donde la intersección de los dos planos corte a la generatriz con la que se está trabajando es la intersección de la generatriz con el plano y por tanto uno de los puntos de la sección.
94 – Unir todos los puntos.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 009

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante una homología a partir de un punto.

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SOLUCIÓN

95 – Determinar un punto de la sección por cualquiera de los métodos anteriores, método 1, método 2 o método 3.
Lo más sencillo sería mediante un cambio de plano o por intersección de una recta con un plano.
96 – Se une el punto obtenido con el vértice del cono hasta cortar a la base (esto ya estará hecho) y donde toque a la base es su homólogo.
97 – Queda definida una homología con :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base y del plano seccionador.
– Centro de la homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Un par de puntos homólogos, el obtenido por uno de los procedimientos anteriores y el de la base que está en su generatriz.
98 – Para resolverla unir el punto de la base con otro también de la base hasta cortar al eje de homología.
99 – Desde ahí unirlo con el punto de la sección ya obtenido.
100 – Unir el centro de homología con el punto de la base y donde corte a la recta anterior es su homólogo y por tanto un punto de la sección.
101 – Repetir con más puntos y unirlos.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 008

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Sección de una esfera de centro O por un plano oblicuo P.
Determinar los ejes de la sección, los puntos de contacto con el contorno y su visibilidad.

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SOLUCIÓN

Determinación de los ejes principales (mayor y menor) de la elipse proyección de la sección, mediante cambios de plano
1 – Realizar un cambio de plano donde la segunda línea de tierra, LT-2, es perpendicular a la traza horizontal, p, del plano.

2 – Cambiar de plano la esfera. Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra y llevando la cota del centro, O’, se obtiene el centro de la esfera en el cambio de plano, O1′. Con el mismo radio de la esfera (en verdadera magnitud) se dibuja la esfera cambiada.
3 – Cambiar el plano. Tomar un punto cualquiera, X, que tenga sus proyecciones sobre la traza vertical del plano, p’, y en la línea de tierra. Trazar una perpendicular a la segunda línea de tierra, LT-2, por su proyección horizontal, x, y llevar la medida de la cota de la proyección vertical, obteniendo el punto cambiado, x1′. Unir con donde corta la traza horizontal del plano, p, a la segunda línea de tierra, LT-2, y este es el plano cambiado (proyectante), p1′.
4 – Eje menor de la elipse en proyección horizontal (ver la siguiente imagen). Llevar los puntos donde el plano en el cambio de plano, p1′, toca a la esfera, a1′ y b1′, mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra, hasta una perpendicular a la traza horizontal del plano, p, que pase por el centro de la esfera, O. Las nuevas proyecciones, a y b, son el eje menor de la elipse de la proyección horizontal.

5 – Eje mayor de la elipse en proyección horizontal. Tomar la medida, Z, en el cambio de plano, que hay entre los puntos de corte de la esfera con el plano, a1′-b1′. Llevar esta medida a una paralela a la traza horizontal del plano, p, que pase por el punto medio, c, del eje menor de la elipse,a-b (cuidado, NO es por el centro de la esfera). Este segmento, l-m, es el eje mayor de la elipse.
6 – Ejes en la proyección vertical (ver la siguiente imagen). Se sigue el mismo proceso, pero con la tercera línea de tierra, LT-3, perpendicular a la traza vertical del plano, p’. El eje menor es H-I y el mayor J-K. Los puntos de los ejes en ambas proyecciones NO son los mismos, por lo que no hay correspondencia entre ellos. Si se halla la otra proyección de cada punto lo que se obtiene es un punto de la elipse, pero no los ejes.

Determinación de los puntos de la elipse, proyección de la sección de un plano a una esfera.
7 – Puntos por afinidad doble. Conocidos ya los ejes de la elipse se trazan dos circunferencias de centro el mismo de la elipse y diámetros los de los ejes de la elipse. Se dibuja un diámetro cualquiera que cortará a las circunferencias en 1, 2, 3 y 4. Por estos puntos se trazan paralelas a los ejes de la elipse. Donde se corten ambas paralelas son puntos de la elipse, n y u. Repetir con otros diámetros para hallar más puntos.

8 – Puntos desde el cambio de plano. Se dibuja una paralela a la segunda línea de tierra, LT-2, en cualquier sitio o donde se desee determinar un punto. Esta paralela cortará al plano en los puntos coincidentes f1′ y g1′. Medir sobre la paralela a la segunda línea de tierra la distancia entre los puntos donde corta a la esfera, medida W. Con esa distancia como diámetro y centro el de la esfera en proyección horizontal se dibuja una circunferencia. Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra se llevan los puntos f1′ y g1′ hasta la circunferencia. Estos puntos, f y g, son dos puntos de la elipse. Repetir con otras paralelas a la segunda línea de tierra para hallar más puntos.

9 – Puntos mediante rectas horizontales o frontales. Por cualquier punto ya obtenido, por ejemplo el punto l del eje mayor en proyección horizontal, se dibuja una recta horizontal (o frontal), S. Subir el punto hasta la proyección vertical de la recta, l. Una vez obtenido un punto se pueden determinar tres más, l1′, l2′ y l3′, por simetria respecto del centro de la elipse o simetría respecto de los ejes de la elipse.

10 – Puntos mediante abatimiento. Se abate el centro de la elipse y con diámetro el eje mayor de la elipse se dibuja una circunferencia en el abatimiento. Se desabaten los puntos de la circunferencia que en proyección horizontal son los puntos de la elipse.

Determinación de los puntos de contacto de la elipse con el contorno de la esfera

11 – En el cambio de plano trazar una paralela, r1′, a la segunda línea de tierra, LT-2, pasando por el centro de la esfera, O1′.

12 – Por donde corte al plano, d1′ y e1′, dibujar una perpendicular a la segunda línea de tierra hasta cortar al contorno de la proyección horizontal de la esfera. Estos puntos, e y d son los puntos de contacto de la elipse con la circunferencia que representa a la esfera.
13 – Los puntos de contacto de la proyección horizontal NO son los mismos en la proyección vertical. Por lo tanto, se debe seguir el mismo procedimiento pero con el cambio de plano (horiozntal) cuya línea de tierra es perpendicular a la traza vertical del plano, LT-3.

Determinación de la visibilidad de la elipse sección de la esfera

14 – Por el centro de la esfera, O, en ambas proyecciones, se dibujan paralelas a la línea de tierra.

15 – La elipse pasa de vista a oculta a través de los puntos de contacto con la esfera, e y d en proyección horizontal y 5′ y 6′ en proyección vertical.
16 – Visibilidad de la proyección horizontal. Todo lo que este en la proyección vertical por encima de la paralela a la línea de tierra que pasa por el centro de la esfera es visto en la proyección horizontal. Así vemos que el punto l1′ está por encima, luego la parte de la elipse que pasa por l1 en proyección horizontal será visto hasta que toque al contorno, e-d. El punto l2′ está por debajo luego en proyección horizontal la curva que pasa por l2 es oculta hasta tocar al contorno, e-d.
17 – Visibilidad de la proyección vertical. Todo lo que este en la proyección horizontal por debajo de la paralela a la línea de tierra que pasa por el centro de la esfera es visto en la proyección vertical. Así vemos que el punto l2 está por debajo, luego la parte de la elipse que pasa por l2′ en proyección vertical será visto hasta que toque al contorno, 5′-6′. El punto l1 está por encima luego en proyección vertical la curva que pasa por l1′ es oculta hasta tocar al contorno, 5′-6′.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 007

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Sección a una esfera (centro O) por un plano, Q, mediante homología.

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SOLUCIÓN

57 – Dibujar una recta horizontal, R2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.

58 – La intersección de dicha horizontal, R2, con el contorno de la proyección horizontal de la esfera da los puntos 20 y 21, que constituyen el eje, e2, de la homología.
59 – Desde los puntos anteriores, 20 y 21, trazar tangentes al contorno de la esfera en proyección horizontal. El punto de corte de ambas tangentes, V2, es el centro de la homología.
60 – Dibujar una recta frontal, S2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.
61 – La intersección de dicha frontal, S2, con el contorno de la proyección vertical de la esfera da los puntos 22′ y 23′. Llevarlos a la proyección horizontal de la frontal, puntos 22 y 23.
62 – Unir estas proyecciones, 22 y 23, con el centro de la homología, V2. Donde corte al contorno de la proyección horizontal de la esfera tenemos los homólogos, h22 y h23.
63 – Ya tenemos definida la homología con los siguientes elementos :
– Eje de homología, e2 = 20-21.
– Centro de homología, V2.
– Par de puntos homólogos, 22 y h22 o 23 y h23.
64 – Para hallar más puntos de la cónica, unir un punto cualquiera del contorno de la esfera en proyección horizontal, h24 por ejemplo, con uno de los puntos anteriores, h22.
65 – Prolongar hasta cortar al eje de homología, e2, (en este caso no es necesario) y unir con el homólogo, 22.
66 – Unir h24 con el centro de la homología, V2, y donde corte a la anterior es el punto 24 homólogo de h24 y uno de los puntos de la elipse.
67 – Repetir con más puntos para determinar la elipse.
66 – Para la proyección vertical se opera de igual forma que la proyección horizontal.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 006

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Dibujar la sección producida por un plano alfa sobre el octaedro de la figura :

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SOLUCIÓN

1 – Segunda línea de tierra para el cambio de plano perpendicular a a traza horizontal del plano

2 – Se cambia el plano
3 – Se cambian los puntos del octaedro
4 – Donde el plano cambiado corte al octaedro son los puntos de la intersección
5 – Mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra por cada uno de los puntos se llevan estos a la proyección horizontal y después a la vertical

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