Mes: octubre 2014

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Examen de selectividad de Junio del 2008

En la figura dada se define un prisma recto de base cuadrangular apoyado en el plano de proyección horizontal mediante la proyección horizontal de su base y su altura.

Obténgase las proyecciones horizontal y vertical del prisma.

Posteriormente determinar en proyección y verdadera magnitud la sección producida por el plano alfa.

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SOLUCIÓN

1 – Llevar los puntos de la base, 1-2-3-4, a la línea de tierra, 1′-2′-3′-4′, y al perfil, 1″-2″-3″-4″.

2 – En la proyección vertical y en el perfil levantar los puntos anteriores hasta la altura dada.

3 – Llevar el punto P al perfil, p», y unirlo con la línea de tierra en el perfil, con lo que conseguimos el plano en el perfil alfa».

4 – En el perfil, donde el plano alfa» corte a las aristas del cuerpo, a»-b»-c»-d», son los puntos de la sección.

5 – Llevar esos puntos a las proyecciones horizontal y vertical, a’-b’-c’-d’ y a-b-c-d.

 

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 004

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ABC es la directriz de un prisma oblicuo apoyado en P.H. La recta AD es una generatriz del prisma.
Por el punto P dado pasa una recta r paralela a las generatrices laterales del prisma; dicha recta está contenida en un plano alfa proyectante vertical.
Se pide :
– Trazar un plano beta perpendicular a alfa por el punto P.
– Hallar la sección producida por el plano beta en el prisma y dibujar la verdadera magnitud de dicha sección.

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SOLUCIÓN

1 – Unir A con D y hacer paralelas por B y C. Uniendo los extremos de estas tres aristas laterales se consigue la segunda base de prisma y sus caras laterales.
2 – Por el punto P hacer una paralela a A-D. A esta recta la llamaré R
3 – Prolongando la proyección vertical de R se tiene la traza vertical del plano alfa. Donde toque a la línea tierra se baja una perpendicular a la línea de tierra y esa es la traza horizontal del plano alfa
4 – Por la proyección vertical del punto P se dibuja una perpendicular a la traza vertical del plano alfa. Esta es la traza vertical del plano beta. Donde toque a la línea de tierra se dibuja una perpendicular a ella y esa es la traza horizontal del plano beta
5 – Para la sección al prisma, marcar los puntos donde la traza vertical del plano beta corta a las aristas del prisma y uniendo esos puntos (forman una línea) obtenemos la proyección vertical de la sección
6 – Bajar cada uno de esos puntos a su correspondiente recta en la proyección horizontal y uniéndolos da la proyección horizontal de la sección
7 – Para determinar la verdadera magnitud de la sección, abatir los puntos de la sección respecto del plano beta

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 003

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Examen de selectividad de Andalucía 2.008
Conocidas las proyecciones de un sólido y las de los puntos A, B y C, se pide :
1. Determinar las trazas del plano P que contiene a los puntos A, B y C.
2. Dibujar las proyecciones de la sección producida por el plano P en el sólido.
3. Hallar la verdadera magnitud de la sección.

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SOLUCIÓN

1 – El punto C es el vértice del plano. Unir A con B y halar sus trazas h y v’. Unirlas con el vértice del plano para obtener las traza, p-p’

2 – Se halla la intersección de la cara J-K (proyectante horizontal) con el plano, P. Para ello prolongar J-K hasta cortar a la línea de tierra y a la traza horizontal del plano, p. Donde corta a la línea de tierra se sube hasta la traza vertical del plano, p’ y donde cortó a la traza horizontal se lleva a la línea de tierra. Unir ambos puntos (el de la traza vertical con el de la línea de tierra) y donde corte a las aristas que forman esa cara, puntos 1′ y 2′, son los puntos buscados. Llévalos hasta la proyección horizontal, 1 y 2
3 – Ahora viene la cara L’-M’ (plano horizontal), se determina su intersección con el plano P. Por ser un plano horizontal su intersección es una recta horizontal, que en proyección vertical coincide con la línea L’-M’, y en la proyección horizontal es una paralela a la traza horizontal del plano, p, partiendo del punto 2, hasta la siguiente cara, 2-3.
4 – La cara N-Ñ es paralela a la cara J-K por lo que su sección es paralela a 1-2. Así que por 3′ dibujar una paralela a 1′-2′ hasta llegar al final de la cara, 3′-4′. Bajar los puntos a J-K. En este caso también se podía haber unido el punto B con el punto 3 por estar ambos en la misma cara.
5 – Como las restantes caras son paralelas a las ya halladas basta con ir haciendo paralelas por los extremos de cada línea. 4-5 paralela a 2-3, 5-6 paralela a 1-2, 6-7 paralela a 2-3 (en realidad es continuación de 2-3), 7-8 paralela a 1-2, 8-9 paralela a 2-3, 9-10 paralela a 1-2.

6 – El plano J-N (proyectante horizontal) tiene un punto de la intersección en 11 (donde se cortan ambas trazas), y como se conoce otro punto de la cara J-N (el punto 10) basta con unir 10 con 11
7 – La cara Q’-R’ por estar sobre el plano horizontal de proyección corta al plano donde la traza horizontal del plano, p, la toque, puntos 11 y 12
8 – Las últimas dos caras por paralelismo. 12-13 paralela a 1-2 (prolongación de 3-4). 13-1 paralela a 2-3 (prolongación de 8-9)
9 – Para hallar la verdadera magnitud de la sección, abatirla respecto del plano P

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 002

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Determinar la intersección del prisma con el plano definido por los puntos ABC. Hallar la verdadera magnitud de la sección producida.

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SOLUCIÓN

1 – Haces un plano proyectante horizontal que pase por las aristas (el verde claro)

2 – Hallas la intersección de ese plano con el ABC, y donde corte a las aristas por las que pasa son dos puntos de la sección, puntos 1 y 2
3 – Repites con las demás aristas (el plano en amarillo), y te da el punto 3
4 – En la proyección vertical unes los puntos (en negro) que pertenecen a una misma cara, A con 1, 1 con B y con 3, 3 con C, C con 2, 2 con A.
5 – Como 2 está fuera del cuerpo solo se marca como solución hasta donde toca a la cara superior, punto 4.
6 – Se repite el mismo proceso en la proyección horizontal, además de haber bajado el punto 4.

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 001

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Los puntos M(-20, 70, 30) y N (-20, 0, 30) son los extremos del eje de un tubo constituido por dos cilindros de revolución cuyos diámetros son 60 y 30 mm. Se da también la recta r, definida por los puntos A(-20, 25, 30) y B(-10, 45, 0), que es línea de máxima pendiente de un plano P. Se pide:
a) Representar el tubo
b) Hallar las trazas del plano P
c) Hallar las proyecciones de la sección producida por el plano P en el tubo

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SOLUCIÓN

15 – Situar el cilindro y el plano, P, conocida su recta de máxima pendiente, A-B (pulsar aquí para ver como se hace)

16 – En la proyección vertical, dividir la base del cilindro y el agujero central en un número de partes. Yo solo he dibujado la división 1′
17 – Por cada división trazar una recta de punta (generatriz)
18 – Hallar la intersección de las generatrices y el plano, P (pulsar aquí para ver como se hace). Para la división 1′, su proyección horizontal es 1
19 – Repetir con todas las generatrices incluidas la del agujero central
20 – Unir los puntos

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Dibujar en alzado, planta y perfil, el corte que produce en la pieza el plano XYZ.
Dibujar la verdadera magnitud de dicho corte (aplicar abatimiento).

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SOLUCIÓN

Se trata de realizar un cambio de plano con la nueva línea de tierra perpendicular a las horizontales del plano (línea verde).

En el cambio de plano el plano se ve proyectante, XYZ, y donde corta a las aristas de la pieza son los puntos de la sección.
Se deshace el cambio de plano llevando los puntos a sus aristas en las otras dos proyecciones.
Por último, abatir alrededor de una de las horizontales para obtener su verdadera magnitud.
Esta es la perspectiva isométrica de la sección para apreciar el corte :

 

Este ejercicio también se ha resuelto en perspectiva isométrica en el siguiente enlace pulsar aquí.

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sección-035

Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 999

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Por el punto P (-40, 20, 50) trazar una recta frontal.

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SOLUCIÓN

1 – Las rectas frontales tienen su proyección horizontal paralela a la línea de tierra, por lo que una vez situado el punto trazar una paralela a la línea de tierra y ya tienes la proyección horizontal
2 – La proyección vertical de la recta frontal es oblicua a la línea de tierra, Así que, como no dan más datos, dibuja una línea cualquiera que pase por la proyección vertical del punto y esa es la proyección vertical.

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 998

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Por el punto P (-4, 2, 5) trazar una recta vertical.

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SOLUCIÓN

1 – En una recta vertical su proyección horizontal es un punto, que coincidirá con la proyección horizontal del punto
2 – La proyección vertical de la recta vertical es perpendicular a la línea de tierra, pasando por la proyección vertical del punto

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 997

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Recta perpendicular a otras dos, R y S, que se cruzan (o mínima distancia entre dos rectas que se cruzan). Mediante cambios de plano

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SOLUCIÓN

1 – Si las dos rectas son oblicuas hacer un primer cambio de plano con la línea de tierra segunda paralela a una cualquiera de las dos rectas, por ejemplo a r. Cambiar de plano las dos rectas con la misma línea de tierra, las nuevas proyecciones obtenidas son r1′ y s1′
2 – Se hace un segundo cambio de plano con la tercera línea de tierra perpendicular a la recta a la que se hizo la segunda línea de tierra paralela, es decir a r1′, y se cambia de plano las dos rectas. Las nuevas proyecciones son r1 y s1
3 – En el último cambio de plano una se verá como un punto, en nuestro ejemplo r1, y la otra oblicua, s1
4 – En el último cambio de plano se traza una perpendicular a s1 pasando por r1 (que es un punto), y esa es la mínima distancia (o perpendicular a las dos rectas) en verdadera magnitud.
5 – El punto donde esa perpendicular toque a s1 (punto x1) se lleva a s1′ mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra. Con esto conseguimos x1′
6 – En el primer cambio de plano por x1′ se traza una perpendicular a r1′ y donde toque a r1′ es el otro extremo de la recta, al que llamaré y1′
7 – Hacer perpendiculares a la segunda línea de tierra por x1′ e y1′ hasta las proyecciones horizontales de las rectas, r y s. Esto da los puntos x e y que unidos forman la proyección horizontal de la recta buscada, pero en proyección, no es su verdadera magnitud
8 – Subir los puntos x e y mediante perpendiculares a la primera línea tierra hasta las proyecciones verticales de las rectas, r’ y s’, dando x’ e y’ extremos de la proyección vertical de la recta buscada
9 – Si una de las rectas iniciales fuese horizontal o frontal, solo es necesario un cambio de plano con la línea de tierra segunda perpendicular a la proyección de la recta horizontal o frontal que no es paralela a la línea de tierra. A partir de ahí lo mismo que en los apartados 4, 5 y 6

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 996

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Características de una recta paralela al primer bisector

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SOLUCIÓN

Existen tres tipos :

Recta general, R. Sus proyecciones forman el mismo ángulo respecto de la línea de tierra y hacia el mismo lado, y no se cortan en el mismo punto de la línea de tierra. En el perfil forman 45º con el plano horizontal de proyección, abierto hacia la derecha (o paralela al primer bisector)

Recta paralela a la línea de tierra, S. Sus proyecciones tendrán una distancia distinta respecto de la línea de tierra.

Recta de perfil, T. En el perfil formará 45º con el plano horizontal de proyección, abierto hacia la derecha (o paralela al primer bisector)

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