Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 995

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Segmento paralelo al segundo bisector, de longitud L, del que se conoce un vértice, A, que está en el plano horizontal de proyección y que el otro, B, está en el plano vertical de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, trazar una paralela a la línea de tierra a una distancia igual al alejamiento que hay hasta la traza horizontal de la recta (la proyección horizontal de A).

2 – Con centro en la proyección vertical, a’, y radio la longitud, L, del segmento se traza un arco.
3 – este arco cortará a la paralela a la línea de tierra en un punto b1′. Desde él bajar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a una paralela a la línea de tierra que salga de loa proyección horizontal de punto A. El punto de corte de ambos es b1.
4 – Con centro en la proyección horizontal de A y radio hasta b1 hacer un arco que corte a la línea de tierra. Esta es la proyección horizontal del otro extremo, b.
5 – Levantar una perpendicular a la línea de tierra desde b hasta la paralela a la línea de tierra que se hizo al principio, siendo esta la proyección vertical, b’

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 994

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Recta de perfil que forme 45º con el horizontal y de la que se conoce su traza horizontal.

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SOLUCIÓN

1 – Llevar la traza horizontal al perfil.
2 – Por la traza horizontal, en el perfil, dibujar una recta que forme 45º con el plano horizontal (la línea horizontal del perfil). Esta es la proyección en el perfil de la recta.

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 993

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Se conoce una recta R cualquiera y un punto P con la proyección horizontal sobre la proyección horizontal de la recta dada, se solicita determinar las proyecciones de las rectas que pasan por el punto P, cortan a la recta R y forman 45º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

En general :
a – Construir un cono con vértice en el punto P dado y que forme 45º con el plano horizontal de proyección.
b – Hallar la intersección de la recta dada R con el cono.
c – Unir los puntos de intersección con el punto dado y estas son las soluciones.
La realización práctica se puede realizar de varias formas (abatimiento, giro, cambio de plano, intersección directa, etc.). Te comento la más rápida, por intersección directa.
1 – Desde la proyección vertical del punto se traza una línea que forme 45º con la línea de tierra (contorno del cono).
2 – Donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular a la línea de tierra y por la proyección horizontal del punto una paralela a la línea de tierra. Con centro en la proyección horizontal del punto y radio hasta donde las dos líneas anteriores se corten se dibuja una circunferencia (base del cono).
3 – Los puntos donde la base del cono (circunferencia) cortan a la proyección horizontal de la recta (en realidad es al plano proyectante que contiene al punto y a la recta) se suben hasta la línea de tierra. Desde ellos se trazan sendas líneas (generatrices) que vayan hasta la proyección vertical del punto.
4 – Donde estas generatrices corten a la proyección vertical de la recta son los puntos desde los que parten las rectas buscadas. Unirlos con la proyección vertical del punto dado y se tienen las proyecciones verticales de las rectas pedidas.
5 – Llevar los dos puntos desde la proyección vertical de la recta a la proyección horizontal de la recta y unirlos con el punto dado. Bueno, esto en teoría, pues en este caso todas las proyecciones horizontales coinciden.

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Hallar las trazas de una recta de perfil sin utilizar la tercera proyección.

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SOLUCIÓN

MEDIANTE UN ABATIMIENTO

14 – Se hace un plano de perfil que contenga a la recta (plano p-p’), cuyas trazas coincidirán con las proyecciones de la recta.

15 – Se abate el plano (la traza abatida coincide con la línea de tierra).
16 – Se abaten los dos puntos, A’1 y B’1
17 – Se unen los puntos abatidos, y donde corte a la traza horizontal del plano p, es la traza horizontal de la recta, H’1
18 – Donde la recta abatida corte a la traza vertical del plano abatida, (p’), es la traza vertical de la recta, V’1
19 – Se desabaten las trazas de la recta, puntos H y V’

MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO

20 – Se hace un cambio de plano de la recta, A’1-B’1, con la segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal

21 – Donde corte a la segunda línea de tierra es la traza horizontal de la recta, H’1
22 – Se cambia de plano el plano vertical de proyección, que en este caso queda como un plano de perfil (solo hay que prolongar la primera línea de tierra)
23 – Donde corte a la recta cambiada de plano es la traza vertical de la recta, V’1
24 – La proyección horizontal de la recta se obtiene con una perpendicular a la segunda línea de tierra y la proyección vertical midiendo su cota en el cambio de plano y llevándola a la proyección vertical.

MEDIANTE UN GIRO

25 – Se gira la recta alrededor de un eje e vertical que coincide con donde la proyección horizontal de la recta toca a la línea de tierra

26 – Donde la proyección vertical de la recta girada, A’1-B’1 toque a la línea de tierra y a la proyección vertical de la recta, son las trazas de la recta girada, H’1 y V’1
27 – Se deshace el giro para conseguir las proyecciones de las trazas de la recta, H y V’

 

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rectas en diédrico – 992

Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 991

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Representar en diédrico la siguiente recta E (-4.5, 3.5, 0) F (-4.5, 2.5, 2) y señalar las trazas.

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SOLUCIÓN

1 – Determinadas las proyecciones de los dos puntos y unidas, se llevan al perfil donde también se unirán.

2 – Donde la proyección del perfil corte al plano horizontal y vertical son las trazas de la recta ( h" y v" ).
3 – Se determinan las proyecciones horizontales y verticales de ambas trazas ( h-h’ y v-v’ ).

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Dada la recta de perfil definida por los puntos A(0, 13, 65) y B(0, -40, -17), indicar sus partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

Para pasar un punto (esté en el diedro que esté) se debe saber cómo se miden los alejamientos y cotas en el perfil.
Lo recuerdo en el siguiente esquema :

Por lo tanto, si el alejamiento es negativo lo llevas hacia la izquierda y si la cota es negativa hacia abajo, mediante dos rectas paralelas a las del perfil obtienes el punto.
Primero lleva los dos puntos al perfil.
Allí únelos.
Determina sus trazas en el perfil, v» y h».
Dibuja sus proyecciones, h-h’ y v-v’.
Determina su visibilidad.
Este es el resultado :

Esta recta (la de perfil) siempre da problemas, por lo que comento un poco lo de la visibilidad.
Supón que solo tienes la proyección vertical de la recta (como en el siguiente dibujo) tú estás mirando a la recta desde el primer diedro (como en la figura siguiente), entonces fíjate que solo verías la parte que hay entre la traza V y el infinito. Esto supone que de la proyección vertical solo marcarás como visto la parte que hay desde v’ hacia el infinito (pero no la parte que pasa por h, sino la que está hacia arriba).

Ahora supón que solo tuvieses la proyección horizontal (el dibujo de abajo). Tú para proyectarla te sitúas por encima mirando hacia abajo. Entonces solo verás la parte que hay desde la traza V hacia la derecha, es decir, la parte que tiene alejamiento positivo. Esto supone que de la proyección horizontal solo se verá la parte que hay desde la traza v (cuidado la proyección horizontal de v, no v’) hacia abajo (alejamientos positivos).

Pero ahora junta las dos proyecciones (que en este tipo de recta son coincidentes). Esto da como resultado lo que te mostré antes.

 

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rectas en diédrico – 990

Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 989

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El vértice del plano alfa tiene referencia -7 y el del plano beta tiene referencia 7. Ambos comparten el punto M (0, 6, 2).
El plano alfa contiene a A (4.5, 1, -4) y el plano beta contiene a B (4.5, 2, 4).
Hallar la recta S, intersección de ambos planos.
Encontrar K y L, cortes de S con el primer y segundo bisector.
¿ En qué diedros están K y L ?.

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SOLUCIÓN

Para hallar los planos :
1 – Localiza el vértice del plano y los puntos por los que pasa.
2 – Une los dos puntos formando una recta.
3 – Donde sus proyecciones corten a la línea de tierra se bajan perpendiculares a esta para determinar las trazas de las rectas.
4 – Unir las trazas con el vértice y se obtienen las trazas del plano.
Conseguidas las trazas del plano pasamos a la intersección de los planos :
5 – Prolongar las trazas hasta que se corten entre sí.
6 – Llevar esas proyecciones a la línea de tierra.
7 – Uniendo las proyecciones de los puntos da la recta intersección.

Para la intersección de la recta S con el primer bisector :
8 – Dibuja la simétrica de una de las proyecciones de la recta respecto de la línea de tierra.
9 – Donde corte a la otra proyección es la intersección con el primer bisector.
10 – Llévala a la otra proyección de la recta

Para la intersección de la recta S con el segundo bisector :
11 – Prolonga las dos proyecciones de la recta hasta que se corten entre sí.
12 – El punto de corte es la intersección con el segundo bisector.

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 988

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Representar en diédrico las siguientes rectas : E (-4.5, 3.5, 0) F (-4.5, 2.5, 2).
Señalar la intersección con el primer bisector.

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SOLUCIÓN

4 – En el perfil se dibuja el primer bisector (los 45º).

5 – Donde corte a la proyección del perfil, punto x", es la intersección con el primer bisector, hallar su proyección horizontal y vertical.

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 987

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Representar en diédrico las siguientes rectas : E (-4.5, 3.5, 0) F (-4.5, 2.5, 2).
Señalar la intersección con el segundo bisector.

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SOLUCIÓN

6 – En el perfil se dibuja el segundo bisector (los 45º).

7 – Donde corte a la proyección del perfil, punto y", es la intersección con el segundo bisector, hallar su proyección horizontal y vertical que coincidirán.

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Ejercicios resueltos de rectas en diédrico – 986

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Dibujar la trayectoria seguida por una gota de agua que cae sobre los planos P y Q, hasta llegar al plano horizontal.
Dibujar el perfil.

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SOLUCIÓN

1º.- Hallar la intersección de una recta vertical que pase por el punto A con el plano oblicuo y por ese punto de intersección trazaría la recta de máxima pendiente del plano.
2º.- Determinaría la intersección de los planos P (oblicuo) y Q (paralelo a LT).
3º.- Hallaría el punto de intersección de la línea de máxima pendiente del plano P (oblicuo) con la recta intersección de los planos P y Q.
Por último
4º.- Trazaría la línea de máxima pendiente del plano Q (paralelo a L.T) y que pase por el punto de intersección determinado en el paso 4º.
Después quedaría hallar la tercera proyección de todo eso.

a cada proceso he procurado darle un color distinto :
ROJO, datos iniciales
MAGENTA, determinación de la intersección de la recta vertical con P (punto 1)
VERDE, recta de máxima pendiente del plano P
NARANJA, intersección de los dos planos
NEGRO, entre 2 y 3 es la recta de máxima pendiente del plano Q, el resto es la trayectoria pedida

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