Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 102

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Circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia y a cuatro radios no regulares

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SOLUCIÓN

1 – Halla la bisectriz del ángulo formado por dos radios (línea azul)

2 – Por donde la bisectriz toca a la circunferencia, T, se traza una tangente a la circunferencia (perpendicular a la bisectriz por T)
3 – Prolonga uno de los radios hasta cortar a la tangente anterior
4 – Halla la bisectriz (línea verde) del ángulo que forma el radio y la tangente
5 – Donde esta última corte a la primera bisectriz es el centro, I, de la circunferencia buscada. Su radio es I-T
6 – Repite el mismo proceso con los otros.
Hay otros procedimientos, como por ejemplo utilizando potencia, pero este es el más básico y versátil

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Hacer nueve circunferencias iguales tangentes entre sí y a una circunferencia exterior

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SOLUCIÓN

a – Dividir la circunferencia (centro O y radio hasta A) en nueve partes iguales

b – Hallar la bisectriz, OC, de uno de los nueve ángulos, AOB, que se han formado
c – Por A dibujar una tangente a la circunferencia, AC
d – Donde corte a la bisectriz es el punto C
e – Hallar la bisectriz del ángulo formado por AC y OC (línea magenta)
f – Donde corte a OA es el primer centro, 1.
g – Con centro O y radio hasta 1, hacer una circunferencia
h – Donde ésta corte a los radios que pasan por las nueve divisiones son los centros de las otras circunferencias. El radio es de 1 hasta A.

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Dadas la circunferencia X, la Y y la recta R, buscar otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia Y, si la recta R es el eje radical de la circunferencia X dada y de la solución

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SOLUCIÓN

1 – Halla el eje radical de las circunferencias dadas, X e Y.
2 – Donde corte al eje radical dado, R, es el centro radical.
3 – Traza la recta tangente a la circunferencia Y desde el centro radical. Lo que nos interesa es el punto de tangencia.
4 – Une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia Y, y ahí estará el centro de la buscada Z.
5 – El lugar exacto es donde esta última recta corte a la perpendicular al eje radical R que pasa por el centro de la circunferencia X.
6 – El radio es desde el centro hallado hasta el punto de tangencia sobre la circunferencia Y.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 98

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, que tengan sus centros sobre la recta R

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SOLUCIÓN

1 – Hacer el simétrico de una de las circunferencias respecto de la recta dada, R

2 – El problema queda reducido a determinar las circunferencias tangentes a tres circunferencias, las dos dadas más la simétrica.
3 – Para hallar las circunferencias tangentes a las tres anteriores se resta el radio de la menor a las otras tres y queda a su vez reducido a otro caso. Ahora bien, dependiendo de que hagamos el simétrico de la mayor o menor de las dadas se nos quedará uno u otro caso.
Si se hace la simétrica de la mayor (centro A), quedará reducido a dos circunferencias grandes (la de centro A y su simétrica) y una pequeña (la de centro B). Al restarle el radio de la de B quedará reducido a dos circunferencias (la de centro A y su simétrica a la que se les ha restado el radio de la de B) y a un punto (el centro B)
Si se hace la simétrica de la menor (centro B), quedará reducido a dos circunferencias pequeñas (la de centro B y su simétrica) y una grande (la de centro A). Al restarle el radio de la de B quedará reducido a dos puntos (los centros B y su simétrico C) y a una circunferencia (la de centro A a la que se la ha restado el radio B).
4 – Explico este último caso a continuación y más abajo continuo este problema

Circunferencias tangentes a una circunferencia (centro A) y que pasan por dos puntos B y C

5 – Hallar la mediatriz de los dos puntos, B y C (recta R)

6 – Hacer una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz, R, que pase por los puntos, B y C, y corte a la circunferencia
7 – Unir los puntos de corte, 1 y 2, de las dos circunferencias
8 – Prolongar hasta cortar a la recta que une los puntos B y C (punto C.R)
9 – Desde el C.R hacer las tangentes a la circunferencia dada, puntos de tangencia T1 y T2
10 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a R son los centros C1 y C2 buscados
11- Con centro en C1 y C2 y radios hasta T1 y T2 se obtienen las circunferencias buscadas

Continuación de circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, que tengan sus centros sobre la recta R

12 – Una vez obtenidos los centros de las nuevas circunferencias, C1 y C2, unirlos con los centros de las dadas, A o B, y donde corten a las circunferencias dadas son los puntos de tangencia, T4 y T5

13 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta T4 y T5 se dibujan las circunferencias buscadas
14 – Existen otras dos posibles soluciones y sumando el valor del radio de la circunferencia B en vez de restarlo, con lo que quedaría reducido a trazar las circunferencias tangentes a la de centro A y radio la suma de la de A más la de B, y a dos puntos, los centros B y C (este caso ya no lo he dibujado). El resto se operaría igual que antes.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 97

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Circunferencias tangentes a tres circunferencias de igual radio.

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SOLUCIÓN

1 – Se unen los centros de las tres circunferencias, O1-O2-O3

2 – Se hallan las mediatrices de los lados del triángulo formado (con dos es suficiente)
3 – Donde se corten las mediatrices es el centro, C, de las circunferencias buscadas
4 – Unir el centro hallado, C, con los centros de las circunferencias dadas, O1, O2 y O3, y donde corten a las circunferencias dadas son los puntos de tangencia, t1 y t2 para la circunferencia de centro O1
5 – Con centro en C y radio hasta los puntos de tangencia, t1 y t2, se obtienen las dos posibles soluciones

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 96

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Circunferencia tangente a dos circunferencias (de centro 1′ y 2′), iguales y a una recta, AC, tangente a una de ellas

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SOLUCIÓN

8 – Hacer una paralela, A"C", a AC separada una distancia igual a la del radio de las circunferencia

9 – Unir los dos centros, 1′ y 2′, y prolongarlos hasta A"C" (punto y)
10 – hallar la mediatriz entre los dos centros 1′-2′, y con centro en un punto cualquiera de ella, x, hacer una circunferencia que pase por 1′ y 2′
11 – Desde Y trazar la tangente a la circunferencia anterior (punto de tangencia z)
12 – Con centro en Y y radio hasta Z hacer un arco que corte a A"C" (punto W)
13 – Desde W levantar una perpendicular a A"C" hasta la mediatriz de 1’2′, y este será el centro, 3′ de la circunferencia buscada

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta, siendo las dos circunferencias dadas y la recta tangentes entre sí – Caso CCR

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SOLUCIÓN

Los datos iniciales son las circunferencias de radio R1 y R2 (azul) de centros O1 y O2, tangentes a la recta r (azul).
1 – Con centro O1 y radio R2 – R1 haz una circunferencia (roja).

2 – Traza una paralela a r a una distancia R2, (la roja r’ ).
3 – Por O1 dibuja una perpendicular a r’ (negra).
4 – Dibuja una circunferencia que pase por C-B-O2 (verde).
5 – Unir O2 con A y donde corte a la circunferencia anterior es O2′.
6 – Traza la mediatriz de O2-O2′.
7 – Con centro en cualquier punto de la mediatriz anterior y radio hasta O2 traza una circunferencia (naranja).
8 – Prolonga O2-O2′ hasta cortar a r’ (punto D).
9 – Traza desde D la tangente a la última circunferencia.
10 – Con centro en D y radio hasta el punto de tangencia E dibuja un arco que cortará a r’ en T1′ y T2′ (este último fuera de mi dibujo).
11 – Por T1′ y T2′ levanta perpendiculares a r’ hasta cortar a la mediatriz de O2-O2′, esos puntos de corte son los centros buscados C1 y C2 (el segundo fuera de mi dibujo).

 

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enlaces y tangencias – 95

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 94

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Circunferencia tangente a dos rectas, R y S, y que pasen por un punto, P, que está sobre una de ellas.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas

2 – Levantar una perpendicular a la recta que contiene al punto, P, por dicho punto
3 – Donde se corten la bisectriz con la perpendicular es el centro de la circunferencia buscada, C
4 – Trazar la circunferencia de centro C y radio hasta P

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 93

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Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto – Caso RRP / Mediante inversión
¿ Cómo resolver una tangencia en la que las dos rectas no se cortan sino que se salen del papel ?

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SOLUCIÓN

– Usaremos el punto P como centro de inversión.
– Invertiremos esa recta que se transformará en una circunferencia que pasa por P, con su centro en la mediatríz de la perpendicular a la recta.
– Con la potencia K invertiremos la otra recta, hallando otra circunferencia.
– Hallaremos las tangentes entre ambas circunferencias, las cuales uniéndolas con el centro de inversion P cortarán a las rectas en sus respectivos puntos de tangencia.
– Con los puntos de tangencia y el punto P hallaremos fácilmente los centros de las soluciones.

Existe otra forma de hacerlo mediante reducción a otro caso.
Si hallas el simétrico del punto respecto de la bisectriz que forman las dos rectas queda reducido a hallar las circunferencias tangentes a dos puntos (el dado más el simétrico) y a una de las dos rectas (da igual la R o la S).

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