Mes: octubre 2014

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Trazar la circunferencia tangente a las dos rectas dadas y que pase por el punto P:

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

Se puede resolver de varias formas dependiendo del método que se quiera emplear. Una de las formas sería esta :
a) Hallar la bisectriz de las dos rectas. Ahí están los centros buscados.

b) Hallar el simétrico del punto dado (P), respecto a la bisectriz, dando P’.
c) Unir los dos puntos P y P’, donde corte a la recta da el punto A.
d) Hacer una circunferencia con centro cualquiera en la bisectriz y que pase por P y P’.
e) Hacer la tangente por A a la circunferencia; esto da el punto de tangencia B.
f) Con centro en A y radio hasta B, hacer un arco que corte a la recta en T1 y T2. Estos puntos son los puntos de tangencia de la solución.
g) Hacer perpendiculares a la recta dada por T1 y T2, hasta que corte a la bisectriz, esos son los centros buscados.

 

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Dibujen una circunferencia que pase por el punto P y sea tangente a las rectas R y S

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas.
2 – Una de las rectas dadas es un eje radical. Otro eje radical es la recta perpendicular a la que bisectriz pasando por el punto dado.
3 – El centro radical está donde se corten los dos ejes radicales.
4 – Se dibuja una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el punto dado.
5 – Se determina la tangente desde el centro radical a la circunferencia auxiliar.
6 – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto de tangencia de la circunferencia auxiliar, se traza un arco.
7 – Donde ese arco corte a la recta dada son los puntos de tangencia de la circunferencia buscada.
8 – Levantando perpendiculares a la recta dada por los puntos de tangencia se obtienen los centros buscados sobre la bisectriz.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 90

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Circunferencia tangente a una recta, S, conocido el punto de tangencia en ella, T, y otro punto, P, por el que pasa

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SOLUCIÓN

1 – Por T una perpendicular a S

2 – Unir T con P y halar su mediatriz

3 – Donde la mediatriz corte a la perpendicular es el centro O

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 89

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Circunferencias tangentes a una recta R y que pasen por dos puntos P y P" (mediante potencia)

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SOLUCIÓN

10 – Unir los dos puntos, P y P"

11 – Hallar la mediatriz de P-P"
12 – Con centro en cualquier punto de la mediatriz, X, se dibuja una circunferencia que pase por P y P"
13 – Prolongar P-P" hasta cortar a la recta R (punto Y)
14 – Hallar la tangente, Z, a la circunferencia auxiliar de centro X, desde el punto Y
15 – Con centro en Y y radio hasta el punto de tangencia Z se traza un arco que cortará a la recta en dos puntos T y otro que queda a la derecha de Y, fuera de la imagen
16 – Desde T se levanta una perpendicular a la recta R hasta tocar a la mediatriz de P-P", este es el centro C1 de la circunferencia buscada. Desde el otro punto, fuera de la imagen, se repetiría y se conseguirá un segundo centro
17 – Con centro en C1 y radio hasta T hacer la circunferencia buscada

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 88

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Circunferencias tangentes a una recta, R, y que pasan por dos puntos, P y Q

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SOLUCIÓN

1 – Considera uno de los puntos como centro de inversión, por ejemplo P

2 – El otro, Q, es un punto doble
3 – Con centro en P y radio hasta Q se dibuja la circunferencia de puntos dobles
4 – Se halla la inversa de la recta dada, que será una circunferencia, R’
5 – Se dibuja la tangente desde Q con respecto a R’ (puntos de tangencia T1′ y T2′)
6 – Se unen T1′ y T2′ con P y donde corten a R son los puntos de tangencia, T! Y T2, de las circunferencias buscadas
7 – Haces una perpendicular a la recta dada por ese punto de tangencia y donde corte a la mediatriz de P-Q es el centro de la circunferencia buscada, C1 y C2

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Dadas dos circunferencias de 60 mm de radio, cuyos centros, O1 y O2, se encuentran sobre una misma vertical y separados 80 mm, trazar otra circunferencia tangente a ambas y que pase por el punto medio, t, del segmento que une dichos centros

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Por el punto de tangencia, t, se hace una perpendicular a la unión de los centros, O1-O2

2 – En un punto cualquiera de esa recta, X, se toma como centro de una circunferencia de radio arbitrario (en color magenta)
3 – Se unen los puntos de corte, 1 y 2, de la circunferencia auxiliar con una de las dadas
4 – Donde esta recta, 1-2, corte a la unión de los centros, O1-O2, es el centro radical, CR
5 – Con centro en CR y radio hasta el punto de tangencia dado, t, se traza un arco
6 – Donde este arco a la circunferencia dada, punto t1, es el punto de tangencia de la circunferencia buscada
7 – Unir t1 con el centro de la circunferencia en la que esta, O2, y donde corte a la perpendicular que salía de t es el centro de la circunferencia buscada, C
8 – Con centro en C y radio C-t se traza la circunferencia buscada
Por supuesto, hay una segunda solución simétrica (hacia la izquierda)

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 86

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Dibujar las circunferencias tangentes a dos circunferencias (de centros A y B), una interior a la otra, y que pasen por un punto, P, que está sobre la circunferencia interior

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Unir el centro B con P y trazar una perpendicular a B-P por P (nombrada E.R.1)

2 – Con centro en cualquier punto de BP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro A
3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R)
4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro A en los puntos T1 y T2
5 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a BP son los centros C1 y C2 de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta P trazar las circunferencias solución

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Hallar las circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, y que pasen por el punto P contenido en una de ellas

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Unir el centro A con P y trazar una perpendicular a A-P por P (nombrada E.R.1).

2 – Con centro en cualquier punto de AP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro B.

3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R).

4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro B en los puntos T1 y T2.

5 – Unir T1 con B y donde corte a AP es el centro C1 de la circunferencia buscada.

6 – Con centro en C1 y radio hasta P trazar la circunferencia solución.

7 – Unir T2 con B y donde corte a AP es el segundo centro C2 (no dibujado).

Con centro en C2 y radio hasta P trazar la segunda solución (no dibujada).

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.

2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.

3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.

4 – Unir D con el punto P dado.

5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.

6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.

7 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.

8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencia, en lados distintos.

9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.

10 – Unir E con el punto P dado.

11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias.

12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».

13 – Caso reducido a una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».

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enlaces y tangencias – 84

Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 83

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Circunferencia tangente a dos circunferencias dadas y que pasa por un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Para resolver el problema se parte de una propiedad que tiene las circunferencias que son inversas, y es que dos circunferencias inversas son a la vez homotéticas coincidiendo el centro de inversión con el de homotecia.
Por eso consideramos en un principio que las dos circunferencias van a ser inversas y una manera muy rápida de hallar su centro de inversión es determinar el centro de homotecia, ya que ambos son el mismo.
Hasta ahí la utilidad que se le da en este problema a la homotecia, pero el resto ya no la emplea.
2 – Como las dos circunferencias son inversas, cualquier recta que parta del centro de inversión, H, las cortará en dos puntos que son inversos (siempre en lados contrario, si uno está en la derecha de la circunferencia el otro en el de la izquierda, etc.). No es del todo necesario que sea la recta que pasa por los centros y da los puntos A y B, podría ser cualquier otra, pero imagino que siempre se ha tomado esta por comodidad.
3 – Con todo esto tenemos tres puntos de la inversión, el punto P por el que pasará la circunferencia buscada, y los puntos A y B que son uno inverso del otro. O que se hace a continuación es hallar el inverso de P. Esto se podría hacer con la circunferencia de autoinversión, pero bueno, siguiendo la tradición se hace con una circunferencia doble. Es decir, se busca una circunferencia que pase por A y B (puntos inversos) y P. Como esta circunferencia contiene a un par de puntos inversos (A y B) se considera que es doble, por lo tanto el inverso de P debe estar sobre ella. Uniendo el centro de inversión, H, con el punto P obtenemos en la circunferencia doble (auxiliar) su inverso, P’.
4 – Hasta aquí lo que hemos logrado es averiguar un punto de la inversa de la circunferencia que buscamos, el punto P’. Ahora nos podemos preguntar ¿ cual es la inversa de la circunferencia buscada ?. Como la circunferencia que buscamos no pasa por el centro de inversión, su inversa será otra circunferencia, que pasará por P’. Además, recordando otra propiedad de la inversión, si dos elementos son tangentes sus inversos también lo son. Según esto la circunferencia buscada es tangente a la circunferencia O’, por lo que su inversa será tangente a la inversa de la circunferencia O’. Esta no es otra que O», luego la inversa de la que buscamos es tangente a O» y pasa por P’. Eso es suponiendo que O’ era la circunferencia inicial y O» su inversa, pero si lo consideramos al revés nos encontramos con que como la circunferencia buscada también es tangente a O» su inversa será tangente a la inversa de O» es decir a O’ y pasará por el punto P, inverso de P’.
Con este pequeño lio, llegamos a la conclusión de que la circunferencia buscada y su inversa son la misma (es doble) por lo que debe ser tangente a las dos circunferencias O’ y O» y pasar por los puntos P y P’, por ello el problema se puede considerar reducido a determinar las circunferencias tangentes a una de las dos (O’ u O») y que pasan por los puntos P y P’.

 

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