Mes: octubre 2014

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Resolver el caso de circunferencias tangentes a otras dos circunferencias (una dentro de la otra) y a un punto (el punto dentro de una de las circunferencias).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.

2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.

3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.

4 – Unir D con el punto P dado.

5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.

6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.

7 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.

8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencias, en lados distintos.

9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.

10 – Unir E con el punto P dado.

11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias.

12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».

13 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».

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enlaces y tangencias – 82

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Realizar la siguiente figura indicando los enlaces y puntos de tangencia :

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Dibuja una línea vertical y sitúa los centros de las circunferencias de diámetro 50 y radio 8, separados 62 mm.

2 – Hacer una línea a 90º respecto del eje vertical anterior por el centro de la circunferencia de radio 8 mm.

3 – Divide ese ángulo recto en tres partes iguales. Lógicamente se forman tres ángulos de 30º.

4 – Divide el ángulo de 30º más próximo al eje vertical en dos partes iguales. Cada una de esos nuevos ángulos medirá 15º.

5 – Divide el ángulo de 15º en dos. Estos ángulos medirán 15º/2 = 7º 30′.  Con esta última división ya has obtenido la dirección de la recta que forma la parte inferior.

6 – Por el centro de la circunferencia de radio 8 mm, se dibuja una perpendicular al último ángulo (el de 7º 90′).

7 – Dibuja la circunferencia de 8 mm.

8 – Donde esa circunferencia corte a la perpendicular del ángulo de 7º 30′ son los puntos de tangencia buscados.

9 – Haz una paralela a la recta de 7º 30′ por esos puntos de tangencia y la tienes colocada en su posición correcta.

10 – Para el arco que no tiene radio y pasa por T (caso consistente en hallar las circunferencias tangentes a una circunferencia, a una recta y que pase por un punto), hacer una perpendicular a AB por el punto A.

11 – Prolongar la tangente D hasta cortar a la anterior (punto C).

12 – Con centro en C y radio hasta A se traza un arco (relleno de azul).

13 – Por donde corte a la tangente D se hace una perpendicular hasta cortar a AB.

14 – El punto de corte es el centro buscado E, de radio hasta A.

 

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El punto de tangencia T (sobre la recta r); el radio de la circunferencia de centro O = 15 mm; distancia de O a r = 25 mm; distancia OT = 35 mm.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

1 – Hacer una perpendicular a la recta R por el punto T.

2 – Se hace una circunferencia de centro sobre la perpendicular anterior, radio hasta el punto T y que corte a la circunferencia dada.

3 – Se unen los puntos de corte de ambas circunferencias (eje radical) y donde corte a R es el centro radical.

4 – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto T, se hace un arco, siendo los puntos de corte con la circunferencia dada los puntos de tangencia buscado, T1 y T2.

5 – Basta unirlos con el centro de la circunferencia dada para determinar los centros buscados.

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Circunferencias tangentes a una circunferencia, a una recta que corta a esa circunferencia y a un punto (el punto dentro de la circunferencia).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia; donde corte a la circunferencia son los puntos A y B, a la recta la corta en D.
Importante : Considerar el punto B el que está en el mismo lado que el punto P respecto de la recta y el punto A el que está en el lado contrario.

2 – Trazar una circunferencia que pase por B, D y el punto dado P.

3 – Unir P con A, donde corta a la circunferencia anterior es P’.

4 – El problema queda reducido reducido a : Dos puntos, P y P’, y a la recta dada.

Nota : En un caso genérico existiría otra solución que se obtiene si se traza una circunferencia que pase por A, D y P, se une P con B y donde corta a la circunferencia anterior es P». Quedando el problema reducido a : Dos puntos, P y P», y a la recta dada. Sin embargo, en este caso no es posible porque los dos puntos P y P» quedan a lados distintos de la recta y es imposible hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

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enlaces y tangencias – 79

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Si se conoce: el punto de tangencia T (sobre la circunferencia de centro O) a 35 mm de la recta r; radio de la circunferencia de centro O = 15 mm; distancia de O a s = 30 mm.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

a – Hacer una tangente a la circunferencia dada desde el punto T.

b – Esta tangente junto con la recta R, se prolongan hasta cortarse (centro radical).

c – Con centro en el centro radical y radio hasta el punto T se hace un arco. Donde corte a la recta R es el punto de tangencia T1.

d – Si se hace una perpendicular a la recta R por ese punto de tangencia, en esa recta estará el centro buscado. El cual se determinara donde corte a la unión del centro de la circunferencia dada con el punto T.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 77

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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia y a la recta dada en el punto T.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

Cuando obtienes el punto de tangencia desde el centro radical, tomas a éste como centro y con radio hasta el punto de tangencia, T1, trazas un arco que corta a la circunferencia dada en T2, el segundo punto de tangencia.

Al unir esos dos puntos de tangencia, T1 y T2, da los centros de las dos circunferencias, O1 y O2.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 76

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Circunferencias tangentes a dos rectas, R y S, y a una circunferencia (centro C)

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SOLUCIÓN

1 – Hacer paralelas, R’ y S’, a las rectas dadas, R y S, hacia dentro del ángulo una distancia igual a la del radio de la circunferencia, r.

2 – El problema ha quedado reducido a otro : hallar las circunferencias tangentes a dos rectas ( R’ y S’ ) y que pasen por un punto P (centro C de la circunferencia).
3 – Se halla la bisectriz del ángulo entre R’ y S’.
4 – Se dibuja el simétrico, P’, del punto P.
5 – El problema ha vuelto a quedar reducido a otro : hallar las circunferencias tangentes a dos puntos P y P’ y a una recta (R’ o S’).
7 – Existe una segunda solución. hacer sendas paralelas, R" y S", a las rectas dadas, R y S, hacia afuera, separadas una distancia igual al radio, r.

8 – El problema ha quedado reducido a otro : hallar las circunferencias tangentes a dos rectas ( R" y S" ) y que pasen por un punto P (centro C de la circunferencia).
9 – Se halla la bisectriz del ángulo entre R" y S".
10 – Se dibuja el simétrico, P", del punto P.
11 – El problema ha vuelto a quedar reducido a otro : hallar las circunferencias tangentes a dos puntos P y P" y a una recta (R" o S").

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 75

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Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo y explicar el trazado de las tres circunferencias que son tangentes a la circunferencia anterior y a dos lados del triángulo.

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SOLUCIÓN

Puedes ver cómo resolver tangencias mediante potencia explicado en un vídeo pulsando aquí.

Una vez localizada la circunferencia inscrita (de centro O) hacer lo siguiente :
1 – Hallas la bisectriz del ángulo formado por los lados del triángulo ( en mi imagen la del ángulo A)

2 – En la bisectriz estará el centro de la buscada, pero también está el centro de la inscrita (por su propia construcción), y donde corte a la inscrita es el punto de tangencia, T1, de la buscada. Recuerda que los puntos de tangencia están en la unión de los centros.
3 – Cualquiera de los lados a los que es tangente la circunferencia (AB por ejemplo) es un eje radical entre la buscada y cualquier otra circunferencia tangente a ese lado
4 – Si por el punto de tangencia, T1, haces una perpendicular a la bisectriz del ángulo, obtienes un segundo eje radical
5 – Donde ambos se corten es el centro radical, M.
6 – Con centro en M y radio hasta el punto de tangencia, T1 haces un arco.
7 – Donde este corte al lado AB es otro punto de tangencia, T2.
8 – Por T2 levanta una perpendicular a AB y donde corte a la bisectriz es el centro, X, de la circunferencia buscada.
9 – Repetir lo mismo con los otros ángulos.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 74

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La circunferencia (C2) es la buscada, la (C1) a la que debe ser tangente, y p y (p’) las trazas en el abatimiento a las que debe ser tangente :

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SOLUCIÓN

1 – Se halla la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas.

2 – Donde corta a (C1) es el punto de tangencia (T2).
3 – Por (T2) se hace una perpendicular a la bisectriz, donde corte a la recta es (X).
4 – Con centro en (X) y radio hasta (T2) se hace un arco hasta cortar a la recta, punto (T3).
5 – Por (T3) se hace una perpendicular a la recta hasta cortar a la bisectriz en (C2), centro de la circunferencia buscada.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 73

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Circunferencias tangentes a una circunferencia (centro C), conociendo su punto de tangencia, T, y que pasa por un punto exterior, P

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SOLUCIÓN

15 – Unir C con T.

16 – Unir T con P y hallar su mediatriz.

17 – Donde se corte la mediatriz con C-T es el centro buscado O.

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