Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos en el sistema acotado – 996

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Dado el cono de revolución de vértice V (2, 5, 3) semiángulo cónico 30º y eje paralelo a la bisectriz de X+ O Y+, determinar la traza de la mencionada superficie con el plano de comparación XOY. Definir la naturaleza de la cónica, la excentricidad y elementos que la configuran. Dibujar la cónica.

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SOLUCIÓN

La curva es una parábola.
1 – Sitúa el vértice del cono V(2, 5, 3)
2 – Por el vértice hacer una paralela a la bisectriz de los ejes XY (45º respecto de X o Y). Este es el eje del cono
3 – A partir del cono y hacia ambos lados del eje dibujar dos rectas que formen 30º. Estas son las generatrices del contorno del cono
4 – Hacer una paralela al eje (la llamaré L.T) y levantar un perfil respecto de ella, es decir, por el vértice del cono una perpendicular y medir la cota del vértice, 3. El eje parte de él y paralelo al eje. Levantar hacia ambos lados 30º (también se puede realizar todo esto sobre la proyección horizontal)
5 – Prologar los contornos del perfil del cono hasta cortar a L.T (plano horizontal)
6 – Dibujar una circunferencia (esfera), en el perfil, que sea tangente a L.T y los contornos del cono. Para ello hacer las bisectrices de los ángulos que forman esas rectas y donde se corten es el centro.
7 – El punto de tangencia con L.T es el foco en el perfil, F’. El punto donde L.T corta a la generatriz del contorno del cono, en el perfil, es el vértice de la parábola, W’. Unir los puntos de tangencia de la circunferencia (esfera) con los contornos del cono. Al prolongar esta línea donde corte a L.T (un punto) es la recta directriz (vista vertical) d’
8 – Llevar todos los elementos desde el perfil a la proyección horizontal. Para ello, por F’ una perpendicular a L.T hasta tocar al eje y ese es el foco, F. Por el vértice W’ otra perpendicular a L.T hasta el eje y ese es el vértice W. Por la recta directriz, d’, prolongar una perpendicular a L.T y esa es la recta directriz, d.
9 – Conocidos el eje, el foco F, el vértice W y la recta directriz d trazar la parábola por puntos.

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Ejercicios resueltos en el sistema acotado – 995

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El punto O (120, 150, 40) es el centro de una esfera de 40 mm de radio. Dicha esfera es seccionada por el plano P cuya traza pasa por A (120, 150, 0) y es paralela al lado más largo del papel formando 45º con el plano de proyección y ascendiendo de derecha a izquierda.
Por el punto B (120, 150, 80) se hace pasar otro plano Q de traza paralela a la de P que forma 22,5º con el plano de proyección ascendiendo también de derecha a izquierda.
Se pide hallar la proyección del cono secante a la esfera que corta a esta según las secciones producidas por P y Q y dibujar las proyecciones de esta y la traza del cono.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el centro O y dibujar la esfera (en negro rellena de gris).

2 – Colocar el punto A y dibujar la traza del plano P, una vertical que pasa por A (en negro).
3 – Colocar el punto B, que coincide en proyección con O y A, aunque a distinta cota.
4 – Dibujar una línea, Z, perpendicular a la traza P que nos servirá para levantar un perfil (alzado).
5 – Llevar los punto O, A y B al perfil, O’, A’ y B’. Con centro en O’ y el radio de la esfera se dibuja esta. Por el punto A’ y a 45º se traza el plano p’, y por B’ y a 22,5º se levanta el plano q’.
6 – Donde corte a la esfera, A’-1′ y B’-2, son las secciones (circunferencias) de los planos P y Q sobre la esfera.
7 – Sobre una perpendicular a la traza P se llevan las proyecciones de 1 y 2 (de A y B ya se tiene). Estas nos dan los ejes menores, A-1 y B-2, de las elipses en las que quedan proyectadas las circunferencias.
8 – Por el punto medio, C y D, de los ejes menores, A-1 y B-2, y perpendicular a ellos se llevan los ejes mayores que son iguales a las medidas de A’-1′ y B’-2′ tomadas del perfil.
9 – Conocidos los ejes de las elipses dibujarlas (en azul y magenta).
10 – En el perfil se unen los puntos 1′ con B’ y A’ con 2′. Estas dos líneas son el contorno del cono en el perfil. Donde se cortan, V’, es su vértice.

11 – Llevar el perfil del vértice, V’, a la línea 1-2 obteniendo su proyección, V.
12 – Desde V se dibujan las tangentes a las elipses (en verde). Estos son los contornos aparentes del cono, y sus puntos de tangencia T1 y T2.
13 – En el perfil prolongar el cono hasta cortar a Z (punto A’ y 3′). Esta es la medida del eje mayor de la elipse intersección (traza) del cono con el plano horizontal.
14 – Llevar los puntos A’ y 3′ hasta la línea V-1 para conseguir sus proyecciones 3 y A (que ya teníamos).
15 – Su punto medio, E, es el centro de la elipse. Con centro en E y radio E-A se dibuja una circunferencia (afín de la elipse), en naranja.
16 – Desde V se traza la tangente a la circunferencia. Su punto de tangencia es T3".
17 – Desde T3" bajar una perpendicular a V-A y donde corte al contorno del cono, V-T1, es el punto de tangencia, T3, de la elipse con el contorno del cono.
18 – Unir T3" con el punto, 4", de corte de la perpendicular a V-A por E.
19 – Donde corte a V-A (eje de afinidad, punto X) se une con T4. Donde esta última corte a E-4" es el extremo, 4, del eje menor de la elipse.
20 – Conocidos los semiejes 3-E y 4-E se dibuja la elipse.

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Ejercicios resueltos en el sistema acotado – 994

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Dados el punto O(90, 160, 25) como centro de una esfera apoyada en el plano horizontal de proyección y la recta R formada por A(45, 180, -10) y B(110, 220, 108), determinar los planos que conteniendo a dicha recta son tangentes a la esfera.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos O, A y B.

2 – Unir A y B para formar la recta R.
3 – Con centro en O y radio 25 dibujar la esfera (una circunferencia).
4 – Trazar un perfil de la recta R y de la esfera a partir del plano X paralelo a la recta AB. Las nuevas proyecciones, en azul, en el perfil son R’ (A’-B’) y O’.
5 – Trazar una vista rebatida (o nuevo cambio de plano) a partir del plano Y perpendicular a R’. En esta última proyección la recta se verá como un punto, R", la proyección de la esfera coincide con la anterior, O’ = O"
6 – Los planos tangentes se verán proyectantes, luego basta con hacer las tangentes a la circunferencia (esfera) desde R" y se obtienen los dos posibles planos, p1" y p2", y sus puntos de tangencia, T1" y T2".
7 – Llevar los puntos de tangencia a la segunda proyección, T1′ y T2′, mediante perpendiculares a Y hasta cortar a esta.

8 – Por T1′ y T2′ se dibujan perpendiculares a X y se llevan las medidas de la vista rebatida (desde Y hasta T1" y T2" llevarlas a partir de la paralela a R por O) con lo que se obtienen las proyecciones horizontales de los puntos de tangencia, T1 y T2, de los planos con la esfera.
9 – En el perfil trazar paralelas a X por T1′ y T2′ hasta cortar a R’ (puntos H1′ y H2′).
10 – Mediante perpendiculares a X por H1′ y H2′ se obtienen sobre R sus proyecciones horizontales, H1 y H2.
11 – Uniendo H1 con T1 y H2 con T2 quedan definidas las horizontales de los planos buscados. Si se dibujan paralelas, P1 y P2, a ellas por puntos de cota conocida (en mi dibujo por B) se tienen definidos los planos solución. También se pueden complementar con sus líneas de máxima pendiente.

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Ejercicios resueltos en el sistema acotado – 993

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Dada la recta R, formada por D(151, 100, 90) y E(81, 179, 160), unirla con el punto A(100, 111, 110) mediante la menor distancia posible.

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SOLUCIÓN

Mediante abatimiento :
A – Graduar la recta R.
B – Unir el punto de cota 110 de la recta con el punto A. Esta es una horizontal del plano formado por R y A.
C – Abatir la recta R y el punto A.
D – En el abatimiento, trazar una perpendicular a la recta R abatida desde A. Esta es la mínima distancia en verdadera magnitud.
E – Desabatir el punto de contacto de la dos rectas, mediante una perpendicular a las horizontales del plano.
F – Unir el punto de contacto con el punto A y esta es la proyección de la mínima distancia.
Mediante perfil :
1 – Colocar los puntos dados, D y E que forman la recta R, y el punto A.

2 – Trazar un perfil con una paralela, Z, a la recta dada R. Llevar al perfil los puntos dados, A’, D’ y E’.
3 – En el perfil, trazar una perpendicular a R’ desde A’. Esta toca a R’ en el punto X’, siendo A’-X’ la mínima distancia entre el punto y la recta dada.
4 – Mediante una perpendicular a Z desde X’ hasta R se obtiene su proyección, X. La proyección A-X es el segmento de mínima distancia que une A con R.
5 – Para que la recta quede completamente definida se debe conocer la cota de otro punto de esa recta. Para ello en el perfil prolongar A’-X’ hasta Z (cota 90) que nos da el punto Y’.
6 – Hallar la proyección de dicho punto mediante una perpendicular a Z hasta la prolongación de A-X obteniendo el punto Y de cota 90.

 

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Ejercicios resueltos en el sistema acotado – 992

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Dada la recta R, formada por D(151, 100, 90) y E(81, 179, 160), unirla con el punto B(128, 174, 130) mediante otra recta que forme 45º con la primera.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos D y E (forman la recta R) y el punto B.

2 – Graduar la recta R.
3 – Unir el punto, X, de cota 130 de la recta R con el punto B. Esto forma la horizontal de cota 130 del plano formado por R y B.
4 – Trazar una horizontal (paralela a B-X) por el punto de D de cota 90. Utilizaremos esta horizontal como traza del plano para realizar un abatimiento.
5 – Abatir el punto B (trazado en magenta).
6 – Abatir un punto de la recta R, el punto X por ejemplo, y unirlo con el punto D (que ya está abatido).
7 – En el abatimiento, desde el punto (B) dibujar una recta que forme 45º respecto de la recta abatida (R). Hay dos posibles soluciones, yo solo he dibujado una.
8 – Desde el punto de contacto (Y) trazar una perpendicular a las horizontales del plano hasta contar a la proyección de R.
9 – Unir B con Y y esa es la proyección de la recta buscada.
10 – La recta, B-Y, se puede graduar prolongando las horizontales del plano hasta cortar a la recta, como por ejemplo Z(120).

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Dada la recta R, formada por D(151, 100, 90) y E(81, 179, 160), unirla con el punto C(75, 142, 130) mediante una recta de pendiente 20º y que tenga la mínima longitud posible.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos D y E (que forman la recta R) y el punto C.

2 – Dibujar un triángulo de pendiente 20º (abajo en gris) y determinar el intervalo, i, de por ejemplo 10.

3 – Graduar la recta R.

4 – Unir el punto, X, de cota 130 con el punto C. Esto nos da la horizontal del plano formado por C y R de cota 130.

5 – Por el siguiente punto de la recta, Y de cota 120, dibujar una paralela.

6 – Con centro en C y radio el intervalo, i, de 20º trazar una circunferencia.

7 – Donde la circunferencia corte a la horizontal de cota 120 (la que parte de Y) nos da dos puntos, M y N.

8 – Unir C con M y N para obtener las dos posibles soluciones. Solo se considerará como solución la más corta de las dos, en este caso la que pasa por M.

9 – Se prolonga M-C hasta cortar a R, punto Z. El segmento pedido es C-Z.

 

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acotado – 991

Ejercicios en el sistema acotado – 990

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Hallar la intersección de dos planos (faldones o aleros) con sus líneas de cota (u horizontales) paralelas entre sí.

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SOLUCIÓN

1 – Se conocen dos planos de cotas paralelas, las líneas rojas y azules.

2 – Se dibujan dos líneas paralelas entre sí (las líneas en magenta) con cualquier inclinación y separación.
3 – Estas líneas se nombran 0 y 1 (o las cotas que se estén manejando) en cualquier orden. Estas líneas son las líneas de cota de un plano auxiliar cualquiera.
4 – Se hallan las intersecciones (en verde) entre el plano auxiliar (magenta) y los dados (azul y rojo). Para ello unir los puntos de corte de las líneas de igual cota.
5 – Por el punto de corte de ambas intersecciones se traza una paralela a las líneas de cota de los planos dados. Esta última, i, es la intersección de los dos planos.

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Ejercicios en el sistema acotado – 989

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Hallar la distancia del punto A(7, 3, 8) al plano P dado por su línea de máxima pendiente. Escala 1/100.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I
1 – Desde la línea de máxima pendiente y a partir de uno de los puntos del plano (en mi caso del punto de cota 3) se dibuja un metro (pasado a escala).

2 – Unir ese metro con el punto de cota anterior (en mi caso el de cota 2) del plano. Con esto hemos dibujado el perfil del plano (o su proyección vertical).
3 – Desde la proyección del punto A se dibuja una perpendicular a la línea de máxima pendiente. Y sobre ella se llevan tantos metros (pasados a escala) como sea la diferencia entre el punto más bajo del plano y el punto dado, es decir :
(cota del punto a subir) – (cota del punto más bajo del plano) = 8 – 2 = 6 m
Subiendo esos 6 m tenemos el perfil del punto, A.
4 – En el perfil, desde el punto trazar una perpendicular al plano (también en el perfil), que tocará al plano en el punto I.
5 – La distancia entre A e I es la verdadera magnitud de la distancia entre el punto y el plano.

OPCIÓN II
6 – Dibujar una recta perpendicular al plano y que pase por el punto A.

7 – Hallar la intersección de la recta perpendicular con el plano dado, punto i.
8 – La verdadera magnitud entre el punto dado, a, y el punto intersección, i, es la distancia entre el punto y el plano.

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Ejercicios en el sistema acotado – 988

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Una pirámide triangular regular de altura 60 mm está apoyada por su base en el plano P teniendo, esta base, una arista en el plano horizontal de cota 3. Su vértice V está en el plano Q a la cota 5 y a la izquierda del plano P.
Se pide representar la pirámide por su proyección acotada. La unidad de cota vale 10 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un plano paralelo al plano P separado una distancia igual a la de la altura de la pirámide.
2 – Hallar la intersección entre el plano paralelo y el plano Q.
3 – Donde la intersección de los dos planos corte a la línea de cota 5 del plano Q es el vértice de la pirámide.
4 – Desde el vértice de la pirámide se dibuja una perpendicular al plano P.
5 – Se determina el punto de intersección de la recta anterior con el plano P y este es el centro de la base de la pirámide.
6 – Abatir el plano P, el centro de la base de la pirámide y la línea de cota 3 de este plano.
7 – En el abatimiento dibujar un triángulo equilátero (base abatida) conocido el centro y que en la línea de cota 3 abatida está uno de sus lados.
8 – Desabatir el triángulo.
9 – Unir los vértices del triángulo con el vértice de la pirámide para determinar su proyección.

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Ejercicios en el sistema acotado – 987

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Determinar la recta de máxima pendiente (RMP) del plano ABC y la cota del punto M, perteneciente a él.
A(2, 6, 5.5), B(5, 2, 4.5), C(11, 7, 0.5) M(2, 3, ?)

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SOLUCIÓN

1 – Dividir la línea AC en diez partes iguales (cada 0’5)

2 – Dividir la línea AB en dos partes iguales (cada 0’5)
3 – Unir los puntos de cota 5 (u otros dos de igual cota), con lo que se obtiene la línea de cota del plano
4 – La recta de máxima pendiente (RMP) es perpendicular a esta línea
5 – Se halla la cota del punto M mediante un perfil.

6 – Dibuja una línea perpendicular a la línea de cota del plano
7 – Mediante perpendiculares por dos puntos, A y C por ejemplo, se lleva su altura
8 – Uniéndolos se consigue el perfil del plano
9 – Por el punto M se hace otra línea hasta el plano de perfil
10 – Se mide directamente la altura (5’9)

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