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Poliedros de Kepler-Poinsot, son poliedros formados por polígonos regulares, que forman el mismo ángulo entre sí, pero que pueden ser tanto cóncavos como convexos, no como los regulares o platónicos que solo son convexos. Kepler en 1619 se dio cuenta de que existían dos maneras diferentes de pegar doce pentagramas (polígono estrellado de cinco puntas) a lo largo de sus aristas para obtener un sólido regular. Si cinco de ellos se unen en un solo vértice, obtenemos el pequeño dodecaedro estrellado. Si son tres pentagramas los que se encuentran en cada vértice, tenemos el gran dodecaedro estrellado. Posteriormente, en 1809 Louis Poinsot descubrió los otros dos poliedros no-convexos regulares, el pequeño icosaedro y el gran dodecaedro. Las doce caras del gran dodecaedro son pentágonos, pero que, a diferencia del dodecaedro, se intersecan unas a otras. Si se observa detenidamente el gran dodecaedro parece que contiene varias estrellas que conforman su estructura, pero sólo se puede ver una. El gran icosaedro se obtiene con veinte triángulos, intersecándose entre sí. Los sólidos de Poinsot son de hecho los duales de los sólidos de Kepler. Todos estos poliedros de Kepler-Poinsot pueden ser obtenidos usando el proceso estelación a partir de los sólidos Platónicos. Para ello extendemos las caras del poliedro hasta que se intersequen. En el caso 2-dimensional, la estelación consiste en un nuevo polígono que se construye a partir de las extensiones de los lados del polígono original. Dependiendo del poliedro (o polígono), éste puede que no tenga ninguna, sólo una, o varias estelaciones sucesivas. Por ejemplo, el triángulo y el cuadrado no presenta estelaciones, el pentágono tiene una, y el heptágono y el octógono tienen dos. En el caso de los poliedros, el tetraedro y el cubo no tienen estelaciones, el octaedro una, el icosaedro cincuenta y nueve (entre las que está el gran icosaedro) y el dodecaedro tres (el resto de los poliedros de Kepler-Poinsot). El descubrimiento de que los sólidos de Kepler-Poinsot son estelaciones de los sólidos Platónicos se debe a Cauchy (1811). De hecho, Cauchy probó que los sólidos Platónicos conjuntamente con los sólidos de Kepler-Poinsot son los únicos sólidos regulares (iguales caras y figuras vértice).

Poliedros de Johnson, son poliedros convexos con caras formadas por polígonos regulares, de igual longitud en sus aristas (no se incluyen los poliedros regulares, ni los semirregulares y los prismas y antiprismas). Existen noventa y dos poliedros distintos, cuyas caras son de varios tipos en un mismo poliedro, aunque solo existen seis tipos de polígonos útiles, el triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, octógono y decágono, todos ellos regulares.

Poliedros de Catalan, reciben este nombre por el matemático francés Catalan que los estudio en 1.865. Se obtienen a partir de los poliedros semirregulares arquimedianos, siendo los duales (que se obtiene de unir los centros de las caras de otro poliedro) de estos. Existen trece poliedros distintos llamados: rombododecaedro (rombo dodecaedro o rombidodecaedro), triacontaedrorrómbico (triacontaedro rómbico, rombotriacontaedro o rombitriacontaedro), triaquistetraedro, triaquisoctaedro, tetraquishexaedro, triaquisicosaedro, pentaquisdodecaedro, hexaquisoctaedro (o hexaoctaedro)‚ hexaquisicosaedro, icositetraedro semirregular (icositetraedro deltoidal), hexacontaedro deltoidal, icositetraedro pentagonal y hexacontaedro pentagonal.

Sinónimos :

Poliedros de Catalan – Duales de los arquimedianos

Poliedros Arquimedianos, es aquel cuyas caras corresponde a polígonos de dos o tres tipos y que admiten solo una esfera circunscrita, se obtienen por truncamiento de los poliedros regulares, o también son los obtenidos al dividir las aristas en un número determinado de partes y unirlos entre sí.

Existen trece tipos distintos, llamados: Cuboctaedro (o Dimaxion), Icosidodecaedro (o Triacontakaidiedro), Troncotetraedro (o Tetraedro truncado), Troncohexaedro (o Troncocubo o Cubo truncado), Tetracaidecaedro (o Poliedro de Lord Kelvin, Trococtaedro, Octaedro truncado), Troncododecaedro (o Dodecaedro truncado), Troncoicosaedro (o Icosaedro truncado), Gran rombicosidodecaedro (o Cuboctaedro truncado, Troncocuboctaedro, Icosidodecaedro truncado), Pequeño rombicuboctaedro (o Cosihexaedro, Filoesfera), Pequeño rombicosidodeaedro, Hexaedro romo (o Cubo romo, Exaedro romo), Dodecaedro romo. Algunos autores incluyen el cosihexaedro girado, contando catorce. También se les conoce como poliedros semirregulares.

Sinónimos :

 Poliedro Arquimediano – Poliedro semirregular

Poliedro toroidal, es el poliedro de género (que tiene uno o más agujeros). Ejemplos de poliedros toroidales son el poliedro de Császár y el de Szilassi, ambos con genero uno, es decir, que son topológicamente equivalentes a un toro. El único poliedro toroidal que no tiene diagonales de cuerpo es el poliedro de Császár. Si existe otro, debe tener doce o más vértices y género, según expreso Gardner en 1.975. El más pequeño poliedro toroidal de un único agujero conocido está formado por triángulos equiláteros únicamente, descubierto por Conway en 1.997, y consiste en treinta y seis triángulos. Borisov mostró otra versión con seis diamantes y tres triamantes, y que consiste básicamente en tres octaedros y nueve tetraedros. Ed Pegg encontró una solución alternativa en el 2.004, que usaba treinta y seis triángulos, consistente en dos octaedros y doce tetraedros.

Poliedro semirregular, es aquel cuyas caras corresponde a polígonos de dos o tres tipos y que admiten solo una esfera circunscrita, se obtienen por truncamiento de los poliedros regulares, o también son los obtenidos al dividir las aristas en un número determinado de partes y unirlos entre sí.

Existen trece tipos distintos llamados: Cuboctaedro (o Dimaxion), Icosidodecaedro (o Triacontakaidiedro), Troncotetraedro (o Tetraedro truncado), Troncohexaedro (o Troncocubo o Cubo truncado), Tetracaidecaedro (o Poliedro de Lord Kelvin o Trococtaedro o Octaedro truncado), Troncododecaedro (o Dodecaedro truncado), Troncoicosaedro (o Icosaedro truncado), Gran rombicosidodecaedro (o Cuboctaedro truncado o Troncocuboctaedro o Icosidodecaedro truncado), Pequeño rombicuboctaedro (o Cosihexaedro o Filoesfera), Pequeño rombicosidodeaedro, Hexaedro romo (o Cubo romo o Exaedro romo) y Dodecaedro romo. Algunos autores incluyen el Cosihexaedro, contando catorce. También se les conoce como poliedros arquimedianos.

Sinónimos :

 Poliedro semirregular – Poliedro Arquimediano

Poliedro regular, aquel cuyas caras están formadas por polígonos regulares; en nuestro universo, solo existen cinco posibilidades: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

También conocidos como platónicos. Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire el octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro es el universo (como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro, de forma un tanto forzada lo relacionaron con el universo como conjunción de los otros cuatro; la forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos). A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.

Sinónimos :

 Poliedro regular – Poliedro platónico

Poliedro quebrado regular, es un poliedro cuyas caras y figuras vértices son polígonos quebrados regulares. Solo hay tres poliedros quebrados regulares en el espacio tridimensional euclídeo.

Poliedro plegable, son poliedros que se pueden plegar hasta dejarlo planos presionando por alguna arista o cara, gracias a la flexibilidad de sus aristas y a que algunas caras están convenientemente seccionadas para que al presionarlas se abran y permiten su recogimiento.

 

Poliedro irregular, aquel cuyas caras están formadas por polígonos irregulares.