Autor: Administrador

Ejercicios de enlaces y tangencias – 106

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Hallar dos circunferencias iguales tangentes entre sí, además de ser tangente cada una a un lado distinto de un triángulo conocido y tangentes ambas al tercer lado.

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SOLUCIÓN

1 – Se traza una circunferencia de radio cualquiera tangente a dos lados (la de centro x’), y otra de igual radio tangente a ella y al mismo lado

2 – Trazar una tangente al lado BC por la segunda circunferencia (lado B’C’)
3 – Unir el vértice A con el centro X’, y este a su vez con B’
4 – Por el vértice B se hace una paralela a B’X’
5 – Donde esta última corte a AX’ es el centro de la circunferencia buscada, X
6 – Por X se hace una perpendicular a AB y ese es el radio de la circunferencia buscada
7 – Trazar la otra

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Construir tres circunferencias tangentes entre sí y que sus respectivos centros sean los vértices del triángulo de 90, 60 y 80 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Halla el incentro (punto de corte de las tres bisectrices del triángulo).

2 – Desde el incentro se trazan rectas perpendiculares a los lados del triángulo.

3 – Donde esas perpendiculares corte a los lados del triángulo son los puntos de tangencia de las circunferencias.

4 – Con centro en los vértices del triángulo y radio hasta los puntos de tangencia se dibujan las circunferencias pedidas.

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Dados tres puntos A, B y C no alineados, dibujar tres circunferencias tangentes dos a dos en dichos puntos. (AB = 3,5 cm BC = 4,5 cm Y CA = 4 cm)

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SOLUCIÓN

1 – Halla el circuncentro (punto de corte de las mediatrices) del triángulo formado con los tres puntos.

2 – Une el circuncentro con los tres puntos.

3 – Traza líneas perpendiculares a esa últimas por los tres puntos.

4 – Prolongarlas hasta formar un nuevo triángulo.

5 – Los vértices de este nuevo triángulo son los tres centros de las circunferencias buscadas. El radio es hasta los puntos dados.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 103

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Conocido un triángulo rectángulo ABC, dibujar dos circunferencias del mismo radio y tangentes entre sí tal que:
– Una tiene centro en el vértice C
– Otra tiene centro en el lado CB y además es tangente al lado AB

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en C y un radio cualquiera, trazar una circunferencia (azul)

2 – Dibujar otra igual tangente a ella y con centro en BC
3 – Tangente a esta última haces una paralela a AB
4 – Unir A’ con T’ (punto de tangencia de las dos circunferencias auxiliares), o cualquier otro punto que quieras averiguar como el centro de la circunferencia
5 – Hacer una paralela a A’T’ por A y donde corte a BC es T punto de tangencia de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C y radio hasta T se traza la primera circunferencia.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 102

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Circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia y a cuatro radios no regulares

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SOLUCIÓN

1 – Halla la bisectriz del ángulo formado por dos radios (línea azul)

2 – Por donde la bisectriz toca a la circunferencia, T, se traza una tangente a la circunferencia (perpendicular a la bisectriz por T)
3 – Prolonga uno de los radios hasta cortar a la tangente anterior
4 – Halla la bisectriz (línea verde) del ángulo que forma el radio y la tangente
5 – Donde esta última corte a la primera bisectriz es el centro, I, de la circunferencia buscada. Su radio es I-T
6 – Repite el mismo proceso con los otros.
Hay otros procedimientos, como por ejemplo utilizando potencia, pero este es el más básico y versátil

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Hacer nueve circunferencias iguales tangentes entre sí y a una circunferencia exterior

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SOLUCIÓN

a – Dividir la circunferencia (centro O y radio hasta A) en nueve partes iguales

b – Hallar la bisectriz, OC, de uno de los nueve ángulos, AOB, que se han formado
c – Por A dibujar una tangente a la circunferencia, AC
d – Donde corte a la bisectriz es el punto C
e – Hallar la bisectriz del ángulo formado por AC y OC (línea magenta)
f – Donde corte a OA es el primer centro, 1.
g – Con centro O y radio hasta 1, hacer una circunferencia
h – Donde ésta corte a los radios que pasan por las nueve divisiones son los centros de las otras circunferencias. El radio es de 1 hasta A.

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Dadas la circunferencia X, la Y y la recta R, buscar otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia Y, si la recta R es el eje radical de la circunferencia X dada y de la solución

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SOLUCIÓN

1 – Halla el eje radical de las circunferencias dadas, X e Y.
2 – Donde corte al eje radical dado, R, es el centro radical.
3 – Traza la recta tangente a la circunferencia Y desde el centro radical. Lo que nos interesa es el punto de tangencia.
4 – Une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia Y, y ahí estará el centro de la buscada Z.
5 – El lugar exacto es donde esta última recta corte a la perpendicular al eje radical R que pasa por el centro de la circunferencia X.
6 – El radio es desde el centro hallado hasta el punto de tangencia sobre la circunferencia Y.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 98

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, que tengan sus centros sobre la recta R

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SOLUCIÓN

1 – Hacer el simétrico de una de las circunferencias respecto de la recta dada, R

2 – El problema queda reducido a determinar las circunferencias tangentes a tres circunferencias, las dos dadas más la simétrica.
3 – Para hallar las circunferencias tangentes a las tres anteriores se resta el radio de la menor a las otras tres y queda a su vez reducido a otro caso. Ahora bien, dependiendo de que hagamos el simétrico de la mayor o menor de las dadas se nos quedará uno u otro caso.
Si se hace la simétrica de la mayor (centro A), quedará reducido a dos circunferencias grandes (la de centro A y su simétrica) y una pequeña (la de centro B). Al restarle el radio de la de B quedará reducido a dos circunferencias (la de centro A y su simétrica a la que se les ha restado el radio de la de B) y a un punto (el centro B)
Si se hace la simétrica de la menor (centro B), quedará reducido a dos circunferencias pequeñas (la de centro B y su simétrica) y una grande (la de centro A). Al restarle el radio de la de B quedará reducido a dos puntos (los centros B y su simétrico C) y a una circunferencia (la de centro A a la que se la ha restado el radio B).
4 – Explico este último caso a continuación y más abajo continuo este problema

Circunferencias tangentes a una circunferencia (centro A) y que pasan por dos puntos B y C

5 – Hallar la mediatriz de los dos puntos, B y C (recta R)

6 – Hacer una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz, R, que pase por los puntos, B y C, y corte a la circunferencia
7 – Unir los puntos de corte, 1 y 2, de las dos circunferencias
8 – Prolongar hasta cortar a la recta que une los puntos B y C (punto C.R)
9 – Desde el C.R hacer las tangentes a la circunferencia dada, puntos de tangencia T1 y T2
10 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a R son los centros C1 y C2 buscados
11- Con centro en C1 y C2 y radios hasta T1 y T2 se obtienen las circunferencias buscadas

Continuación de circunferencias tangentes a dos circunferencias, de centro A y B, que tengan sus centros sobre la recta R

12 – Una vez obtenidos los centros de las nuevas circunferencias, C1 y C2, unirlos con los centros de las dadas, A o B, y donde corten a las circunferencias dadas son los puntos de tangencia, T4 y T5

13 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta T4 y T5 se dibujan las circunferencias buscadas
14 – Existen otras dos posibles soluciones y sumando el valor del radio de la circunferencia B en vez de restarlo, con lo que quedaría reducido a trazar las circunferencias tangentes a la de centro A y radio la suma de la de A más la de B, y a dos puntos, los centros B y C (este caso ya no lo he dibujado). El resto se operaría igual que antes.

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Ejercicios resueltos de enlaces y tangencias – 97

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Circunferencias tangentes a tres circunferencias de igual radio.

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SOLUCIÓN

1 – Se unen los centros de las tres circunferencias, O1-O2-O3

2 – Se hallan las mediatrices de los lados del triángulo formado (con dos es suficiente)
3 – Donde se corten las mediatrices es el centro, C, de las circunferencias buscadas
4 – Unir el centro hallado, C, con los centros de las circunferencias dadas, O1, O2 y O3, y donde corten a las circunferencias dadas son los puntos de tangencia, t1 y t2 para la circunferencia de centro O1
5 – Con centro en C y radio hasta los puntos de tangencia, t1 y t2, se obtienen las dos posibles soluciones

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