Autor: Administrador

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Trazar una elipse dado uno de los focos, dos puntos de la curva y una recta tangente a la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en cada uno de los dos puntos dados y radios hasta el foco dado, se trazan sendas circunferencias.

2 – Se halla el simétrico del foco dado respecto de la tangente dada (punto s).

3 – Se determina el centro de la circunferencia tangente a las dos realizadas y que pase por el simétrico del foco.

4 – El centro de la circunferencia hallada, es el segundo foco.

5 – La distancia entre el simétrico del foco dado y el foco hallado es el eje mayor, 2a.

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ELIPSES – 994

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 993

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En un plano inclinado hay dos ganchos P y Q fijos. De ellos se cuelga una cuerda de 450 cm de la que cuelga un objeto pesado que puede deslizar sobre la cuerda. Al adoptar la posición de equilibrio adopta la forma dada en el esquema superior. Se pide hallar la posición de equilibrio

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SOLUCIÓN

Aunque yo he dibujado la elipse, esta no es necesaria :
1 – La distancia entre P y Q es la distancia focal

2 – El eje mayor de la elipse es la longitud de la cuerda ( 4’5 m )
3 – Con centro en P y radio el eje mayor se hace un arco ( 2a )
4 – Por Q se baja una vertical hasta cortar al arco ( punto X )
5 – Se halla la mediatriz de XQ
6 – Se une X con P
7 – Donde esta última corte a la mediatriz de XQ es el punto buscado, T

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, una tangente con su punto de contacto y la magnitud del eje mayor

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de la tangente.

2 – Unir el simétrico con el punto de contacto.

3 – A partir del simétrico y sobre la recta anterior lleva la medida del eje mayor, y ya tienes el segundo foco.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 991

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Nos dan los focos de una elipse (F1 y F2) y una recta tangente a la misma (t). Nos piden hallar el punto de tangencia de la recta con la elipse y calcular los ejes de la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Unes los dos focos y ya tienes la distancia focal y la recta sobre la que está el eje mayor.
2 – Haces el simétrico de uno de los focos respecto de la recta tangente.
3 – Unes el simétrico del foco con el otro foco, y la longitud de ese segmento es el valor del eje mayor; además donde corte a la recta tangente es el punto de contacto entre la elipse y su tangente.
4 – Lleva la medida del eje mayor sobre la unión delos focos y a partir de su centro.

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Nos dan la recta donde se encuentra el eje mayor ( AC ), un Foco ( F ), una tangente ( BC ) y la magnitud b = 25 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Halla el simétrico, s1, del foco dado, F1, respecto de la recta tangente.

2 – Por F1 levantar una perpendicular a la recta sobre la que está el eje mayor y llevar sobre ella la medida del eje menor, 2b, dando s2.
3 – Dibujar la mediatriz entre s1-s2, y donde corte a la recta sobre la que está el eje mayor es el segundo foco, F2
4 – Si se une cualquiera de los simétricos, s1 o s2, con el segundo foco, F2, conseguimos lo que mide el eje mayor, 2a

Fundamento :

a – Los simétricos del foco respecto de una tangente están sobre la circunferencia focal. Al hallar s1 se ha determinado un punto de la circunferencia focal.

b – Existen cuatro tangentes que son paralelas a los ejes principales de la elipse y pasan por los extremos de los ejes. Estas tangentes están separadas de los ejes una distancia igual a los semiejes principales.

c – Luego tenemos una segunda tangente, aunque no esté dibujada, que sería una paralela al eje mayor a una distancia la del semieje menor. Si a esta tangente le aplicamos la primera propiedad tendremos un segundo punto, s2, de la circunferencia focal.

d – En la mediatriz de dos puntos de una circunferencia está su centro. Como tenemos dos puntos de la circunferencia focal en su mediatriz está el foco que es su centro.

e – El ejercicio también se podría haber resuelto trabajando con los pies de las perpendiculares a las tangentes, que están sobre la circunferencia principal, y con ellos conseguir el centro de la elipse.

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ELIPSES-990

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Elipse conocido un foco, F, una tangente, T, un punto de la curva, P, y la longitud del eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F, respecto de la tangente, T.

2 – Con centro en el punto dado, P, y radio, 2a – PF, la diferencia entre la longitud del eje mayor, 2a, y la distancia del punto dado al foco, PF, se traza una circunferencia.

3 – Con centro en el simétrico del foco, s, y radio la longitud del eje mayor hacer una segunda circunferencia.

4 – Donde se corten ambas curvas son las posibles soluciones, F’ y F», para el segundo foco. Yo solo he dibujado una de ellas.

5 – Conocidas la distancia focal, F-F’, y la longitud del eje mayor, 2a, se determina la elipse.

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Hallar una elipse dada la circunferencia principal y dos tangentes

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SOLUCIÓN

1 – Por donde las tangentes tocan a la circunferencia principal (son cuatro puntos) se dibujan rectas perpendiculares a las tangentes, estas se cortarán en los focos.

2 – Uniendo los dos focos entre sí, donde corte a la circunferencia principal es el eje mayor.

3 – Una vez conocida la distancia focal 2c (de foco a foco) y la medida del eje mayor 2a (el diámetro de la circunferencia principal), obtén el eje menor con la relación a² = b² + c²

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 986

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De una elipse se conocen dos tangentes y un foco, así como el punto de tangencia con una de ellas. Hallar los ejes y el otro foco.

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Une los dos puntos simétricos y determina su mediatriz.
3 – Une el simétrico del foco con el punto de tangencia (utiliza el simétrico respecto de la tangente en la que está el punto de tangencia).
4 – Donde esta última corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco.
5 – La distancia que hay entre ese segundo foco y el simétrico del primer foco (en la recta que pasa por el punto de tangencia) es la medida del eje mayor.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 985

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, una tangente t1 y otra tangente t2 con su punto de contacto T2

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Halla la mediatriz del segmento que resulta de unir los dos simétricos.
3 – Une el simétrico del foco respecto de la recta en la que está el punto de tangencia, con dicho punto.
4 – Donde esta última corte a la mediatriz es el segundo foco.
5 – La distancia desde cualquiera de los simétricos al segundo foco es el valor del eje mayor.

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