Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 974

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Dado el lado AB de un triángulo equilátero y un foco de la elipse, hallar la elipse tangente a los tres lados y los puntos de tangencia sin construir la elipse y determinar los ejes.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibujan los simétricos de foco dado, F1, respecto de los tres lados del triángulo, S1, S2 y S3

2 – Se unen los simétricos del foco y se hallan sus mediatrices
3 – Estas se cortan en el segundo foco, F2
4 – Los puntos de tangencia de la elipse con los lados del triángulo equilátero, están donde las rectas que unen a los simétricos de los focos unidos con el segundo foco cortan a los lados del triángulo equilátero, t1, t2 y t3
5 – La distancia entre cualquiera de los simétricos y el otro foco es la medida del eje mayor, 2a
6 – La distancia entre los dos focos, F1-F2, es la distancia focal, 2c
7 – Con centro en un foco, F2, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco. Donde este último corte a la perpendicular al eje mayor por su punto medio, da la medida del eje menor de la elipse
8 – Haciendo los simétricos de los puntos de tangencia, t1, t2 y t3, respecto de los ejes o el centro de la elipse, se obtienen más puntos para determinarla

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 973

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Elipse conocido un foco y tres tangentes

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de las tres tangentes.
2 – Une dos de los simétricos y determinas la mediatriz de ese segmento.
3 – Repite con otros dos y haz una nueva mediatriz.
4 – Donde las dos mediatrices se corten es el otro foco.
5 – Une cualquier simétrico con el segundo foco y esa es la longitud del eje mayor.
6 – Donde las uniones de los simétricos con el segundo foco corten a las rectas tangentes son los puntos de tangencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 972

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B)

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada

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Elipse conocido el eje mayor, AB, y un punto de ella, P

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SOLUCIÓN

OPCIÓN A

a1 – Determina el punto medio del eje mayor, o.

a2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor trazar una circunferencia.

a3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.

a4 – Unir P’ con el centro O.

a5 – Por P dibujar una paralela al eje mayor. Donde corte a OP’ es el punto X.

a6 – Con centro en O y radio OX dibujar una circunferencia.

a7 – Desde O levantar una perpendicular al eje mayor AB. Donde corte a la segunda circunferencia es el semieje menor, OC.

a8 – Conocidos los dos ejes dibujar la elipse.

OPCIÓN B

b1 – Determina el punto medio del eje mayor, O.

b2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor traza una circunferencia.
b3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.
b4 – Haz otra perpendicular al eje mayor por O, dando el punto C’ en la circunferencia.
b5 – Une C’ con P’ hasta cortar al eje mayor, punto X.
b6 – Unir X con P y donde corte a la perpendicular que se trazó por O es C.
b7 – La distancia OC es el semieje menor.
b8 – Ya se conocen el eje mayor y el menor, a partir de ellos dibujar el resto de la elipse.

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ELIPSES – 971

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 970

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¿ Cómo se hace una elipse conociendo el eje mayor y un foco ?

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SOLUCIÓN

Recuerdo como son las medidas en una elipse en el siguiente gráfico :

Luego según lo que se dice se conoce el eje mayor (2a) y un foco. Para el otro foco, determina el punto medio del eje mayor y lleva la semidistancia focal (c) hacia el otro lado y ya tienes el segundo foco.
Para determinar el semieje menor (b), sigue el proceso siguiente :

Traza un par de líneas perpendiculares.
Coloca sobre una de ellas el valor de la semidistancia focal (c).
Con centro en un extremo y radio la semidistancia mayor (a) trazas un arco.
Donde el arco corte a la otra perpendicular es el eje menor (b).
Esto lo puedes realizar sobre los mismos ejes de la elipse.
El resto es el trazado de la elipse mediante cualquiera de los procedimientos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 969

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Construir una elipse dado un foco, un punto y un vértice

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo el foco con el vértice se dibuja la recta sobre la que se apoya el eje mayor.
2 – Se hace el simétrico del punto respecto del eje mayor.
A partir de aquí hay tres posibles formas de resolverlo.

Opción A :

3 – Se unen los puntos simétricos con el foco.
4 – Se dibujan las circunferencias de centro en el punto medio de estos segmentos y diámetros su longitud.
5 – Si se dibuja la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias y que pasa por el vértice de la elipse se determina la circunferencia principal. Siendo su centro el centro de la elipse.

Opción B :

6 – Existe otra variante de este mismo sistema, que haciendo una tercera
circunferencia con centro en el punto medio de la unión del foco con el vértice y diámetro esa longitud. Al realizar la circunferencia tangente a las tres da la circunferencia principal.

Opción C :

7 – Se hacen tres circunferencias con centro en los dos puntos simétricos y en el vértice y radio hasta el foco.
8 – Si se dibuja la circunferencia que es tangente a esas tres circunferencias se obtiene la circunferencia focal. Siendo su centro el segundo foco.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 968

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Dados dos focos y un punto de la curva hallar una elipse

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo los dos focos se obtiene la distancia focal, 2c.
2 – Unir los dos focos con el punto dado, y sumando los dos segmentos se obtiene el valor del eje mayor, 2a.
3 – Hacer la mediatriz de la distancia focal.
4 – Con centro en uno de los focos y radio el semieje (la mitad) mayor se hace un arco que corte a la mediatriz anterior.
5 – Desde el punto medio de la distancia focal hasta donde corta el arco a la mediatriz es el semieje menor, b.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 967

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Representar una elipse definida por sus focos F y F’ (situados horizontalmente y de izquierda a derecha) que distan entre sí 90 mm y por un punto P situado a 33 mm por debajo y 20 mm a la izquierda de F’.
Se pide determinar sus ejes y dibujar la elipse por puntos.

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SOLUCIÓN

Une el punto P con los dos focos y sumando esas dos distancias tienes el valor del eje mayor.
Forma un triángulo rectángulo en él con un cateto igual al valor de la mitad de la distancia entre los dos focos e hipotenusa igual a la mitad del eje mayor.
El otro cateto es el semieje menor. Con las tres medidas aplica el método del trazado por puntos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 966

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Del triángulo ABC se conocen los siguientes datos, AB = 80 mm, BC = 40 mm y el ángulo C = 22º 30′. Dibuja la elipse que pasa por C siendo A y B los focos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja el triángulo ABC. Se puede hacer de dos formas, según tus conocimientos.

1a – 1ª forma. Sitúa el lado AB. Luego haz el arco capaz del ángulo C. Con centro en B y radio BC haz un arco que corte al arco capaz. El punto de corte será C.
1b – 2ª forma. Dibuja el ángulo C. A partir de su vértice y sobre uno de sus lados lleva la longitud de BC. El extremo de esa longitud es B. Con centro en B y radio AB haz un arco. Donde este corte al otro lado del ángulo C es el vértice A.

2 – Suma los segmentos AC y BC, este es el valor del eje mayor.
3 – El punto medio de AB es el centro de la elipse. Lleva la mitad del eje mayor hacia cada lado y tienes los vértices de la elipse.
4 – Por el punto medio de AB levanta una perpendicular.
5 – Con centro en A (o B) traza un arco igual a la mitad del eje mayor.
6 – Donde el arco corte a la perpendicular anterior (dos puntos) es el eje menor.
7 – Ya tienes situado los focos (A y B), el eje mayor y el menor, solo tienes que utilizar el trazado por puntos de la elipse que seguro conoceras.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 965

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Contruir una elipse de la que se conoce un vértice (A), un Foco (F) y el valor de la excentricidad e = 3/5

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SOLUCIÓN

1 – Trazas un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal mida una cantidad proporcional al numerador de la excentricidad (en mi caso 30 mm) y la hipotenusa una cantidad proporcional al denominador de la excentricidad (en mi caso 50 mm). Siempre las dos cantidades deben ir multiplicadas o divididas por la misma razón ( 3/5 = 30/50 = 6/10 = 15/25 = etc.)

2 – Sobre el cateto horizontal llevas la medida utilizada para la hipotenusa para determinar su diferencia (en mi dibujo la cota 50 – 30)
3 – Unes el extremo de esa diferencia de medidas con el vértice superior del triángulo
4 – Llevas la distancia Z igual a la distancia que hay entre el foco y el vértice que te dan
5 -Haciendo paralela a la hipotenusa del segundo triángulo por el extremo de Z da un nuevo punto sobre el cateto vertical
6 -Por ese punto trazar una paralela a la hipotenusa del primer triángulo
7 – Los lados del nuevo triángulo que se forma son las magnitudes del semieje mayor (a), semieje menor (b) y semidistancia focal (c).

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