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El punto F es uno de los focos de una elipse, P un punto de la misma y O su centro.
Hallar, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Une el foco con el centro y lleva esa distancia hacia el otro lado y ese es el segundo foco.

2 – Uniendo los dos focos se obtiene la distancia focal, 2c.

3 – Unir los dos focos con el punto dado, y sumando los dos segmentos se obtiene el valor del eje mayor, 2a.

4 – Hacer la mediatriz de la distancia focal.

5 – Con centro en uno de los focos y radio el semieje mayor se hace un arco que corte a la mediatriz anterior.

6 – Desde el punto medio de la distancia focal hasta donde corta el arco a la mediatriz es el semieje menor, b.

7 – Realizar el trazado por puntos, pulsa aquí para ir al vídeo.

 

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ELIPSES – 964

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 963

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Trazar una elipse dado uno de los focos, dos puntos de la curva y las medidas del semieje menor, b, y de la semidistancia focal, c.

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SOLUCIÓN

1 – Construye un triángulo rectángulo, en el que un cateto sea la medida b y el otro la medida c

2 – La hipotenusa de éste triángulo es la medida a
3 – Mide la distancia que hay desde el foco dado hasta uno de los puntos, X, y réstasela a 2a y desde ese punto trazas un arco con esa medida
4 – Repites el mismo proceso con el otro punto, medida Y, y donde se corten los dos arcos es el segundo foco de la elipse

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 962

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Método para dibujar una cónica dados 5 puntos de la misma

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SOLUCIÓN

1 – Los puntos dados son A, B, C, D y E.

2 – Tracemos una circunferencia c’ que pase por E-D, teniendo por diámetro la cuerda E-D.
3 – La cuerda común E-D será el eje de homología, y los puntos E y D dobles, o sea confundidos con sus homólogos E’ y D’.
4 – Prolongada la cuerda B-C hasta su punto del eje P-P’.
5 – Hallaremos la polar de este punto doble en las dos cónicas. La polar p’ en la circunferencia se obtendrá uniendo los puntos de contacto de las tangentes t’1 y t’2 trazadas desde P, y será la cuerda t’-a’-2′. La polar p de P con respecto a la cónica c que se trata de hallar, pasará por a-a’, que es un punto doble por ser del eje y, por definición, por el punto X conjugado armónico de P con respecto a B y C, que obtendremos mediante un sencillo cuadrilátero completo, no representado en la figura para no complicarla.
6 – De la misma manera, prolongada la cuerda B-A hasta su punto de encuentro R-R’ con el eje de homología, hallaremos de la misma forma las polares r y r’ del punto doble R-R’.
El punto Y es conjugado armónico de R con respecto de A y B.
7 – El punto de encuentro M de las polares p y r tendrá como homólogo el punto común de p’ y r’, que será el punto M’8 (en el gráfico ese 8 es el símbolo de infinito), por ser paralelas p’ y r’. Por tanto, el centro O se hallará sobre la recta M-M’8.
8 – Del sistema de homología sólo tenemos ahora el eje y un par de puntos homólogos M-M’8. Necesitamos otro par de puntos. Para obtenerlo, uniremos M con C, por ejemplo, y hallaremos C’, situado en la circunferencia y sobre la recta b’-M’8, C’, unido con C, nos da también la dirección del centro de homología O, que queda así definido.
9 – El haber elegido E’-D’ como diámetro de la circunferencia arbitraria c’, nos trae como particularidad el que, siendo el punto M punto homólogo de M’8, pertenecerá a la recta límite del sistema cónica, bastando para que quede determinada mediante sus ejes, terminar de resolver el problema, puesto que sabemos que la cónica transformada será una elipse, por ser L’ exterior a la circunferencia c’.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 961

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Cómo obtener los puntos de tangencia entre los contornos aparentes de un tronco de cono y sus bases en una perspectiva.

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SOLUCIÓN

En cualquier sistema si se conoce una elipse (base del cono) y el vértice del cono, los contornos y sus puntos de tangencia en la base se obtienen mediante el método que conoceras de geometría plana de como hallar las tangentes a una elipse desde un punto exterior.
Si no sabes a que método me refiero te lo recuerdo :

Como hacer las tangentes a una elipse desde un punto exterior.
1 – Con centro en el punto y radio hasta uno de los focos se hace una arco.
2 – Con centro en el otro foco y radio el eje mayor, 2a, se hace otro arco.
3 – A los puntos de corte de los dos arcos los llamare A y B.
4 – Unir A con el foco que se utilizo en el apartado primero.
5 – A esa recta se le halla la mediatriz y ya es una de las rectas tangentes.
6 – Se repite lo mismo con el punto B, y se obtiene la otra tangente.
7 – Unir A y B con el foco que se utilizo en el apartado segundo, y donde estas rectas corten a las tangentes son los puntos de tangencia.

Ya se que tienes un tronco de cono pero se trata de que halles el vértice del cono, después aplicas lo comentado a culaquiera de las dos base, o a ambas.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 960

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Hacer las tangentes a una elipse desde un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en el punto y radio hasta uno de los focos se hace una arco.
2 – Con centro en el otro foco y radio el eje mayor, 2a, se hace otro arco.
3 – A los puntos de corte de los dos arcos los llamare A y B.
4 – Unir A con el foco que se utilizo en el apartado primero.
5 – A esa recta se le halla la mediatriz y ya es una de las rectas tangentes.
6 – Se repite lo mismo con el punto B, y se obtiene la otra tangente.
7 – Unir A y B con el foco que se utilizo en el apartado segundo, y donde estas rectas corten a las tangentes son los puntos de tangencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 959

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Tangentes a una elipse desde un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un arco de centro el punto dado P y radio hasta uno cualquiera de los dos focos.

2 – Se dibuja otra arco de centro el otro foco y radio la longitud del eje mayor, 2a.
3 – Se localizan los puntos de corte de ambos arcos (puntos 1 y 2).
4 – Dibujar rectas que partan de los puntos de corte de los dos arcos hasta el foco por el que pasa el arco que tiene de centro el punto dado, P.
5 – Las mediatrices de las anteriores rectas son las dos posibles tangentes buscadas.

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Conocida una elipse trazar dos tangentes a la elipse y paralelas entre ellas tal que la distancia que hay de una a la otra sea conocida, d.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la circunferencia focal (centro F1 y radio 2a)

2 – Con centro en cualquier punto, x, de la circunferencia focal hacer un arco de radio el doble de la distancia dada, 2d. Este arco la cortará en el punto Y. En realidad la corta en dos puntos, pero el otro nos dará la solución simétrica de la que muestro en la imagen.
3 – Unir X con Y
4 – Con centro en F1 y radio la distancia focal, 2c, hacer otro arco que corte a XY (punto Z)
5 – Realizar un nuevo arco con centro en F2 y radio ZY (o bien ZX), que cortará a la circunferencia focal en el punto 1
6 – Unir 1 con F2 hasta cortar a la circunferencia focal, punto 2
7 – Las mediatrices de los segmentos 1-F2 y 2-F2 son las tangentes buscadas. Existen otras dos simétricas respecto del eje menor, que no he dibujado.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 957

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Diámetros conjugados de una elipse, por afinidad, conocidos los ejes mayor y menor

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SOLUCIÓN

I – En la circunferencia de radio "a" dibuja dos diámetros perpendiculares entre sí.
2 – Centrate en uno de esos diámetros, después harás lo mismo con el otro. Une el extremo de ese diámetro con donde la prolongación del eje menor corta a la circunferencia de radio "a", hasta que corte al eje mayor.
3 – Donde corta al eje mayor se une con el extremo del eje menor.
4 – Por el extremo del diámetro haces una perpendicular al eje mayor y donde corte a la recta anterior es el extremo del diámetro conjugado buscado.
5 – Une ese extremo con el centro de la elipse y ya tienes uno de los diámetros conjugados.
6 – Repite lo mismo con el otro diámetro perpendicular que se hizo en la circunferencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 956

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Dada una elipse cuyos ejes miden 6 y 4 cm, hallar la longitud del diámetro que forma 45º con los ejes. Obténgase igualmente la dirección de su diámetro conjugado.

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SOLUCIÓN

Con el mismo centro de la elipse traza una circunferencia de diámetro el eje mayor.
Llamaré a un extremo del eje menor A y si lo prolongas hasta cortar a la circunferencia, ese será su afín A’.
Elige un punto cualquiera del diámetro que forma 45º (lo llamaré X).
Une X con A hasta cortar al eje mayor.
Ese punto de corte lo unes con A’.
Por X levantas una perpendicular al eje mayor hasta cortar a a línea anterior, ese es X’.
Unir X’ con el centro de la elipse y prolongarla hasta cortar a la circunferencia, ese punto será M’.
Por M’ hacer una perpendicular al eje mayor de la elipse.
Donde corte al diámetro que forma 45º es su extremo, punto M.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 955

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Dada una elipse y un diámetro hallar su conjugado

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta paralela al diámetro dado en cualquier sitio.
2 – Hallar el punto medio tanto de la paralela anterior como del diámetro dado.
3 – Unir ambos puntos medios y ya se tiene el diámetro conjugado del dado.

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