Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 992

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Distancia entre un punto A y una recta R

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SOLUCIÓN

PRIMERA OPCIÓN

A – Hacer un plano con la recta y el punto dado
B – Abatir la recta y el punto
C – En el abatimiento se traza una perpendicular a la recta que pase por el punto. Esa es la verdadera magnitud entre la recta y el punto

SEGUNDA OPCIÓN

D – Hacer un plano perpendicular a la recta y que pase por el punto dado.
E – Hallar la intersección de la recta dada con el plano anterior.
F – Unir el punto intersección anterior con el punto dado, y esas son las proyecciones de la mínima distancia pedida (no están en verdadera magnitud).
G – Aplicando lo que se expuso en el ejercicio 1 se determina su verdadera magnitud

TERCERA OPCIÓN ( por cambio de plano )

H – Haces dos cambios de plano hasta convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a una de las proyecciones y la tercera perpendicular)
I – Hacer el cambio de plano del punto dado con las mismas líneas de tierra
J – En el último cambio de plano la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto

CUARTA OPCIÓN

K – Haces dos giros para convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (primer giro con el eje vertical, segundo giro con el eje de punta)
L – Giras el punto dado con los mismos ejes y ángulos
M – En el último giro la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 991

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Hallar la distancia que hay entre el punto A y el plano.

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SOLUCIÓN

1ª OPCIÓN

I – Hacer una recta perpendicular al plano pasando por el punto dado
II – Hallar la intersección entre la recta perpendicular al plano y el plano
III – La distancia entre el punto intersección y el punto dado es la distancia pero en proyección. Para hallar su verdadera magnitud se aplica el primer método.

2ª OPCIÓN ( por cambio de plano )

IV – Convertir el plano dado en proyectante mediante un cambio de plano (segunda línea de tierra perpendicular a la traza del plano)
V – Cambiar de plano el punto con la misma línea de tierra
VI – En el cambio de plano se traza una perpendicular al plano hasta el punto dado. Esa es la distancia entre plano y punto, ya en verdadera magnitud

3ª OPCIÓN

VII – Convertir el plano dado en proyectante mediante un giro (eje de giro vertical o de punta)
VIII – Girar el punto con el mismo eje
IX – En la proyección girada se traza una perpendicular al plano hasta el punto dado. Esa es la distancia entre plano y punto, ya en verdadera magnitud

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 990

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Determinación de la intersección de una recta con un plano, si las proyecciones de la recta cortan a la línea de tierra fuera de los límites del papel.

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SOLUCIÓN

1ª OPCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano

2 – Cambiar de plano tanto la recta como el plano
3 – En el cambio de plano la intersección de ambos es inmediata, punto Z
4 – Deshacer el cambio de plano del punto Z

2ª OPCIÓN

5 – Se hace que la recta R esté contenida en un plano proyectante, q’

6 – Donde corte a la traza vertical del plano dado, punto V, es un punto de la intersección del plano dado P con el que contiene a la recta, Q
7 – Se dibuja un plano auxiliar (horizontal, por ejemplo), T
8 – Se determina la intersección del plano auxiliar T con el plano proyectante Q, recta de punta X
9 – Se halla la intersección del plano auxiliar T con el plano dado P, recta horizontal Y
10 – Se determina el punto común a los tres planos, P, Q y T, que está donde se corten las dos intersecciones entre planos, X e Y, dando el punto común W
11 – El punto W y el punto V pertenecen a los planos P y Q, por lo que forman la intersección entre los dos planos
12 – Por último, donde esta intersección V-W, corte a la recta dada, R, es el punto intersección del plano P con la recta R (punto Z)
13 – Si el punto V tampoco es posible, se recurre a otro plano horizontal o frontal para hallar un segundo punto que nos de la intersección entre el plano P y el Q

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 989

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Dado un soporte compuesto por un tronco de pirámide recto con bases triangulares equiláteras, coronado en ambas bases por dos tetraedros de igual arista que las bases sobre las que se apoya.

D tiene mayor cota que A.
A (47, 83.5, 59.5)
B (72.5, 84.5, 115)
C (16.5, 33, 129.5)
Conociendo tres puntos se pide :
a) Trazas del plano ABC.
b) Ángulo que forma dicho plano con los planos de proyección.
c) Lado de las bases mayor y menor del tronco de pirámide.
d) Proyecciones del tronco de pirámide.
e) Proyecciones de los dos tetraedros.
Nota : Las coordenadas son (alejamiento, cota, referencia)

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SOLUCIÓN

1 – Colocados los tres puntos A, B y C, se hace un cambio de plano para colocar el triángulo ABC en proyectante (línea de tierra segunda perpendicular a la dirección de la traza del plano que forma ABC), dando a’1b’1c’1

2 – Hacer otro cambio de plano para que el triángulo ABC esté en verdadera magnitud (tercera línea de tierra paralela a a’1b’1c’1, dando a1b1c1
3 – En el último cambio de plano se dibuja el cuarto vértice e1, del trapecio formado por ABCE
4 – En el último cambio de plano se hacen los abatimientos de las caras BCDF y ADEF, respecto de sus trazas c1b1 y a1e1, respectivamente. En realidad solo se dibujan las caras trapeciales en verdadera magnitud (líneas verdes relleno de rosa)
5 – Se desabaten los puntos (D) y (F) mediante perpendiculares a sus respectivas trazas b1c1 y a1e1, donde se corten ambas perpendiculares son las proyecciones de los puntos, d1 y e1
6 – Se determina la altura de esos puntos (líneas naranjas rellenas de azul)
7 – A partir de la proyección a’1b’1c’1, se llevan esa alturas (en perpendicular a esa proyecciones) y asta la perpendicular a la tercera línea de tierra que pasa por d1 y e1
8 – Ya solo queda ir deshaciendo los cambios de plano

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 988

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Se ha considerado una pirámide recta de base hexagonal (ver perspectiva adjunta) para la elaboración de patas niveladoras de máquinas.
Se pide :
1 – Representar las proyecciones de la entrecara y determinar su magnitud.
2 – Representar el plano determinado por A, B y V.
3 – Representar las proyecciiones del centro de la base y determinar la altura de la pirámide.
4 – Representar las proyecciones de la pirámide.
5 – Representar el plano beta determinado por B, X y el punto medio de la altura.
6 – Representar las proyecciones y verdadera magnitud de la sección que origina beta sobre el sólido.
Datos :
A ( Alejamiento 11 mm, cota -31 mm, distancia al magren derecho del formato 72 mm)
B ( Alejamiento 67 mm, cota 23 mm, distancia al magren derecho del formato 78 mm)
V ( Alejamiento -36 mm, cota 64 mm, distancia al magren derecho del formato 159 mm)
El único vértice de la base que se encuentra a la derecha de A y B es X.

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SOLUCIÓN

Para la determinación de las magnitudes de la pirámide se construirá un hexágono con el valor entre caras de la magnitud AB abatida. Para ello basta con levantar dos líneas a 30º y donde se corten es el centro del hexágono.
De dicho hexágono se determina el valor de su diagonal, la cual se utilizará para dibujar la sección media de la pirámide (ver la figura de análisis), que es un triángulo isósceles de lados iguales a la magnitud VA y VB tomadas del abatimiento.
La altura de la sección media es el valor de la altura de la pirámide.

Si la recta AB fuese vertical (o de punta), la sección ABV seria proyectante a la vez que la base hexagonal también (ver la figura de análisis).
En esa situación la sección VME estará en verdadera magnitud, la cual está formada por cantidades ya averiguadas anterioremente. Si se prefiere se puede trabajar con la sección VOM.
Para ello se debe colocar la recta AB en posición vertical (o de punta), para lo que se recurre a dos cambios de plano. El primer cambio de plano (en verde) con la línea de tierra paralela a la proyección horizontal de AB y la tercera perpendicular (en naranja).

En el último cambio de plano se dibujará la sección VAE (en azul oscuro) en verdadera magnitud, siendo VE el valor de la arista lateral del cono deducida anteriormente y el segmento ME extraído del hexágono que se dibujo en verdadera magnitud anteriormente.
Si por el vértice V1 se hace una perpendicular (en amarillo) al lado A1-E1 se obtiene la altura y el centro de la base, O1.
También se podía haber trabajado con el triángulo VMO y de esa manera obtener directamente la posición del centro.
Se deshace el cambio de plano (líneas azul claro y naranja) del centro, O, de la base. Siendo el plano VEO proyectante en la otra proyección, por lo que el centro O estará sobre la altura del triángulo VAB.
Para las otras proyecciones se lleva la medida correspondiente (s y t).
Las proyecciones del punto E se determinan de la misma forma (en marrón y naranja) que las del centro O (medidas u y v).

Como el hexágono es simétrico y ya se conocen tres vértices, A-B-E, y el centro, O, basta con unir las proyecciones de esos puntos con el centro y llevar esa misma distancia hacia el otro lado (ver la figura de análisis de la parte superior).

Ya solo queda unir los seis vértices de la base entre sí y con el vértice de la pirámide.
Disculpar si mi nombre estorba mucho para ver los dibujos, pero he utilizado una plantilla en la que lo imprime un poco grande y eran demasiados dibujos para ponerme de nuevo a cambiarlos.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 987

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Proyecciones de la esfera con centro en A que se apoya en las rectas r y s.

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SOLUCIÓN

1 – Haces dos cambios de plano, el primero con la línea de tierra paralela a las proyecciones de la recta y el segundo con la línea de tierra perpendicular a las rectas.
2 – En el último cambio de plano las dos rectas se verán como puntos.
3 – Cambia, con las mismas líneas de tierra, el centro de la esfera.
4 – El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta las rectas (que se ven como puntos en el último cambio de plano).
5 – Dibújala.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 986

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Cuadrado del que se conocen dos vértices y que el tercero está sobre el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

Existen varias posibles soluciones, dependiendo de que puntos se elijan de entre los varios posibles. El enunciado que das no dice nada al respecto de cual elegir, por lo que yo he elegido la que me ha sido más cómoda o que no se situaba sobre las otras proyecciones. Sea cual sea, el proceso a seguir es el mismo.

MEDIANTE CAMBIO DE PLANO

1 – Haces dos cambios de plano para convertir el segmento dado en uno perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal y la tercera perpendicular a la nueva proyección)

2 – En el segundo cambio de plano se hace una perpendicular a a’1b’1, y donde toque a la segunda línea de tierra es el punto buscado c’1
3 – En el segundo cambio de plano con centro en a1b1 haces un arco de radio igual a la verdadera magnitud del lado, L
4 – Mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra por la proyección c’1 hasta el arco anterior se consigue la proyección c1. Existen dos posibilidades, como ya dije he elegido uno cualquiera.

5 – Conocidas las dos proyecciones (en los cambios de plano) del punto C se deshacen los cambios de plano
6 – El cuarto vértice del cuadrado, D, lo logras haciendo paralelas a los lados AB y BC.
7 – A partir de ahí se levanta el cubo

MEDIANTE ABATIMIENTO :

a – Trazas el plano perpendicular a AB pero pasando por el vértice B>

b – Abates el plano y el punto B
c – En el abatimiento con centro en B y radio el lado del cubo en verdadera magnitud, trazas un arco
d – Donde este arco corte a la traza horizontal del plano es la proyección horizontal del punto C
e – Llévala hasta la línea de tierra para obtener la proyección vertical de C

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 985

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Hallar un plano bisector de otros dos

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SOLUCIÓN

Mediante un abatimiento.

1 – Trazas un plano perpendicular a la recta intersección de los dos planos
2 – Hallas la intersección del plano perpendicular con cada uno de los dos planos.
3 – Abates el plano formado por las dos rectas intersección, y por supuesto, también abates las dos rectas intersección
4 – En el abatimiento determinas la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas intersección
5 – Desabates esa bisectriz, y esta junto con la recta intersección de los planos iniciales son las dos rectas que forman el plano bisector buscado

Mediante un cambio de plano.

a – Haces los cambios de plano necesarios para que la recta intersección se convierta en vertical o de punta.
b – En el último cambio de plano los dos planos iniciales se ven como dos rectas
c – Hallar la bisectriz del ángulo formado por los dos planos en el último cambio de plano
d – Deshacer el cambio de plano de esa recta bisectriz, que junto con la recta intersección de los dos planos iniciales forma el plano bisector

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 984

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Por el punto A(5,1) trazar la recta (m) que forma 60º con el primer bisector y tal que su traza horizontal tiene alejamiento 7 (tomarla más a la izquierda)

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SOLUCIÓN

1 – Hacer el cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la primera.

2 – Cambia de plano el punto A y el plano bisector
3 – En el cambio de plano, por A, trazar una recta que forme 60º con el plano bisector.
4 – Se hace un nuevo cambio de plano, con la línea de tierra paralela al plano bisector.
5 – Se cambia de plano el punto B y el punto A.
6 – Con centro en A y radio hasta B se traza un arco.
7 – Se marca una paralela a 7 cm (70 mm) de alejamiento.
8 – Donde corte a la segunda línea de tierra, es la traza horizontal cambiada de plano.
9 – Al unirlo con el punto A en el segundo cambio de plano se obtiene proyección de la recta girada.

10 – Esta toca a la tercera línea de tierra en e punto C.
11 – Se lleva el punto C hasta la circunferencia del último cambio de plano.
12 – Se une le punto de C con A, en el último cambio de plano.
13 – Se une C con A en el último cambio de plano.
14 – Se lleva el vértice H hasta la unión de A y C.
15 – Conocido el alejamiento de H se lleva a la proyección horizontal.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 983

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Dadas dos rectas A y B que se cruzan se pide hallar un segmento paralelo a un plano dado de tal forma que se apoye en A y en B.

Datos :
La recta A que pasa por M(50, 110, 0) y N(140, 20, 80)
La recta B que pasa por O(40, 0, 40) y P(140, 60, 10)
El plano alfa que pasa por Q(0, 0, 0) R(20, 30, 0) y S(40, 0, 60)

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SOLUCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano de todo con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano (en azul)

2 – Volver a hacer otro cambio de plano de todo con la tercera línea de tierra perpendicular a la traza del plano cambiada (en magenta)
3 – En el último cambio de plano el punto de corte de las dos proyecciones de las rectas es la recta buscada x1y1
4 – Deshacer los cambios de planos mediante perpendiculares a las líneas de tierra. La verdadera magnitud está en el primer cambio de plano.

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