Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 982

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Hallar la altura correspondiente al vértice B1-B2 y la verdadera magnitud de esta.

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SOLUCIÓN

El problema en definitiva se trata de determinar la mínima distancia entre un plano (la cara ADC) y un punto (el vértice B), el que formen o no un tetraedro es irrelevante.
Se puede hacer de muchas formas una de las que yo personalmente considero más fáciles, consiste en transformar el plano en proyectante mediante un cambio de plano y allí si se ve la distancia del plano al punto en verdadera magnitud.

1º – Por ello, hago una segunda línea de tierra perpendicular a la traza del plano, CD, formado por la cara ADC.

2º – Cambio de plano todos los puntos.
3º – En el cambio de plano levanto una perpendicular a la cara ADC por el punto B, donde corte a esta, punto X, es la verdadera magnitud de la altura del punto B medido respecto de la cara ADC. Si solo se desea saber el valor de esa distancia ya se ha acabado el problema.
4º – Si se desea hallar la proyección de dicha altura, se realiza por la proyección horizontal del punto B una perpendicular a la traza del plano, CD, y se lleva hacia ella el punto X, siendo b-x la proyección horizontal de la altura de B respecto de ADC, pero en proyección.
5º – Para determinar su cota se mide la cota del punto X en el cambio de plano se lleva por correspondencia.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 981

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Representar un cubo, conocida su diagonal principal, AB, que es una recta horizontal, estando el vértice c sobre el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

7 – Se realiza un cambio de plano del segmento AB, con la segunda línea de tierra, L.T-2, perpendicular a la proyección horizontal de AB

8 – Sobre la media sección principal obtenida antes, se dibuja una perpendicular a la hipotenusa que pase por el vértice del ángulo recto. Esto nos da la medida Z

9 – En el cambio de plano, con radio Z y centro en A’1-B’1, se traza un arco. Donde este arco corte a la línea de tierra es el vértice C’1

10 – De nuevo en la media sección principal se mide la longitud X, que hay entre un extremo y el punto por el que se hizo la perpendicular a la hipotenusa.

11 – Desde el extremo A de la proyección horizontal de A-B se mide la distancia X, y por ese punto se dibuja una perpendicular a A-B
12 – Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra, L.T-2, que parta de C’1 se consigue la proyección horizontal de C en la perpendicular del apartado anterior.

13 – La proyección vertical de C estará sobre la línea de tierra primera, L.T 1
14 – Por la proyección horizontal de A se hace una paralela a B-C, y por el extremo B otra paralela a A-C. Donde se corten es otro vértice del cubo, D
15 – A-C-B-D es la sección principal del cubo. Repetir en la proyección vertical.
A partir de aquí solo resta levantar el cuerpo.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 979

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Hallar un plano conocida su traza horizontal y el ángulo que forma con el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

1 – Situada la traza horizontal del plano, hacer una segunda línea de tierra (primer dibujo) perpendicular a la traza del plano (primer dibujo)

2 – Desde donde la traza horizontal del plano (primer dibujo) toca a la segunda línea de tierra se levanta la traza vertical cambiada de plano formando respecto de la segunda línea de tierra el ángulo que forma el plano con el plano horizontal de proyección, P.H (primer dibujo)
3 – Se toma un punto, X’1, cualquiera de la traza cambiada (segundo dibujo)
4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra (tercer dibujo) desde ese punto hasta tocar a la línea de tierra, X, y levantando una perpendicular por él se lleva la medida de la cota (marcada con " = " en el tercer dibujo) para obtener su proyección vertical, X’
5 – Unir (cuarto dibujo) donde la traza horizontal del plano toca a la primera línea de tierra con la proyección vertical de X y esa es la traza vertical del plano

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 978

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Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, una de ellas frontal

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SOLUCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la proyección vertical de la recta frontal
2 – Cambiar de plano ambas rectas. En el cambio de plano la recta frontal se habrá transformado en vertical
3 – En el cambio de plano, hacer una recta perpendicular a la recta genérica y que pase por la recta frontal (que se ve como un punto)
4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra por el punto de corte de la anterior con la recta genérica hasta cortar a su proyección vertical y ese es uno de los extremos de la recta buscada
5 – Trazar por ese punto una recta paralela a la segunda línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical de la recta frontal y esté es el segundo extremo de la recta buscada
6 – Llevar, mediante perpendiculares a la primera línea de tierra, los extremos de la recta hallada hasta tocar a sus correspondientes proyecciones horizontales.
7 – Unir esos puntos para determinar la proyección horizontal

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 977

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Recta perpendicular a otras dos, R y S, que se cruzan (o mínima distancia entre dos rectas que se cruzan). Mediante cambios de plano

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SOLUCIÓN

1 – Si las dos rectas son oblicuas hacer un primer cambio de plano con la línea de tierra segunda paralela a una cualquiera de las dos rectas, por ejemplo a r. Cambiar de plano las dos rectas con la misma línea de tierra, las nuevas proyecciones obtenidas son r1′ y s1′
2 – Se hace un segundo cambio de plano con la tercera línea de tierra perpendicular a la recta a la que se hizo la segunda línea de tierra paralela, es decir a r1′, y se cambia de plano las dos rectas. Las nuevas proyecciones son r1 y s1
3 – En el último cambio de plano una se verá como un punto, en nuestro ejemplo r1, y la otra oblicua, s1
4 – En el último cambio de plano se traza una perpendicular a s1 pasando por r1 (que es un punto), y esa es la mínima distancia (o perpendicular a las dos rectas) en verdadera magnitud.
5 – El punto donde esa perpendicular toque a s1 (punto x1) se lleva a s1′ mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra. Con esto conseguimos x1′
6 – En el primer cambio de plano por x1′ se traza una perpendicular a r1′ y donde toque a r1′ es el otro extremo de la recta, al que llamaré y1′
7 – Hacer perpendiculares a la segunda línea de tierra por x1′ e y1′ hasta las proyecciones horizontales de las rectas, r y s. Esto da los puntos x e y que unidos forman la proyección horizontal de la recta buscada, pero en proyección, no es su verdadera magnitud
8 – Subir los puntos x e y mediante perpendiculares a la primera línea tierra hasta las proyecciones verticales de las rectas, r’ y s’, dando x’ e y’ extremos de la proyección vertical de la recta buscada
9 – Si una de las rectas iniciales fuese horizontal o frontal, solo es necesario un cambio de plano con la línea de tierra segunda perpendicular a la proyección de la recta horizontal o frontal que no es paralela a la línea de tierra. A partir de ahí lo mismo que en los apartados 4, 5 y 6.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 976

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Dada la chimenea interior, hallar la verdadera magnitud de las cara lateral ABCD y la placa superior CDEF, utilizando cambio de planos.

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SOLUCIÓN

Para la cara ABCD :

1 – Como es una cara (plano) proyectante (se ve en una proyección como una línea) solo es necesario un cambio de plano para determinar su verdadera magnitud. La línea de tierra segunda, LT-2, es paralela a la proyección horizontal.

2 – Se cambia de plano cada uno de los puntos.
Para ello las cotas se pueden medir directamente desde la primera línea de tierra o para que no salga tan lejos se puede considerar como cota cero los puntos más bajos (a’ y b’) y solo hace falta medir la diferencia de cota, hc y hd.
3 – Uniendo los puntos en el cambio de plano conseguimos la verdadera magnitud, a1′-b1′-c1′-d1′.

Para la cara CDEF :

a – Lo habitual es determinar las trazas del plano y mediante un primer cambio de plano convertirlo en proyectante, para después con un segundo cambio de plano transformarlo en horizontal o frontal.
También se puede trabajar con rectas horizontales o frontales que evita el que las trazas del plano salgan fuera de los límites del papel. Utilizaré este camino.
El segmento ED ya es una recta horizontal (su proyección vertical es paralela a la línea de tierra) por lo tanto su proyección horizontal nos da la dirección de la traza horizontal del plano. Pero, además, como ese mismo segmento ED es una recta frontal (su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra) su proyección vertical es paralela a la traza vertical del plano.
En definitiva, el plano es paralelo a la línea de tierra ya que las proyecciones de ED son paralelas a las trazas del plano y estas son paralelas a la línea de tierra.

b – Conocidas las direcciones de las trazas del plano se dibuja una línea de tierra, LT-3, perpendicular a una de sus trazas (en mi dibujo a la proyección vertical e’d’).
c – Se cambian de plano los cuatro puntos.
Para ello, igual que antes, se pueden medir los alejamientos respecto de la línea de tierra original o mejor para que ocupe menos sitio se miden a partir del punto de menor alejamiento, f ó c. De esta forma f y c tienen alejamiento nulo y los otros dos, d y e, un alejamiento z.
Conseguidas las proyecciones del primer cambio de plano se unen, c2-d2-e2-f2, debiendo quedar proyectante (como una línea).
d – Para el siguiente cambio de plano, la línea de tierra, LT-4, es paralela a la proyección proyectante, c2-d2-e2-f2.
e – Se realiza el cambio de plano de los cuatro puntos.
Vuelvo a comentar que las cotas se pueden medir desde la línea de tierra LT-3 pero es más corto si se hace a partir del punto de menor cota, e’, respecto de esa línea.
De esta forma la proyección e’ tiene cota nula, y los otros tres d’, c’ y f’ las cotas X, Y+W e Y, respectivamente.
f – Uniendo las nuevas proyecciones, c2′-d2′-e2′-f2′, se obtiene la verdadera magnitud de la cara.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 975

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Trazado de las proyecciones de la altura de un cuerpo (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, h, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, p. Mediante cambio de plano de un plano.

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SOLUCIÓN

40 – Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.

41 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra, LT-2, perpendicular a la traza horizontal del plano.
42 – Cambiar de plano el plano que contiene a la directriz o base del cuerpo, p1′.
43 – Llevar el punto del que parte la altura, C, hasta la traza del plano cambiada, c1′.
44 – Desde ese punto, c1′, levantar una perpendicular al plano, p1′.
45 – Sobre la perpendicular medir la verdadera magnitud de la altura, H.
46 – Llevar su extremo, v1′, a la perpendicular a la traza del plano en la proyección horizontal. El segmento C-V es la proyección horizontal de la altura.
47 – Llevar el extremo a la proyección vertical, V’.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 974

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Trazado de las proyecciones DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA.

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SOLUCIÓN

33 – Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.

34 – Sobre la perpendicular elegir un punto cualquiera, 11.
35 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra, LT-2, paralela a la proyección horizontal de la recta, C-11.
36 – Cambiar de plano los puntos de la recta, c1′-11′.
37 – Sobre esa recta, en el cambio de plano, se lleva la verdadera magnitud de la altura del cuerpo, H.
38 – Llevar su extremo, V1′, hasta la proyección horizontal de C-11. El segmento C-V es la proyección horizontal de la altura.
39 – Subir este extremo, V, hasta la proyección vertical, V’.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 973

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Convertir un plano general (u oblicuo) en un plano de perfil mediante cambios de plano.

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SOLUCIÓN

1 – La segunda línea de tierra (para el cambio de plano) se situará perpendicular a una de las trazas del plano.
2 – Se cambia el plano y se obtiene un plano proyectante.
3 – La tercera línea de tierra se hará perpendicular a la traza del plano cambiado. La nueva traza, en el último cambio de plano, es perpendicular a la tercera línea de tierra.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 972

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¿ Qué es y para qué se utiliza un cambio de plano ?.

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SOLUCIÓN

La utilidad o el objetivo del cambio de plano se puede entender de dos formas, aunque ambas se complementan.

UTILIDAD I.

Un cambio de plano sirve para cambiar el punto de vista o dirección desde el cual el observador ve el objeto a representar. También se puede decir que se está cambiando la dirección de proyección o bien que se están moviendo los planos de proyección.
De cualquiera de esas formas lo que estamos haciendo es ver o proyectar el objeto desde un punto distinto que nos da una nueva visión del objeto. Por supuesto la nueva dirección no se elige al azar sino con un objetivo.
Por ejemplo a veces una cara de un cuerpo está oblicua y por tanto deformada respecto de las proyecciones que tenemos por lo que si la miramos de frente (le hacemos un cambio de plano) la podemos apreciar en su verdadera forma.
Otro ejemplo es cuando determinados cuerpos tienen una representación sencilla en determinadas posiciones. Un cono recto con su eje totalmente oblicuo se representa por una elipse (su base) y tangentes a esa elipse (sus generatrices). Sin embargo si colocamos el eje en posición vertical su proyección vertical es un triángulo y la horizontal una circunferencia.

UTILIDAD II.

Si un elemento lo transformamos en otro más simple se simplifican muchas operaciones.
Lo que hacemos es transformar planos (o caras) en rectas y rectas en puntos.
Por ejemplo, el ángulo entre dos planos no se puede medir directamente en sus trazas o respecto de cualquier otra línea que lo forman. Pero si ambos planos los ponemos de canto a la dirección en la que miramos se ven como dos rectas y ahí sí se puede medir el ángulo directamente.
Otro ejemplo, la distancia entre dos rectas no se puede medir directamente, pero si transformamos una de ella hasta colocarla vertical se verá como un punto, y la distancia entre ese punto y la otra recta sí se puede medir directamente.

Resumiendo, lo utilizamos para colocar los objetos en una posición que sea más favorable para que sea más sencillo representarlos o bien para transformarlos en otros más sencillos en los que es más simple realizar determinadas operaciones.

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