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Ejercicios resueltos de cilindros en diédrico – 998

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El punto O2 (-55, 80, 100) es el centro de una circunferencia de 60 mm de diámetro, base superior de un cilindro oblicuo apoyado en el plano horizontal de proyección cuyo centro de la base inferior es el punto O1 (0, X, 0) y el eje del cilindro mide 120 mm. Representar sus proyecciones.

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SOLUCIÓN

1 – Situar el centro O2.

2 – En la proyección horizontal, con centro O2 y radio 60 mm dibujar la circunferencia de la base superior. En proyección vertical la base es una paralela a la línea de tierra de longitud el diámetro, 2·60 mm.
3 – Situar la proyección vertical del centro O1, (0, X, 0). Uniendo la proyección vertical de O1 con O2 se tiene el eje del cilindro.
4 – Por la proyección vertical de O1 dibujar una perpendicular al eje, O1-O2. Con centro en O2 y radio la verdadera magnitud del eje, 120 mm, trazar un arco que corte a la perpendicular.
5 – La medida, Z, entre O1, en proyección vertical, y el punto de corte con el arco es la diferencia de alejamiento entre los dos centros. Desde la proyección horizontal de O2 y en perpendicular a la línea de tierra se lleva la diferencia de alejamiento, Z, y se traza una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la perpendicular a la línea de tierra que parte de la proyección vertical de O1. Siendo esta la proyección horizontal de O1.
En realidad, hay dos soluciones dependiendo de si la medida Z se toma por encima o por debajo de O2, en el gráfico solo muestro una.
6 – Obtenida la proyección horizontal de O1 dibujar la base del cilindro y las generatrices del contorno.

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Se dan los puntos B(85, 43, 45), I (150, 100, 80), T (46, 85, X), M (115, 60, Y).
Se pide construir un cilindro de revolución que como generatriz a BI, pasando las bases por B e I, estando la base que contiene a B tangente a la recta TM en el punto T.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un plano, P, que sea perpendicular a la generatriz BI y pase por el punto B.
2 – Mediante rectas horizontales o frontales, hallar las proyecciones verticales de los puntos T y M para que estén contenidos en el plano P.
3 – Abatir los puntos B, T y M respecto del plano P.
4 – En el abatimiento, hallar la mediatriz entre B y T. Desde el punto T abatido dibujar una perpendicular a TM. Donde la mediatriz de BT corte a la perpendicular de TM es el centro abatido, C, de una de las bases del cilindro. El radio es CB o CT.
5 – Desabatir la circunferencia y tenemos las proyecciones de una de las bases.

 

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cilindros – 996

Ejercicios de curvas cíclicas – 998

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Lugar geométrico de una circunferencia que rueda exteriormente por otra de radio el doble.

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SOLUCIÓN

Una nefroide es una epicicloide (la circunferencia rueda por fuera), con una relación de 1/2 entre sus radios.

Una nefroide también se puede considerar que es una pericicloide en la que la razón de los radios es 3/2.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 999

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Selectividad País Vasco, año 2006
En la figura 1 se ve un cilindro apoyado en el suelo a lo largo de una generatriz, y una pieza en forma de L que descansa sobre el cilindro y el suelo en equilibrio estable. Las dimensiones (en milímetros) del cilindro son diámetro 40 y longitud 60, y de la L 90 x 50 x 15 y espesor 20.
La pieza en L tiene dos caras apoyadas tangentes en el cilindro y una arista sobre e suelo.
El conjunto cilindro y pieza en L, una vez colocado, tiene un plano de simetría.
Se pide, a escala, completar las tres vistas dadas (vista según a, planta y alzado), dibujando en ellas la pieza en L.
Visualizar el conjunto distinguiendo las aristas vistas y las ocultas.

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SOLUCIÓN

1 – En el cambio de plano (vista A) dibujar la L en cualquier posición (en línea azul discontinua) pero tangente al cilindro.

2 – Con centro en el del cilindro, C1′, y radio hasta el vértice X1′ de la L se traza un arco hasta que corte al suelo (plano horizontal).
3 – Esto nos da el punto X2′ que es la arista de la L apoyada en el suelo. A partir de ella trazar de nuevo la L (en magenta continuo) tangente al cilindro.
4 – Llevar los puntos de la L del cambio de plano a la proyección horizontal, mediante perpendiculares al suelo. La parte entre las dos líneas dadas en el enunciado (segmentos verdes) son las aristas de la L en proyección horizontal.
5 – Subirlas a la proyección vertical a la misma altura (cota) que tenían en el cambio de plano.

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Un triángulo equilátero gira alrededor de su lado A(-70, 40, 30)-B(-35, 55, 70) hasta que su vértice C choca con el plano Q-Q´en su posición más alta posible. El plano Q-Q pasa por el punto N(-70, 0, 0) es paralelo a la recta t [(40, 0, 50);(75, 40, 50)] y forma 60º con el horizontal ascendiendo hacia la derecha. (x, y, z)

Dibujar las proyecciones diédricas del triángulo.

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SOLUCIÓN

Para determinar el vértice C puede haber muchas opciones.

OPCIÓN I – Por abatimiento

1 – Dibujar un plano, P, perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio, M.

2 – Hallar la intersección, I, entre el plano perpendicular a AB, P, y el plano Q.

3 – Aparte determinar el valor de la verdadera magnitud de la altura del triángulo equilátero. Para ello hallar primero la verdadera magnitud de AB y después dibujar un triángulo equilátero en el que se determinará su altura, h.

4 – Abatir el punto medio del lado AB, M, y la recta intersección, I, respecto del plano perpendicular a AB, P.

5 – En el abatimiento con centro en M y radio la altura del triángulo equilátero, h, se dibuja una circunferencia.

6 – Donde la circunferencia corte a la recta intersección, I, abatida son las posibles soluciones para el vértice C.

7 – Desabatir el punto C.

OPCIÓN II – Por cambio de plano

8 – Dibujar un plano perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio.

9 – Hallar la intersección, I, entre el plano perpendicular a AB y el plano Q.

10 – Aparte determinar el valor de la verdadera magnitud de la altura del triángulo equilátero. Para ello hallar primero la verdadera magnitud de AB y después dibujar un triángulo equilátero en el que se determinará su altura, h.

11 – Hacer el cambio de plano necesario para que la recta AB se convierta en vertical o de punta.

12 – Cambiar, con las mismas líneas de tierra, la recta intersección, I.

13 – Con centro en la recta AB en el cambio de plano (donde se ve como un punto) y con radio la altura en verdadera magnitud del triángulo equilátero, h, se dibuja una circunferencia. Donde la circunferencia corte a la recta intersección, I, son las dos posibles soluciones para C en el cambio de plano.

14 – Determinar las proyecciones de C. Para ello en la penúltima proyección se traza una perpendicular a AB por su punto medio y se lleva la última proyección de C a esta perpendicular mediante una perpendicular a la última línea de tierra.

 

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PLANO – 998

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 997

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PRIMERA PARTE
Cambiar de plano una recta y convertirla en horizontal o frontal (paralela a un plano de proyección )

SEGUNDA PARTE
Cambiar de plano una recta y convertirla en vertical o de punta (perpendicular a un plano de proyección )

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SOLUCIÓN

PRIMERA PARTE

Cambiar de plano una recta y convertirla en horizontal o frontal (paralela a un plano de proyección )
Lo que debes cambiar son dos puntos cualesquiera de ella.
La primera línea de tierra es paralela a la proyección de la recta, y mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra se llevan los puntos al cambio de plano con la misma cota.

SEGUNDA PARTE

Cambiar de plano una recta y convertirla en vertical o de punta (perpendicular a un plano de proyección )
Después se hace la tercera línea de tierra perpendicular a la proyección ya cambiada y se lleva el alejamiento respecto de la segunda línea de tierra.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 996

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Plano paralelo a otro a una distancia dada

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SOLUCIÓN

1 – Primer dibujo : Conocemos el plano P y la distancia Z a la que queremos hacer un plano paralelo al dado.

2 – Segundo dibujo : Dibujar una segunda línea de tierra perpendicular a una de las trazas del plano a cualquier distancia.
3 – Tercer dibujo : Elegir un punto cualquiera que tenga su proyección horizontal sobre la línea de tierra y la proyección vertical en la traza vertical del plano.
4 – Cuarto dibujo : Desde la proyección horizontal del punto elegido se traza una perpendicular a la segunda línea de tierra.
5 – Quinto dibujo : Se mide la cota, Y, del punto elegido y se lleva al cambio de plano a partir de la segunda línea de tierra. Esto nos da el punto cambiado de plano, X1′.
6 – Sexto dibujo : Unir el punto en el cambio de plano, X1′, con el punto donde la traza horizontal del plano toca a la segunda línea de tierra. Esta será la traza del plano cambiada.
7 – Séptimo dibujo : Perpendicular a la traza del plano cambiada se mide la distancia, Z, a la que se quiere hacer el segundo plano. Por ese punto se dibuja una paralela a la traza del plano cambiada y esta es la traza cambiada del plano buscado, q1′.
8 – Octavo dibujo : Por donde corta a la segunda línea de tierra se dibuja la traza horizontal del plano buscado perpendicular a la segunda línea de tierra.
9 – Noveno dibujo : Por donde la traza horizontal del nuevo plano corta a la primera línea de tierra se dibuja la traza vertical del plano buscado paralela a la del primer plano.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 995

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Ángulo que forma un plano con los planos de proyección

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SOLUCIÓN

La forma más rápida de determinar los ángulos de un plano con los planos de proyección es convertirlo en proyectante mediante un cambio de plano.
Si la segunda línea de tierra la haces perpendicular a la traza horizontal al cambiar el plano obtendrás el ángulo con el plano horizontal de proyección.

Para el ángulo con el vertical la línea de tierra será perpendicular a la traza vertical del plano.

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De un cuadrado ABCD se conocen dos vértices opuestos A(-50, 80, 0) y C(50, 0,90). El vértice B está situado en un plano horizontal de cota 80 mm y lo más cerca posible del plano vertical de proyección y en el primer diedro.
Dibujar el cuadrado.

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SOLUCIÓN

MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO

1 – Hacer un primer cambio de plano con la segunda línea de tierra (L.T – 2) paralela a la proyección horizontal del segmento A-C. En el cambio de pano se obtiene la verdadera magnitud de la diagonal del cuadrado.

2 – Desde el punto medio de A-C (punto O’1) se traza una perpendicular.

3 – A 80 mm se hace una paralela a la segunda línea de tierra y donde corte a la perpendicular anterior es el punto B buscado.

4 – Hacer un segundo cambio de plano con la línea de tierra (L.T – 3) perpendicular a la última proyección.

5 – Con centro en el segmento A-C y radio la mitad de la diagonal del cuadrado en verdadera magnitud (obtenido en el primer cambio de plano) se dibuja una circunferencia.

6 – Hacer una perpendicular a la tercera línea de tierra por la proyección del punto B hasta tocar a la circunferencia y esa es otra proyección del punto B (la marcada como b1).

7 – Por la proyección b’1 hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra y llevar sobre ella el alejamiento W tomado en el último cambio de plano, con lo que se consigue la proyección horizontal, b, del punto buscado.

8 – Subir esa proyección hasta una cota de 80 mm.

9 – Unir A con B y B con C.

10 – Hacer paralelas a A-B y B-C por C y A y donde se corten es el cuarto vértice D.

MEDIANTE ABATIMIENTO

11 – Hacer un plano, Q, perpendicular al segmento A-C pasando por su punto medio, O.

12 – Dibujar un plano, P, horizontal de cota 80 mm.

13 – Hallar la intersección del plano horizontal con el perpendicular a A-C.

14 – Abatir el punto medio de A-C, respecto del plano perpendicular a A-C.

15 – Abatir la recta intersección de los dos planos respecto del mismo plano anterior.

16 – En el abatimiento y con centro en el punto medio de A-C abatido se traza una circunferencia de radio la mitad de la verdadera magnitud de A-C.

17 – En el abatimiento donde la circunferencia corte a la intersección de los dos planos abatida es el punto B abatido.

18 – Desabatir el punto B, mediante una perpendicular a la traza sobre la que se abate y en la intersección de los dos planos.

19 – Subir esa proyección hasta una cota de 80 mm.

20 – Unir A con B y B con C.

21 – Hacer paralelas a A-B y B-C por C y A y donde se corten es el cuarto vértice D.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 993

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Dibujar un triángulo equilátero A(-6,3,9) B(8,9,1) C. El vértice C está en el plano horizontal de proyección (dar la solución más alejada)

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SOLUCIÓN

MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO
a – Se hace un primer cambio de plano de la recta AB (en verde), con la segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal de AB.

b – En el cambio de plano a’1b’1, está en verdadera magnitud, por lo que se puede aprovechar para dibujar el triángulo ABC en verdadera magnitud (líneas naranja, rellenas de gris) y de ahí extraer el valor de la altura del triángulo, h.
c – Por el punto medio, m’1, se hace una perpendicular (en azul) a a’1b’1, siendo el punto de corte con la segunda línea de tierra el punto c’1 buscado.
d – Se hace un segundo cambio de plano (en azul) con la tercera línea de tierra perpendicular a a’1b’1
e – Con centro en a1b1 se traza un arco de radio la verdadera magnitud, h, del triángulo equilátero
f – Desde c’1 se hace una perpendicular a la tercera línea de tierra y donde corte al arco es el punto c1. Al igual que antes corta en dos sitios distintos, uno a la derecha de la tercera línea de tierra (el que yo he dibujado) y otro a su izquierda. Si coges este último todo el triángulo te quedará dentro del primer diedro.
g – Deshaz los cambios de plano del punto C obtenido

MEDIANTE ABATIMIENTO
1 – Haces un plano perpendicular a la recta AB por su punto medio, M (proceso en azul), esto da las trazas del plano P (en verde). El punto C debe estar sobre la traza horizontal del plano.

2 – Se abate el punto medio M respecto de ese plano (trazado en naranja)
3 – Con centro en el punto M abatido y radio la altura del triángulo equilátero, en verdadera magnitud, se traza un arco (en magenta).
4 – Donde corte a la traza horizontal del plano, p, es la proyección horizontal del punto C, llevarlo hasta la línea de tierra para determinar su proyección vertical. En realidad el arco corta en dos puntos, uno que está por encima de la línea de tierra (el que yo he dibujado) y otro por debajo de la línea de tierra, si utilizas este segundo punto tienes el triángulo dentro del primer cuadrante.
5 – Por la proyección obtenida se levanta una perpendicular a la línea de tierra, donde la corte es la proyección vertical del punto C.
Como verás el triángulo atraviesa el plano vertical de proyección, pero yo lo he considerado transparente por lo que no he determinado la visibilidad de la figura.

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