Autor: Administrador

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Dadas tres circunferencias concéntricas, hallar un triángulo equilátero con un vértice en cada una de las circunferencias

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SOLUCIÓN

Sean las circunferencias de radios R1, R2 y R3.

Con centro en un punto arbitrario A de la circunferencia mayor y radio R3 trazar un arco, determinando sobre la misma el punto O1, centro que se toma para trazar una circunferencia de radio R1. Esta circunferencia corta a la intermedia en dos puntos B y B’ que nos definen los segmentos B A y B’ A, lados respectivos de dos triángulos equiláteros, soluciones ambos del ejercicio.
Si al trazar la circunferencia de centro O1, resulta tangente a la intermedia el ejercicio presenta una solución, no existiendo ninguna en el caso de que no se corten.

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Triángulos – 996

Triángulos – 995

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Dadas tres rectas a, b, c que se cortan formando un triángulo trazar una circunferencia que las corte según cuerdas de magnitud igual al radio

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SOLUCIÓN

No hay más que trazar triángulos equiláteros con vértices en el incentro y con bases en cada uno de los lados. Esto es posible porque la distancia del incentro a los tres lados es la misma, el radio de la circunferencia inscrita.

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Triángulos – 994

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Dibujar un triángulo rectángulo conocidas la hipotenusa, a = 68 mm, y la diferencia de los ángulos agudos, B – C = 28º

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado a = 68 mm = BC

2 – Con centro en su punto medio se traza una semicircunferencia (radio a / 2)
3 – Desde el punto medio de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al complementario del ángulo diferencia, 90º – ( B – C )
4 – Donde corte esta a la semicircunferencia es el tercer vértice A

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Triángulo conocidos el valor de dos de sus ángulos A = 60º y B = 45º y el valor del radio de la circunferencia circunscrita R = 30 mm

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un segmento de longitud cualquiera, A-B’

2 – Por sus extremos, A y B’, levantar ángulos de 60 y 45º, respectivamente. Ambas se cortarán en el punto C’
3 – Hallar la circunferencia circunscrita del triángulo A-B’-C’, siendo su centro O’
4 – Unir A con el centro O’ y el centro, O’, con el vértice B’
5 – Sobre A-O’ medir el radio de la circunferencia inscrita dado, a partir de A, obteniéndose el centro de la circunferencia buscada, O
6 – Unir O’ con B’ y hacer una paralela a O’-B’ por O. Donde esta corte a A-B’ es el vértice B
7 – Prolongar esta última hasta cortar a la otra línea, consiguiendo el tercer vértice, C

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Triángulos – 993

Triángulos – 992

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Trazar los triángulos que tienen por mediana ma = 60 mm, ángulo B = 60º y la suma del lado c más la mitad del lado a, c + (a / 2) = 90 mm

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SOLUCIÓN

1 – Trazar la suma de lado c más la mitad del a (segmento MX)

2 – Con centro en su extremo, M, y radio el de la mediana, ma = 60, se traza un arco
3 – Desde el otro extremo, X, se levanta una línea que forme la mitad del ángulo dado, B / 2 = 60 / 2 = 30º, respecto del segmento MX
4 – El arco y la recta anterior se cortarán en el punto A, vértice del triángulo. En realidad se cortan en dos puntos, el punto A y otro no señalado A’ que da una segunda solución.
5 – Unir A con X y dibujar su mediatriz. Donde esta corte a MX es el vértice B del triángulo buscado.
6 – Medir la distancia MB y llevarla al otro lado del punto M, obteniendo el tercer vértice C del triángulo.

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Triángulos – 991

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Triángulo del que se conocen el ángulo A = 60º, la altura hb = 40 mm y la suma de los lados b + c = 110 mm

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la suma de los lados, b + c = CX = 110 mm

2 – Por el extremo X levantar la mitad del ángulo dado, A / 2 = 60º / 2
3 – Hacer una paralela a la suma de los lados, CX, a una distancia la de la altura dada, hb = 40 mm
4 – Donde corte al semiángulo A / 2 es el segundo vértice B
5 – Unir B con X y determinar su mediatriz. Donde esta corte a CX es el tercer vértice A

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Triángulos – 990

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Dibujar un triángulo ABC, conocido el vértice A y que los vértices B y C deben estar sobre las rectas S y R, respectivamente. También se conoce el valor del ángulo A = 30º y la reacción entre los lados, AB = 2·AC.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar desde A una perpendicular, AX, a la recta R.

2 – Girar AX un ángulo igual al valor del ángulo A, 30º, obteniendo AX’.
3 – Desde X’ dibujar una perpendicular a AX’ (recta R’).
4 – por el punto medio de AX’ hacer una paralela a R’ (recta R").
5 – Donde R" corte a S es el vértice B.
6 – Unir A con B y a partir de ella levantar el ángulo A, 30º.
7 – Donde esta última corte a R es el tercer vértice C.

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Triángulos – 989

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Triángulo conociendo el radio de la circunferencia circunscrita, R = 30 mm, el lado a = 50 mm y la altura del lado b, hb = 42 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado a = BC

2 – Con centro en B y C y con radio el de la circunferencia circunscrita, R, se trazan dos arcos. El punto de corte de los dos arcos, O, es el centro de la circunferencia circunscrita. Dibujarla.
3 – Con centro en B y radio la altura del lado b, hb, se dibuja un arco.
4 – Desde el vértice C dibujar una tangente al último arco. Donde está tangente corte a la circunferencia circunscrita es el tercer vértice A.

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Triángulos – 988

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Triángulo rectángulo conocida su hipotenusa, a = 50 mm, y el perímetro, p = 120 mm

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un segmento de longitud la hipotenusa, a = 50 mm, y sobre ella otro segmento de longitud el perímetro, p = 120 mm, para hallar la diferencia entre ambos, BX, o de otra forma, la suma de los dos catetos, b + c

2 – Desde el extremo de la suma de los catetos, X, se levanta una línea que forme 45º
3 – Desde el otro extremo, B, se traza un arco de radio igual a la longitud de la hipotenusa, a = 50 mm
4 – Donde el arco corte a la línea de 45º son las dos posibles soluciones para el segundo vértice, C y C’
5 – Desde esos puntos bajar perpendiculares y se obtiene el tercer vértice, A o A’

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Triángulos – 987

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Triángulo conocido el lado a = 60 mm, el ángulo A = 45º y la diferencia entre los otros dos lados, b – c = 30 mm

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la diferencia entre los lados, b – c = CX = 30 mm

2 – Desde un extremo, X, levantar una recta que forme un ángulo de (180º – A)/2 = 67,5º
3 – Desde el otro extremo, C, trazar un arco de radio la longitud del lado "a", 60 mm
4 – Donde se encuentren el arco y la recta es el vértice B
5 – Unir X con B, y desde B levantar un ángulo de (180º – A)/2 = 67,5º. Donde corte a la prolongación de CX es el vértice A.
El vértice A también se podía conseguir con la mediatriz de XB

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