Autor: Administrador

Triángulos – 986

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Construir el triángulo que cumpla estas tres condiciones :
1º – Su altura sobre el vértice A es de 60 mm
2º – El radio de la circunferencia circunscrita es 50 mm
3º – El ángulo A = 70º.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una circunferencia de 50 mm de radio.

2 – Dibujar un triángulo isósceles dentro de la circunferencia de tal manera que el ángulo desigual sea de 140º y tenga el vértice en el centro. Los lados iguales deben tener la misma medida que el radio.

3 – La base del triángulo isósceles es el lado AB del triángulo pedido.

4 – Para hallar el vértice C, trazas una paralela al lado AB a una distancia de 60 mm. Esta paralela corta a la circunferencia en dos puntos. Eso quiere decir que hay dos soluciones.

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Triángulos – 985

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Triángulo equilátero conocido su centro, O, y que dos de sus vértices están apoyados sobre dos rectas paralelas, R y S.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en O girar las dos rectas dadas un ángulo de 120º, obteniéndose R’ y S’.

2 – Los puntos donde se corten las rectas originales y las dadas, A y A’, son el primer vértice de las dos posibles soluciones.
3 – Unir O con A y A’ y trazar otras nuevas rectas que formen 120º con respecto a ellas. Donde corten a las rectas originales son los segundos vértices, b y B’, de las dos soluciones.
4 – Conocido el lado, AB y A’B’, trazar los triángulos equiláteros.

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Triángulos – 984

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Triángulo conocidos los lados b y c, y la mediana del otro lado, ma.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado c = AB.

2 – Con centro en uno de sus extremos, A, y radio el doble de la mediana, 2ma, se traza un arco.
3 – Con centro en el otro extremo, B, y radio el lado b se dibuja un segundo arco.
4 – Se unen los dos extremos, A y B, con el punto de corte de los dos arcos, X.
5 – Opción I : Por el extremo A hacer una paralela a BX y por X una paralela a AB. Donde ambos se corten es el tercer vértice C.
6 – Opción II : Unir B con el punto medio de AX y por A hacer una paralela a BX. Donde ambas se corten es el vértice C.
7 – Opción III : Unir B con el punto medio de AX y a partir de ese punto medio llevar la distancia que hay desde dicho punto medio hasta B. Este nuevo punto es el vértice C.

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Triángulos – 983

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Hallar un triángulo de lado BC = 10 cm, ángulo B = 75º y mediana de b = 8 cm.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el lado BC = 10 cm.

2 – Por sus extremos, B y C, levantar dos rectas que formen el ángulo dado, B = 75º
3 – Desde el extremo B trazar un arco de radio 2·mb. El punto de corte con el ángulo que partía de C es X.
4 – Unir B con X y determinar su punto medio, M.
5 – Unir M con C hasta que toque al ángulo que partía de B. El punto de corte es el vértice A.

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Triángulos – 982

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Triángulo isósceles conocida la altura, hb, y la mediana, mb, respecto de un mismo vértice B.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta (horizontal en mi dibujo) y sobre ella en cualquier punto una perpendicular con la medida de la altura, XB = hb. El extremo B es uno de los vértices del triángulo.

2 – Con centro en el extremo de la altura, B, y radio la mediana, mb, se traza un arco que corte a la recta inicial. Este punto, M, es el punto medio del lado b.
3 – Unir B con M y dividirlo en tres partes iguales.
4 – Tomar centro en la segunda división, W, a partir de B (baricentro) y con radio 2·mb/3 se dibuja un arco que corte a la línea inicial. El punto de corte, A, es el segundo vértice del triángulo.
5 – Sobre la recta inicial llevar la medida A-M hacia el otro lado y se consigue el tercer vértice C.
Nota : Con las medidas del problema el triángulo isósceles sale casi rectángulo, de ahí el que los puntos X y C o los segmentos XB y CB estén casi coincidentes.

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Triángulos – 981

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Hallar un triángulo, ABC, conocido el lado AB = 80 mm, el ángulo opuesto, C = 60º, y que la altura respecto de ese vértice es la media proporcional entre el lado AB y el radio de la circunferencia circunscrita.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado AB, y construir respecto de él el arco capaz del ángulo C.

2 – Hallar la altura, h, del vértice C trazando la media proporcional del lado AB y el radio del arco capaz (radio de la circunferencia circunscrita).
3 – Trazar una paralela al lado AB separada una distancia la altura, h, hallada.
4 – Donde la paralela corte al arco capaz es el vértice C (solo he dibujado una de las dos soluciones).

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Construir un triángulo conociendo el lado a = 45 mm, la suma de los otros dos lados b + c = 92 mm y la altura ha = 38 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el perímetro, p, sumando a + (b + c) = p.
Cuidado con la nomenclatura, es habitual denominar al semiperímetro como p, en ese caso el perímetro es 2p, pero yo llamaré al perímetro p y al semiperímetro p/2.

2 – Plantear la igualdad de áreas, a·h / 2 = p·r / 2, en la que «a» es el lado «a» o base del triángulo, h su altura, p el perímetro y r el radio de la circunferencia inscrita. Hallar r mediante una cuarta proporcional, a / p = r / h.

3 – Hallamos la diferencia, (p/2) – a, entre el semiperímetro, p / 2, y el lado dado, a (en verde en el siguiente dibujo).

4 – Sobre una recta, A-Tc, colocamos el valor de esa diferencia y por uno de sus extremos y en perpendicular a ella el valor del radio, r, de la circunferencia inscrita.

5 – A continuación hay dos posibles opciones :
5.a – Con el radio r y desde el extremo, I, de la perpendicular anterior se dibuja una circunferencia. Desde el otro extremo de la diferencia (p/2) – a se traza la tangente a la circunferencia. El ángulo que se forma entre el segmento A-Tc y la tangente es el ángulo A. (Este procedimiento es el que se ve en la figura anterior)
5.b – Unir el extremo, I, de la perpendicular con el extremo A. El ángulo formado entre esta última y A-Tc es el semiángulo A, A/2. (Este caso no lo he dibujado)
6 – Dibujar el lado a = BC, y respecto de él construir el arco capaz del ángulo A.

7 – Hacer una paralela al lado «a» a una distancia igual a su altura, ha.
8 – Donde se corten la paralela y el arco capaz es el vértice A.
9 – Unir A con B y C.

 

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Triángulos – 980

Triángulos – 979

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Hallar un triángulo conocida la suma de dos lados, a + b, su diferencia, a – b, y el lado c.

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SOLUCIÓN

1 – Colocas un segmento de longitud igual a la suma de los lados, a + b.
2 – Sobre ese segmento (encima, no a continuación) y a partir de un extremo colocas la longitud de la diferencia de los dos lados, b – c.
3 – Hallar el punto medio del segmento que queda de restar (superponer) el segmento suma, a + b, al segmento diferencia, a – b.
4 – Desde ese punto medio hasta los dos extremos (más exteriores) son los valores de los lados buscados a y b.
5 – Conocidos los tres lados a, b y c trazar el triángulo.

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Triángulos – 978

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Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa, a = 70 mm, y un ángulo C = 60º.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Colocar la hipotenusa, a = 70 mm.
2 – Determinar el punto medio de la hipotenusa (centro del arco capaz) y con centro en él y radio hasta el extremo de la hipotenusa se dibuja una semicircunferencia (arco capaz de 90º).
3 – Desde uno de los extremos de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al dado, C = 60º.
4 – Donde este ángulo corte a la semicircunferencia es el tercer vértice del triángulo. Unirlo con los extremos de la hipotenusa.

OPCIÓN II

A – Colocar la hipotenusa, a = 70 mm.
B – Desde uno de los extremos de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al dado, C = 60º.
C – Desde el otro extremo de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al complementario del dado, 90º – C = 30º.
D – Donde se corten los dos ángulos es el tercer vértice del triángulo.

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Triángulos – 977

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Triángulo del que se conocen el baricentro, G, y el lado c, ambos dibujados en una posición predefinida.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, A y B, del lado c con el baricentro.
2 – Dividir ambos segmentos en dos partes iguales.
3 – Prolongar dichas rectas y llevar a partir del baricentro y por las prolongaciones una de las divisiones obtenida.
4 – Unir los extremos A y B con los extremos de estas últimas divisiones. Donde se corten es el tercer vértice C.

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