Autor: Administrador

Triángulos – 976

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Triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa, AB, y la proyección, AP, de la mediana de uno de los catetos sobre la hipotenusa.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la hipotenusa AB y sobre ella la proyección de la mediana de un cateto, AP.

2 – Con centro en el punto medio, M, de la hipotenusa y radio la mitad de la hipotenusa, AB/2, se traza una semicircunferencia.
3 – Con centro en el punto medio, N, del segmento que hay entre el punto medio, M, de la hipotenusa y el extremo, B, que no comparte con la proyección de la mediana, se traza una semicircunferencia.
4 – Desde el extremo, P, de la proyección de la mediana se levanta una perpendicular a la hipotenusa hasta tocar a la segunda semicircunferencia. El punto de corte, W, es el punto medio del cateto BC.
5 – Unir el vértice B con el punto medio W y donde corte a la primera semicircunferencia es el tercer vértice C.

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Triángulos – 975

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Triángulo isósceles cuyo lado menor sea la mitad de la medida de cada uno de los otros lados iguales, inscrito en una circunferencia de 100 mm de diámetro.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar un lado, A’B’, de longitud cualquiera, x.
2 – Con centro en A’ y B’ y radio el doble de la longitud A’B’ = 2x trazar dos arcos que se cortarán en un punto C’. Con esto hemos construido un triángulo, A’B’C’, semejante al buscado.
3 – Determinar el circuncentro del triángulo A’B’C’. Recuerdo que el circuncentro se determina como el punto de encuentro entre las mediatrices de los lados del triángulo.
4 – Con centro en el circuncentro de A’B’C’ se dibuja una circunferencia con el diámetro dado, 50 mm.
5 – Unir el circuncentro con los vértices del triángulo, A’B’C’, y donde corten a la circunferencia son los tres vértices del triángulo buscado, ABC.

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Triángulos – 974

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Construir un triángulo ABC, conociendo los lados BC y AC, y sabiendo que las medianas que parten de A y B, se cortan en un ángulo recto, así como sus longitudes.

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SOLUCIÓN

1 – Situar el lado AC.
2 – determinar el punto medio, M, del lado AC.
3 – Con centro en la mitad del segmento AM dibujar una semicircunferencia.
4 – Con centro en M y radio un tercio de la mediana que parte de B se traza un arco.
5 – Donde el arco corte a la semicircunferencia es el baricentro, G, de triángulo.
6 – Unir A con G y a partir de A medir la mediana que parte de A. Su extremo será N, punto medio de BC.
7 – Unir C con N y medir desde C el lado BC obteniendo el último vértice B.

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Construir un triángulo ABC, conociendo los lados BC y AC, y sabiendo que las medianas que parten de A y B, se cortan en un ángulo recto

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SOLUCIÓN

a – Colocar el lado BC.
b – A partir del vértice B y sobre la prolongación de BC llevar un cuarto de la longitud de BC. A este nuevo extremo lo llamaré X.
c – Con centro en el punto X y radio hasta el punto medio del lado BC (o con 3/4 de BC) trazar un arco.
d – Con centro en el vértice C y radio AC dibujar otro arco.
e – Donde se corten ambos arcos es el vértice A.

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Construir un triángulo conocido el lado a = 70 mm, el ángulo opuesto  = 60° y el punto P, perteneciente a la bisectriz del ángulo Â, que dista 36 mm del vértice B y 54 mm del vértice C.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado a = BC = 70 mm.

2 – Trazar el arco capaz del ángulo A = 60º.

3 – Dibujar la mediatriz del lado a = BC hasta que corte a la prolongación del arco capaz, X.

4 – Con centro en B y radio PB = 36 mm trazar un arco. Con centro en C y radio PC = 54 mm trazar otro arco. El punto de corte es P.

5 – Unir el punto X con P y donde corte al arco capaz es el tercer vértice A.

Nota : Existe una segunda solución ya que los arcos, PB y PC, que definen al punto P se cortan en dos lugares. Si se une el segundo punto de corte con X se obtiene la segunda solución para A sobre el arco capaz, aunque en este caso en concreto el triángulo resultante es muy pequeño.

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Triángulos – 972

Triángulos – 971

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Triángulo isósceles conocido el ángulo desigual A = 30º y el lado desigual BC = 42 mm.

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SOLUCIÓN

Método 1

1 – Colocar el lado BC = 42 mm.

2 – Por sus extremos levantar ángulos de (180º – A) / 2 = (180º – 30º) / 2 = 75º.
3 – Donde se cortan ambos lados es el vértice A.
4 – La operación (180º – A) / 2 = (180º – 30º) / 2 = 75º se puede realizar de forma gráfica
4a – Trazar una línea.

4b – Colocar sobre la recta el ángulo conocido, Â.
4c – El ángulo que queda al otro lado es el suplementario (el que queda al restar 180º).
4d – Hallar la bisectriz del suplementario.
4e – Los dos ángulos en los que queda dividido el suplementario con la bisectriz son los ángulos iguales del triángulo isósceles.

Método 2

1 – Colocar el lado BC = 42 mm.
2 – Trazar el arco capaz del ángulo A = 30º respecto del lado BC.
3 – Por el punto medio del lado BC se levanta una perpendicular (mediatriz de BC).
4 – Donde la perpendicular corte al arco capaz es el vértice A.

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Hallar un triángulo, ABC, del que se conoce el lado b = AC = 40 mm, la mediana de A, ma = 60 mm y el radio de la circunferencia circunscrita, R = 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado b = AC = 40 mm.

2 – Con centro en A y C y radio el de la circunferencia circunscrita, R = 40 mm, se trazan dos arcos, siendo el punto de corte de ambos el centro de dicha circunferencia, O. Dibujar la circunferencia circunscrita.

3 – Unir el centro de la circunscrita, O, con el vértice C y determinar su punto medio, O’.

4 – Con centro en O’ y radio hasta el vértice C trazar un arco.

5 – Con centro en A y radio la mediana de A, ma = 60 mm, se traza un nuevo arco.

6 – Donde este corte al anterior es el punto medio del lado BC. En este caso da dos puntos de corte y por tanto dos posibles soluciones, M y M’, solo dibujaré una, M.

7 – Unir C con M y donde corte a la circunferencia circunscrita es el vértice B.

 

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Triángulos – 969

Triángulos – 968

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Triángulo conociendo las rectas de sus tres bisectrices, R, S, T, y un punto, P, sobre el perímetro del triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, 1, del punto dado P respecto de la bisectriz R.

2 – Hallar el simétrico, 2, del punto dado P respecto de la bisectriz T.
3 – Hallar el simétrico, 3, del punto 1 respecto de la bisectriz S.
4 – Los simétricos obtenidos son puntos de los lados del triángulo. Unir 2 con 3. Donde corte a las bisectrices T y S unirlos con los puntos P y 1 respectivamente. Estos son los tres lados del triángulo.

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Triángulos – 967

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Triángulo conocido el lado a = 40 mm, la mediana de B mb = 60 mm y la mediana de C mc = 50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado a = BC = 40 mm.

2 – Con centro en el vértice B y radio dos tercios de su mediana se traza un arco.
3 – Con centro en el vértice C y radio dos tercios de su mediana se traza otro arco. Donde ambos arcos se corten es el baricentro, G.
4 – Unir el baricentro, G, con los dos vértices B y C.
5 – Sobre BG y a partir de G llevar un tercio de su mediana. El extremo X es el punto medio del lado AC.
5 – Sobre CG y a partir de G llevar un tercio de su mediana. El extremo Y es el punto medio del lado AB.
6 – Unir B con Y y C con X. El punto de corte es el tercer vértice A.

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