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triángulo conocida la altura, la mediana y la circunscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 935

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Construir el triángulo escaleno ABC dada la altura ha, la mediana ma, y el radio de la circunferencia circunscrita, además de dos rectas que definen la altura y el punto A sobre una de esas rectas.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta y levantar otra a 90º.

2 – Sobre la perpendicular medir la altura y ya se tiene el vértice A.
3 – Con centro en A y radio la mediana se hace un arco que corte a la primera línea (punto X). Este será el punto medio del lado "a".
4 – A partir de ese punto se levanta una perpendicular al primer lado.
5 – Con centro en el vértice A y radio el de la circunferencia circunscrita se hace un arco que corte a la perpendicular anterior. Este punto será el circuncentro (punto O).
6 – Con centro en este y radio hasta el vértice A hacer una circunferencia.
7- Donde corte a la primera recta son los vértices B y C.

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Construir un triángulo escaleno sabiendo que el ángulo A = 30º, el perímetro es 130 mm y el radio de la circunferencia inscrita es de 10 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Construir el ángulo dado, 30º.

2 – Inscribir en el ángulo una circunferencia de radio el dado (10 mm), para ello trazar un par de paralelas a los lados del ángulo y donde se corten es el centro I.

3 – Por el incentro, I, hacer una perpendicular a uno de los lados del ángulo. Donde corte es el punto de tangencia T.

4 – Medir el semiperímetro (2p / 2 = p = 65 mm) sobre uno de los lados del ángulo a partir del vértice, A.

5 – Lo que queda entre el punto de tangencia, T, y el extremo del semiperímetro es la longitud del lado a.

6 – Conocido el lado dibujar (aparte), BC, y levantar el arco capaz de 90º + (A/2) = 105º.

7 – Mediante una paralela a una distancia la del radio de la circunferencia inscrita ( 10 mm ) localizar el incentro, I, donde corte al arco capaz.

8 – Dibujar la circunferencia inscrita.

9 – Desde los extremos del lado «a» trazar las tangentes a la circunferencia inscrita, y esos son los otros dos lados del triángulo.

 

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TRIÁNGULOS – 934

triángulo escaleno conocida una altura y la circunferencia exinscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 933

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Dibujar un triángulo ABC, siendo A = 36º, la altura relativa al lado b = 25 mm y el radio de la circunferencia exinscrita al ángulo C = 28 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela a la recta que contiene al lado AC a una distancia igual a la altura de B dada.

2 – Donde corte a la recta que contiene al lado AB es el vértice B.
3 – Hacer paralelas a las rectas que contienen a los lados AB y AC a una distancia la del radio de la circunferencia exinscrita.
4 – Donde ambas paralelas se corten es el centro de dicha circunferencia, trazarla.
5 – Desde el vértice B hacer la tangente a la circunferencia exinscrita. Donde la tangente corte a la recta que contiene al lado AC es el vértice C.

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Trazar un triángulo conocida una altura, la bisectriz y la mediana.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una recta horizontal y otra perpendicular a ella, sobre la que se medirá el valor de la altura, Ha. Su extremo es uno de los vértices del triángulo, A.

2 – Con centro en A y radios iguales a la mediana, Ma, y a la bisectriz, Wa, se trazan dos arcos que cortaran a recta horizontal en los puntos F y D (punto medio del lado BC).

3 – Por D trazar una perpendicular a la recta horizontal (o paralela a la altura) hasta cortar a la bisectriz, Wa, en el punto G.

4 – Dibujar la mediatriz de AG y donde corte a la perpendicular que pasaba por D es el punto O (circuncentro).

5 – Con centro en O y radio hasta A o G dibujar una circunferencia.

6 – Donde la circunferencia corte a la recta horizontal son los vértices B y C del triángulo buscado.

Fundamento :
Se debe recordar que para un mismo ángulo inscrito en una circunferencia se produce una misma longitud de arco.
Así, desde el vértice A (ver imagen) salen dos ángulos inscritos formados por la bisectriz, Wa, los cuales darán dos arcos de igual longitud, BG = GC.
Estos ángulos inscritos llegan a los vértices B y C. Dicho lado BC se halla dividido en dos por su mediatriz. Ese lado BC, es una cuerda de la circunferencia circunscrita y su mediatriz divide en dos arcos iguales al formado entre esos dos vértices.
Luego, si la mediatriz divide al arco BC en dos partes iguales y la bisectriz del ángulo A también lo hace, ambos lo harán en el mismo punto, el punto medio de BC. De todo esto se deduce que el punto de corte de la bisectriz y la mediatriz está sobre la circunferencia circunscrita, G.

 

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Triángulo dada la bisectriz, la mediana y la altura de un mismo ángulo.

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SOLUCIÓN

Se construye un triángulo rectángulo A E D, tomando por cateto A E la altura h, y por hipotenusa A D la mediana ma, trazando por D una perpendicular al cateto base E D. Con centro en el vértice A y radio wa, bisectriz conocida, se describe un arco hasta cortar en F al cateto básico E D, prolongando el segmento A F hasta cortar en G a la perpendicular trazada anteriormente por D.

La mediatriz del segmento A G corta a la perpendicular ya indicada en el punto O, punto que se toma como centro para trazar una circunferencia auxiliar que pase por A y G. Esta circunferencia corta a las prolongaciones de E D en los puntos B y C, vértices del triángulo solución ABC.

 

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Construir un triángulo conocidas sus tres alturas.

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SOLUCIÓN

1 – Con origen común en un punto cualquiera P se trazan tres segmentos en direcciones arbitrarias, de longitudes respectivamente iguales a las tres alturas.

2 – Haciendo pasar una circunferencia por sus extremos libres D, E y F.

3 – Esta circunferencia corta a los segmentos tomados, o sus prolongaciones, en los puntos M, N y S.

4 – Con lados iguales a las longitudes PM, PN y PS se construye un triángulo, que es semejante al pedido.

5 – Para obtener el resultado definitivo basta trazar una paralela a cualquier lado, a una distancia del mismo igual a su correspondiente altura, hasta encontrar en un vértice, A por ejemplo, a la prolongación de uno de los lados contiguos, punto por el cual se traza el tercer lado, paralelo al del triángulo auxiliar previamente obtenido.

Fundamento :
El trazado se basa en los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Así, el valor de la potencia es Pot. = PE·PM y debe ser igual para cualquier recta que corte a la circunferencia, por lo que se cumplirá Pot. = PE·PM = PN·PD = PF·PS.
Por otro lado, el área de un triángulo es Área = base · altura/2, y tendrá el mismo valor, sea cual sea el lado que se tome como base, por lo que se cumplirá, Área = PE·PM/2 = PN·PD/2 = PF·PS/2, donde unos segmentos son los lados y los otros las alturas respecto de esos lados.
Luego, como ves se puede plantear una potencia con esas alturas.

 

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Triángulo conocido un lado y el ángulo opuesto – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 929

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Triángulo conocido un lado, AB, el ángulo opuesto, C, y la altura respecto de ese lado, hc.

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SOLUCIÓN

Se dibuja AB y se le halla el arco capaz de 60º.
En perpendicular a AB se lleva una paralela a AB a una distancia la de la altura dada.
Donde corte al arco capaz (generalmente dos puntos) es el vértice C.

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Triángulo escaleno dados un lado y la altura – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 927

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Hacer un triángulo escaleno sabiendo que a = 60 mm y la altura de a = 55 mm y la altura de b = 50 mm.

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SOLUCIÓN

I – Dibuja el lado "a".
II – Traza una paralela al lado "a" que a una distancia igual a la de la altura de ese lado "a".
III – Con centro en uno de los extremos del lado "a" traza un arco de radio igual al de la altura de "b".
IV – Desde el otro extremo del lado "a" traza la tangente al arco anterior.
V – Donde la tangente corte a la paralela al lado "a" es el vértice que se buscaba. Basta unirlo con los extremos del lado "a".

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