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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 985

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Cuadrilátero inscriptible ABCD con los datos propuestos :
d = 60 mm, diámetro de la circunferencia inscrita.
AC = 52 mm.
CAD = 30º
AD = CD
AB = BC.

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SOLUCIÓN

En realidad hay datos de más, se podría quitar alguno de ellos, en mi opinión sobraría el ángulo CAD = 30º, o bien, la condición AD = CD.
Si se consideran los dos como correctos el problema no es correcto, aunque a nivel humano sí, ya que la diferencia con la solución correcta es de 0’02 mm (cuando se utiliza CAD = 30º y ACD = 30º), inapreciable para nuestro ojo, pero no hay necesidad de cometer ese pequeño error cuando basta con suprimir uno de los dos datos que comento.
Voy a dar dos posibles formas de operar :

PRIMERA FORMA :

Hacer un cuadrilátero inscriptible ABCD con d = 60 mm, AC = 52 mm, AD = CD y AB = BC (d es el diámetro de la circunferencia inscrita).

1 – Dibujas la circunferencia con el diámetro dado.
2 – A partir de un punto cualquiera de la circunferencia (el que será vértice A) haces un arco de radio AC que corte a dicha circunferencia. El punto de corte es el vértice C.
3 – Desde el punto medio de la diagonal AC levantas una perpendicular que corte a la circunferencia.

4 – Donde la perpendicular corte a la circunferencia son los vértices B y D.

SEGUNDA FORMA :

Hacer un cuadrilátero inscriptible ABCD con d = 60 mm, AC = 52 mm, CAD = 30º y AB = BC (d es el diámetro de la circunferencia inscrita).

I – Dibujas la circunferencia con el diámetro dado.
II – A partir de un punto cualquiera de la circunferencia (el que será vértice A) haces un arco de radio AC que corte a dicha circunferencia. El punto de corte es el vértice C.
III – Desde el extremo A levantas una línea que forme 30º con respecto a AC.
IV – Donde esa línea corte a la circunferencia es el vértice D.
V – Desde el punto medio de la diagonal AC levantas una perpendicular que corte a la circunferencia, en el lado contrario al del vértice D.
VI – Donde la perpendicular corte a la circunferencia es el vértice B.

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Propiedades de un cuadrilátero o trapezoide biisósceles.

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SOLUCIÓN

Una aclaración, que no mucha gente conoce, los trapezoides tienen todos sus lados de distinto tamaño.
Pero, esa no es la propiedad principal de los trapezoides. Sino que lo que lo diferencia de los demás es el que no tenga ningún lado paralelo, indiferentemente de si son iguales o no.
De hecho, existe un tipo de trapezoide que se denomina «trapezoide biisósceles» ( o trapezoide isósceles o trapezoide simétrico o trapezoide bisósceles, según como cada uno lo llame).
Este trapezoide es muy conocido, es la forma de las cometas (al menos las antiguas).

Sus propiedades principales son :
– Lados contiguos iguales dos a dos.
– Diagonales perpendiculares entre sí.
– La diagonal menor es cortada por la mayor en su punto medio.
– Dos de sus ángulos (los que atraviesa la diagonal menor) son iguales.

 

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 983

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Contruir un trapezoide ABCD conociendo una diagonal tres ángulos y un lado: diagonal BD (no especificas cuanto mide), ángulo A = 60º, ángulo C = 75º, ángulo D = 90º, lado AB = 55 mm.

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SOLUCIÓN

I – Dibuja el lado AB (55 mm).
II – A partir del extremo A se levanta el ángulo A (60º).
III – Con centro en B y radio BD se traza un arco.
IV – Donde este arco corte al ángulo A será el vértice D.
V – Desde el vértice D levanta dicho ángulo (90º).
VI – Desde el vértice B levantas el ángulo B de valor 360º – A – C – D = 360º – 60º – 75º – 90º = 135º.
VII – Donde el ángulo B corte al ángulo D es el vértice C.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 982

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Hallar un cuadrilátero inscriptible si AC = 52 mm, CAD = 30º, AD = CD, AB = BC.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado AB.

2 – Por su extremo B trazar otro lado formando 60º y llevar la misma medida de AB, con lo que se consigue el vértice C.
3 – Por los vértices A y C, trazar dos rectas que formen 30º con respecto a AC.
4 – Donde se corten es el vértice D.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 981

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Hallar un cuadrilátero inscriptible si AB = 54 mm, A = 90º, BD = 68 mm y AC = 65 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar la diagonal BD.

2 – Con centro en su punto medio y diámetro BD se traza una circunferencia.
3 – Con centro en B y radio AB se traza un arco. Donde corte a la circunferencia es el vértice A.
4 – Con centro en A y radio AC se traza un arco. Donde corte a la circunferencia es el cuarto vértice C. Hay dos posibles soluciones C1 y C2.

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Dibujar un cuadrilátero si AB = 50 mm, CD = 30 mm, AD = 34 mm, BC = 56 mm, y dos lados opuestos forman 45º.

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SOLUCIÓN

I – Sitúa el lado AB.

II – A partir de B levanta una recta que forme 45º respecto de AB.

III – Sobre esa última recta y desde B lleva una distancia igual a CD. Al extremo lo llamaré X.

IV – Con centro en A y radio AD haces un arco.

V – Con centro en X y radio BC trazas otro arco.

VI – Donde se corten ambos es el vértice D.

VII – Por el vértice D haces una recta que forme 45º con respecto a AB.

VIII – Con centro en B y radio BC trazas un arco que corte a esa última recta. El punto de corte es el vértice C.

 

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TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 980

Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 979

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Hallar un trapezoide conocidos AB = 58 mm, BC = CD, BD = 56 mm, C = 105º y hd = 28 mm (altura respecto de AB).

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SOLUCIÓN

1 – Trazar BD.

2 – Hacer el arco capaz de 105º respecto de BD.
3 – Por su punto medio levantar una perpendicular y donde corte al arco es C.
4 – También se podría haber hecho por los extremos de B y D dos ángulos de (180º-105º)/2 y donde se encontrasen es C.
5 – Con centro en D y radio la altura hd se traza un arco.
6 – Desde el punto B se traza la tangente a ese arco.
7 – A partir de B se mide el lado AB sobre la tangente anterior, esto da el vértice A.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 978

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Hacer un cuadrilátero si AB = 50, AC = 30, BD = 34, BC = 56 y dos lados opuestos forman 45º.

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SOLUCIÓN

1 – Coloca el lado AB.
2 – Con centro en B y radio BC haz un arco.
3 – Con centro en A y radio AC haz otro arco.
4 – Donde los dos arcos se corten es C.
5 – Por C hacer una recta que forme 45º con respecto a AB.
6 – Con centro en B y radio BD haz un arco que corte a la recta anterior.
7 – El punto de corte es el vértice D.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 977

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Hallar un trapezoide, ABCD, conociendo la longitud de las dos diagonales, AC y BD, los lados opuestos, AB y CD, y el ángulo entre las dos diagonales.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una de las diagonales, AC, y por su extremo, C, levantar un ángulo igual al que forman las dos diagonales, llevando sobre ese lado, CX, la longitud de la segunda diagonal, CD.

2 – Con centro en A y radio el lado AB se traza un arco.
3 – Con centro en X se traza un segundo arco con radio el otro lado, CD.
4 – Donde ambos arcos se corten es el vértice B. Hay dos posibles soluciones, B y B’, yo solo he dibujado una de ellas.
5 – Por B hacer una paralela a CX y sobre ella llevar la longitud de la segunda diagonal, BD, obteniendo el cuarto vértice, D.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 976

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Hallar un trapezoide, ABCD, conociendo la longitud de las dos diagonales, AC y BD, los ángulos opuestos, B y D, y el ángulo entre las dos diagonales.

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SOLUCIÓN

6 – Colocar una de las diagonales, AC.

7 – Hacer los arcos capaces de los ángulos B y D (hacia lados distintos), siendo sus centros O1 y O2.
8 – Por uno de los centros de los arcos capaces, O2, hacer una recta que forme con la diagonal AC el ángulo que hay entre las dos diagonales.
9 – Desde O2 y sobre esa recta medir la longitud de la segunda diagonal, BD (extremo X).
10 – Con centro en X y radio, O2-C, el mismo que el del arco capaz de centro O2, trazar una circunferencia que cortará al arco capaz de centro O1 en dos puntos B y B’. Ambos puntos son dos posibles soluciones para el segundo vértice del cuadrilátero, aunque yo solo he dibujado una de ellas.
11 – Por B trazar una recta que forme con AC el ángulo entre las dos diagonales y llevar sobre ella la longitud de la segunda diagonal, BD, obteniendo el cuarto vértice D.

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