Autor: Administrador

Ejercicios de parábolas – 999

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Parábola conocidas dos tangentes cualquiera y la tangente en el vértice

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SOLUCIÓN

1 – Por los puntos de corte de las tangentes con la tangente en el vértice trazar perpendiculares a las tangentes. Donde se corten es el foco de la parábola.
2 – Hacer el simétrico del foco respecto de las tangentes.
3 – Uniendo los simétricos da la recta directriz
4 – El eje es perpendicular a la recta directriz y pasando por el foco

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Dadas tres tangentes a una parábola y la circunferencia donde se encuentra el foco y hallar la parábola.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la simétrica de la circunferencia respecto de cada una de las tangentes.

2 – Eso da tres nuevas circunferencias, que se deberán de cortar entre sí.

3 – Une los puntos de corte de las tres circunferencias simétricas y tienes la recta directriz de la parábola.

4 – Halla el simétrico del punto de corte de dos de las circunferencias simétricas respecto de las tangentes y ese será el foco de la parábola.

5 – El eje es perpendicular a la recta directriz y pasando por el foco.

6 – A partir de ahí, traza la parábola.

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Hallar una cónica conocidas tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B).

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O.

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes.

3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B.

4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O.

5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’.

6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q.

7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.

8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada.

 

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Ejercicios de parábolas – 996

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Parábola conocida la recta directriz, d, una tangente, t, y el punto en el que la tangente corta al eje, M

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SOLUCIÓN

1 – Por el punto donde la tangente corta al eje, M, se dibuja una línea perpendicular a la recta directriz, d, y este es el eje, e

2 – Trazar la recta simétrica, sd, de la recta directriz, d, respecto de la tangente, t
3 – Donde la simétrica de la directriz, sd, corte al eje, e, es el foco de la parábola, F
4 – Conocidos el eje, e, la recta directriz, d, y el foco, F, dibujar la parábola por puntos.

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Parábola conocido el foco, el eje y un punto de ella.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en el punto y radio hasta el foco trazar una circunferencia.

2 – Por el punto dado dibujar una paralela al eje.

3 – Donde la paralela corte a la circunferencia trazar una perpendicular al eje y está es la recta directriz.

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Parábola conocido un punto de ella, P, una tangente, t1, y la tangente que pasa por el vértice, t2.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la circunferencia que tiene de centro el punto dado, P, y sea tangente a la tangente que pasa por el vértice, t2.

2 – Por el punto de corte de las dos tangentes se traza una perpendicular, B, a la tangente que no pasa por el vértice.

3 – Dibujar la circunferencia simétrica a la primera respecto de la recta anterior, B.

4 – Hallar la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias y tiene su centro en la recta B o bien hallar la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias anteriores y a t2.

5 – El centro de esta circunferencia es el foco de la parábola, F.

6 – El eje es perpendicular a t2 por el foco.

7 – Hacer una paralela a t2 a la misma distancia que hay de t2 al foco y esta es la recta directriz.

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Parábola conocida una tangente, t, el punto de corte de la directriz en la tangente, A, el punto de corte de la tangente en el vértice con la tangente dada, B, y el valor del parámetro, p.

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SOLUCIÓN

1 – Sobre la tangente, t, se mide la distancia AB, desde el punto B y esto nos da un nuevo punto X.

2 – Con centro en A y radio el parámetro se traza una circunferencia.

2 – Desde X se dibuja una tangente a la circunferencia.

3 – Por B se traza la perpendicular a la tangente dada, t.

4 – Donde la perpendicular corte a la tangente de la circunferencia es el foco de la parábola, F.

5 – Por el punto A se dibuja una paralela a la tangente de la circunferencia y esa es la recta directriz, d.

6 – El eje es perpendicular a la recta directriz, d, pasando por el foco, F.

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Ejercicios de parábolas – 992

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Se da una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).

2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.
3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.
4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.
5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.
6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.
7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.
8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.
9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.
10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.
11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.
12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.
13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.
14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.
15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.

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Ejercicios de parábolas – 991

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Parábola conocido el foco, F, un punto de la curva, P, y un punto de la tangente que pasa por el vértice, Q.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el foco, F, con el punto de la curva, P.

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el punto medio del segmento anterior, PF, y radio hasta P o F.
3 – Desde el punto Q trazar la tangente a la circunferencia. Esta es la tangente en el vértice. Hay dos tangentes y por tanto dos posibles soluciones, yo solo he dibujado una.
4 – Dibujar la perpendicular a dicha tangente por el foco y este es el eje de la parábola. Donde toca a la tangente es el vértice, V, de la parábola.
5 – Medir la distancia entre el vértice y el foco y llevarla hacia el otro lado. A partir de ahí dibujar una paralela a la tangente y tenemos la recta directriz, d.

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Ejercicios de parábolas – 990

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Trazar la normal a una parábola desde un punto exterior a ella.

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SOLUCIÓN

Con las herramientas habituales (las equivalentes a la regla y el compás) NO es posible hallar las normales a una parábola desde un punto exterior.
El problema tiene tres soluciones. Una normal que tiene el pie en el mismo lado del punto y dos en el lado contrario.

En el dibujo, P es el punto desde el que se trazarán las normales. N1, N2 y N3 son las normales. T1, T2 y T3 son los pies de las normales o los puntos de tangencia o contacto de las tangentes. t1, t2 y t3 son las tangentes en los pies de las normales.

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