Autor: Administrador

Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 998

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Dibujar las circunferencias que siendo tangentes a una circunferencia C dada, tienen el mismo eje radical que las circunferencia C1 y C2 también dadas

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el eje radical de las circunferencias dadas, C1 y C2
2 – Hallar el eje radical de las circunferencias C y C1 o bien de C y C2
3 – Donde se corten los ejes radicales, es el centro radical.
4 – Trazar la recta tangente a la circunferencia C desde el centro radical. Lo que nos interesa es el punto de tangencia.
5 – Unir el punto de tangencia con el centro de la circunferencia C, y ahí estará el centro de la buscada Z.
6 – El lugar exacto es donde esta última recta corte a la perpendicular al eje radical de C1 y C2 que pasa por el centro de la circunferencia C1 o C2 (la que se utilizo para hallar el segundo eje radical).
7 – El radio es desde el centro hallado hasta el punto de tangencia sobre la circunferencia C.

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Conocidas la circunferencia X, la Y y la recta R, buscar otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia Y, si la recta R es el eje radical de la circunferencia X dada y de la solución

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SOLUCIÓN

1 – Halla el eje radical de las circunferencias dadas, X e Y.

2 – Donde corte al eje radical dado, R, es el centro radical.

3 – Traza la recta tangente a la circunferencia Y desde el centro radical. Lo que nos interesa es el punto de tangencia.

4 – Une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia Y, ahí estará el centro de la buscada Z.

5 – El lugar exacto es donde esta última recta corte a la perpendicular al eje radical R que pasa por el centro de la circunferencia X.

6 – El radio es desde el centro hallado hasta el punto de tangencia sobre la circunferencia Y.

 

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 996

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Circunferencia tangente a una recta, R, y que tengan la misma potencia que dos circunferencias dadas de centros A y B

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el eje radical, E.R-1, de las dos circunferencias dadas, A y B

2 – Desde el punto de corte, C.R, del eje radical, E.R-1, con la recta dada, R, se dibuja la recta tangente a una de las dos circunferencias dadas, A o B. En realidad, solo nos interesa el punto de tangencia, T.
3 – Con centro en C.R y radio hasta el punto de tangencia, T, se traza un arco que cortará a la recta dada, R, en dos puntos, T1 y T2.
4 – Desde T1 y T2 (en mi dibujo solo lo he hecho desde T1) se dibujan perpendiculares a la recta dada, R, hasta cortar a la unión de los centros, A-B.
5 – Los puntos de corte, C1 y C2 (este no está dibujado) son los centros de las dos soluciones. Con centro en C1 y C2 y radio hasta T1 y T2 dibujar las circunferencias solución

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 995

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Circunferencia de radio 25 mm que sea tangente a la circunferencia de centro A y que tenga la misma potencia que dicha circunferencia respecto del punto P.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en el de la circunferencia dada, A, se dibuja una circunferencia de radio la suma de la dada más el de la buscada.

2 – Desde el punto dado, P, se trazan las rectas tangentes a la circunferencia dada, que tendrán por puntos de tangencia a T1 y T2.
3 – Unir los puntos de tangencia, T1 y T2, con el centro de la circunferencia dada, A. Donde corte a la circunferencia de radio la suma de la dada más la buscada son dos centros, C1 y C2, buscados.
4 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta los puntos de tangencia, T1 y T2, se dibujan las dos circunferencias solución.

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 994

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Circunferencias tangentes a dos circunferencias (de centros A y B), una interior a la otra, y que pasen por un punto, P, que está sobre la circunferencia interior

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SOLUCIÓN

1 – Unir el centro B con P y trazar una perpendicular a B-P por P (nombrada E.R.1)

2 – Con centro en cualquier punto de BP (punto X) hacer una circunferencia que pase por P y corte a la circunferencia de centro A
3 – Unir los puntos de corte de las dos circunferencias, 1 y 2, hasta cortar a E.R.1 (punto C.R)
4 – Con centro en C.R y radio hasta P hacer un arco que cortará a la circunferencia de centro A en los puntos T1 y T2
5 – Unir T1 y T2 con A y donde corte a BP son los centros C1 y C2 de las circunferencias buscadas
6 – Con centro en C1 y C2 y radio hasta P trazar las circunferencias solución

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 993

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Hallar dos circunferencias que comparten el mismo eje radical, e, y de las que se conocen dos puntos, A y B, de una y otros dos, C y D, de la otra

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la circunferencia, X, que pasa por tres de los puntos dados, A-B-C.

2 – Prolongar la unión de los dos puntos de una circunferencia, A y B, hasta cortar en el eje radical, Y.
3 – Unir ese punto con el tercer punto que se utilizó para hacer la circunferencia auxiliar, C.
4 – Donde corte a la circunferencia auxiliar, M, es un nuevo punto de la circunferencia que pasa por C y D.
5 – Hacer la circunferencia que pasa por C, D y M. Esta es una de las circunferencias buscadas, centro O1.
6 – Dibujar la circunferencia, Z, que pasa por otros tres de los puntos dados, B-C-D.
7 – Prolongar la unión de los dos puntos de la otra circunferencia, C y D, hasta cortar en el eje radical, W.
8 – Unir ese punto con el tercer punto que se utilizó para hacer la circunferencia auxiliar, B.
9 – Donde corte a la circunferencia auxiliar, N, es un nuevo punto de la circunferencia que pasa por A y B.
10 – Hacer la circunferencia que pasa por A, B y N. Esta es la segunda circunferencia buscada, centro O2.

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fEjercicios de POTENCIA de circunferencias – 992

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Aplicación de la potencia a los problemas de curvas cónica.
Intersección de una recta, R, en una hipérbola, conocidos sus elementos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una circunferencia de centro en un foco, F2, y radio la medida del eje mayor, 2a (circunferencia focal).

2 – Con centro, X, en cualquier punto de la recta dada, R, y radio hasta el otro foco, F1, trazar una segunda circunferencia que corte a la primera.
3 – Unir los puntos, 1 y 2, de corte de las dos circunferencias; y por el foco F1 dibujar una perpendicular a la recta dada, R. Donde se corten ambas rectas es el centro radical, CR.
4 – Unir el centro radical, CR, con el foco F2 y dibujar una circunferencia de centro en su punto medio, Y, y radio hasta el foco F2.
5 – Unir los puntos de corte, Z y W, de esta última circunferencia con la circunferencia focal con el foco F2 y donde corte a la recta dada, R, son los puntos de corte, P1 y P2, de la recta con la hipérbola.

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 991

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Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm de radio una potencia de k = 9 cm²

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SOLUCIÓN

En potencia se utiliza la expresión T² = d² – R².
Esta ecuación (ver la figura siguiente) viene de la relación que existe entre la tangente T desde un punto exterior P, el radio R de la circunferencia y la distancia d entre el centro y el punto P.
Se trata de un triángulo rectángulo que por Pitágoras nos quedará : d² = T² + R², despejando T² nos da la expresión anterior.
El valor de la longitud de la tangente T elevado al cuadrado es el valor de la potencia, T².

Conocido esto el problema se resuelve así:
1 – Trazar un radio, R, cualquiera de la circunferencia.
2 – Desde su extremo, G, se dibuja una perpendicular de longitud la raíz cuadrada del valor de la potencia, GP = T = √9
3 – El punto P es un punto que tiene la potencia indicada respecto de la circunferencia. Si se dibuja una circunferencia con el mismo centro de la dada y radio, d, hasta el punto P se obtiene el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto de la circunferencia.

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Ejercicios de POTENCIA de circunferencias – 990

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Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k = 4 cm².

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja una recta cualquiera pasando por el punto dado P. T².

2 – A partir de P medir una distancia igual a la raíz cuadrada de la potencia dada, √4.
3 – Desde su extremo G hacer una perpendicular a la recta. Cualquier punto de la perpendicular (lugar geométrico) es el centro de una circunferencia con radio hasta G que tiene de potencia respecto de P k = 4 cm².
Como lugar geométrico yo me conformaría con la perpendicular, ahora bien, si fuésemos muy quisquillosos la perpendicular es solo una parte de las posibles soluciones, ya que la recta inicial PG la podemos tomar en cualquier otra dirección que nos daría una nueva perpendicular. Si dibujásemos todas las posibles (e infinitas) rectas con sus correspondientes perpendiculares generaría una superficie (el lugar geométrico), en lugar de una línea. La superficie es la formada por los puntos que ahí entre la circunferencia de centro el punto dado, radio la raíz cuadrada de la potencia y el infinito.

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Determina una circunferencia de centro 02 que tenga la misma potencia que la de centro O1 dada respecto del punto P.
Datos :
O1-O2 = 37 mm
O1-P = 33 mm
P-O2 = 42 mm
Radio de O1 = 16 mm

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SOLUCIÓN

1 – Hallar las tangentes a la circunferencia dada, O1, desde el punto P. Los puntos de tangencia son T1 y T2.

2 – Unir el punto P con el centro O2 de la segunda circunferencia y determinar su punto medio. Con centro en su punto medio y radio hasta los extremos dibujar una semicircunferencia.

3 – Con centro en P y radio hasta el punto de tangencia T1 o T2 se traza un arco hasta cortar a la semicircunferencia anterior, punto X.

4 – La circunferencia buscada tiene de centro O2 y radio hasta el punto X.

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POTENCIA de circunferencias – 989